क्या कमजोर कोयले की होमोमोर्फिज्म जैसी कोई चीज है?

यह देखते हुए एक endofunctor $F : Set \rightarrow Set$ , हम कार्यों है कि किसी भी के लिए बहुरूपी होते हैं के रूप में अवलोकन कार्यों को परिभाषित कर सकते हैं $F$ -coalgebra, है कि $obs$ किसी के लिए परिभाषित किया गया है $F$ -coalgebra $\langle A, c : A \rightarrow FA\rangle$ ।

o b s : \forall ⟨ A, c ⟩ . A \to B

$obs : \forall \langle A, c \rangle . A \to B$ अवलोकन कार्यों को देखने का एक और तरीका अंतिम के कार्यों के रूप में है

यदि यह मौजूद है तो

F

$F$ -coalgebra। हम अनूठेसमरूपतावादके साथ अंतिम

-coalgebraके अवलोकन समारोह की रचना करके स्वचालित रूप से बहुरूपता प्राप्त करते हैं। लेकिन यह केवल तभी काम करता है जब अंतिम

टेलजेब्रा मौजूद हो।

F

$F$

F

$F$

एक अवलोकन समारोह की परिभाषित विशेषताओं में से एक यह है कि यह अपने पॉलीमोर्फिज़्म के कारण किसी भी कोलजेब्रा होमोमोर्फिज़्म को दाईं ओर से जोड़ देता है। तो $hom$ एक है $F$ -coalgebra समरूपता, तो:

o b s = o b s \circ h o m

$obs = obs \circ hom$ अपना शोध के दौरान, एक coalgebra और एक अन्य के बीच अवलोकन स्थिरता की एक धारणा को परिभाषित करने की कोशिश में, मैं एक का विचार था कमजोर कोयलाभोज समरूपतावाद। यह विचार है कि यदि हम समय से पहले अवलोकन समारोह को जानते हैं तो हम एक "होमगार्डोफ्रेम" को नकली बना सकते हैं। इस प्रकार, हम संतुष्ट हो सकते हैं,

o b s = o b s \circ h o m

$obs = obs \circ hom$ लेकिन केवल एक विशेष

o b s

$obs$ ।

उदाहरण के लिए, चलो $FX = \{0,1\} \times X$ , और $obs$ के रूप में परिभाषित किया जा यही है, एक धारा के पहले दो तत्वों लेता है।

o b s : \forall ⟨ A, c ⟩ . A \to {0, 1}^{2}

$obs : \forall \langle A, c\rangle. A \to \{0,1\}^2$

o b s = ⟨ (π_{1} \circ c), (π_{1} \circ c \circ π_{2} \circ c) ⟩

$obs = \langle (\pi_1 \circ c), (\pi_1 \circ c \circ \pi_2 \circ c) \rangle$

o b s

$obs$

फिर, एक एफ coalgebra समरूपता जबकि के लिए एक कमजोर समरूपता, सुनिश्चित करने के लिए है कि यह धारा के सभी तत्वों को बरकरार रखता है की आवश्यकता होगी केवल धारा के पहले दो तत्वों को संरक्षित करने की जरूरत है। $obs$

मेरे शोध में, यह धारणा यह दिखाने के लिए उपयोगी होगी कि एक कोलजेब्रा एक दूसरे के साथ पर्यवेक्षणीय रूप से सुसंगत है, यह दिखाते हुए कि प्रत्येक परिमित रेखीय अवलोकन फ़ंक्शन में पहले कोलजेब्रा से दूसरे कोलबेब्रा तक एक कमजोर समरूपता है। दूसरे शब्दों में, पहले कोयलेबरा पर प्रत्येक परिमित रेखीय अवलोकन दूसरे कोयलांचल पर पुन: पेश किया जा सकता है।

( लीनियर ऑब्जर्वेशन फंक्शन से मेरा मतलब है कि ज्यादातर अप्रासंगिक लगता है, लेकिन बंटवारे के लिए ... एक लीनियर ऑब्जर्वेशन फंक्शन कमोबेश एक ही है कि एक बार सेट किए गए कैरियर के प्रत्येक स्टेट का इस्तेमाल करता है। मैं एक ऑरेकल मॉडल बनाने की कोशिश कर रहा हूं,) और उपयोगकर्ता को वापस जाने की अनुमति नहीं दी जाती है और यह दिखावा करता है कि उसने कभी कोई प्रश्न नहीं किया है।)

मेरे प्रश्न इस प्रकार हैं:

क्या इस पर शोध किया गया है? क्या "कमजोर कोयलाभक्षी समरूपताएं" पहले से मौजूद हैं, शायद किसी और नाम के तहत?
क्या इसे प्रस्तुत करने का एक और "श्रेणी सिद्धांत" तरीका है?

संपादित करें : दो प्रश्नों को हटाया जो महत्वपूर्ण नहीं हैं।

ct.category-theory

— फ्रांसिस्को मोटा
स्रोत

क्या यह सोचने का कोई कारण है कि कंप्यूटर विज्ञान प्रश्नोत्तर साइट इस प्रश्न के लिए सही जगह है?

— साशो निकोलेव 20

हाँ। कंप्यूटर विज्ञान में

टेलजेब्रस के अनुप्रयोग होते हैं, और यह प्रश्न कंप्यूटर विज्ञान में अनुसंधान करते समय सामने आया। इसके अलावा, cstheory.stackexchange पर

-coalgebras के बारे में अन्य प्रश्न हैं ।

F

$F$

F

$F$

— फ्रांसिस्को मोटा

कंप्यूटर विज्ञान के लिए अनुप्रयोगों के एक उदाहरण के रूप में, कमजोर होमोमोर्फिज्म के संदर्भ में अभियोग्यता (जो कभी-कभी क्रिप्टोग्राफी में उपयोग की जाती है) की धारणाएं निश्चित हो सकती हैं।

— फ्रांसिस्को मोटा

मैं एक संदर्भ देखने के लिए उत्सुक हूं जहां यह किया गया है और कुछ साबित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

— साशो निकोलेव

यह लेख: citeseer.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.11.7571 लगता है कि ऊपर खदान के लिए "कमजोर होमोमोर्फिज्म" का एक समान विचार है। लेकिन परिभाषा थोड़ी अलग है और मुझे नहीं पता कि क्या यह वास्तव में मेल खाता है। यह एक पर्यवेक्षक को परिभाषित करता है

, जो मैं अभी तक समझ में नहीं आता, और इसके लिए एक कमजोर समरूपता को परिभाषित करता है

के बीच

और

एक समारोह के रूप

ऐसी है कि

O

$O$

O

$O$

⟨ A, α ⟩

$\langle A, \alpha \rangle$

⟨ B, β ⟩

$\langle B, \beta \rangle$

f : A \to B

$f: A \to B$

लेकिन मुझे अभी तक नहीं पता है कि

मतलबक्याहै।

β^{O} \circ f = O (f) \circ α^{O}

$\beta^O \circ f = O(f) \circ \alpha^O$

O

$O$

— फ्रांसिस्को मोटा

जवाबों:

आपके द्वारा वर्णित `कमजोर आकारिकी 'का थोड़ा प्रतिबंधित सेटिंग में नाम है। जैसा कि मैं समझाता हूँ, वे भी आम तौर पर परिभाषित किए जा सकते हैं।

उस स्थिति में जहां कमजोर कमियां ( पर कई प्राकृतिक फंक्शंस को संरक्षित करता है) यह ज्ञात है कि व्यवहार समतुल्यता कोलजेब्रासिक बिसिमिलरिटी के साथ मेल खाती है। तब आपके आकारिकी को कार्यात्मक -स्टेप बिसिमुलेशन के रूप में जाना जाता है जहां एक ऑर्डिनल होता है। बेशक मैं केवल आज तक नहीं देखा उन्हें ऑर्डिनल्स के लिए परिभाषित $T : \mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$ $\mathsf{Set}$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha \leq \omega$ । कोलजेब्रा से पहले, मोडल लॉजिंस ने क्रिप्के फ्रेम के लिए एन-स्टेप बिसिमुलेशन का अध्ययन किया था, जो कि पावरसेट फन्क्टर के लिए कोलजेब्रस के लिए एन-स्टेप बिसिमुलेशन है। आपकी आवश्यकता कि वे संबंधों के विपरीत कार्य करते हैं, उन्हें कार्यात्मक एन-स्टेप बिसिमुलेशन बनाता है।

दूसरी ओर, आप उस अवधारणा को परिभाषित कर सकते हैं जिसके बारे में आप बात कर रहे हैं और अधिक सामान्य सेटिंग में कोलजेब्रासिक बिसिमुलेशन का उल्लेख किए बिना। किसी भी श्रेणी जिसमें क्रमिक-अनुक्रमित कोकीन और किसी भी फ़नकार सीमाएँ हैं एक के टर्मिनल अनुक्रम को परिभाषित कर सकता है । सीमा के बारे में स्थिति वास्तव में कमजोर है, उदाहरण के लिए कई श्रेणियां ( सहित ) वास्तव में पूरी हैं यानी सभी छोटी सीमाएं हैं। टर्मिनल अनुक्रम में एक आरेख और ऐसा दिखता है: $\mathbb{C}$ $T : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ $T$ $\mathsf{Set}$ $\mathbb{C}$

$1 \quad \xleftarrow{!_{T1}} \quad T1 \quad \xleftarrow{T !_{T1}} \quad T^2 1 \quad \xleftarrow{T^2 !_{T1}} \quad \dots \quad T^\omega 1 \quad \xleftarrow{f_\omega^{\omega + 1}} \quad T(T^\omega 1) \quad \xleftarrow{Tf_\omega^{\omega + 1}} \quad \dots$

यहाँ में टर्मिनल ऑब्जेक्ट (खाली कोचिन की सीमा)। में उदाहरण के लिए यह एक तत्व होने के लिए ले जाया जा सकता सेट । नक्शा में टर्मिनल वस्तु जैसे में अद्वितीय आकारिता है बस के प्रत्येक तत्व नक्शे है के लिए । प्रत्येक की गणना और गणना करके की जाती है $1$ $\mathbb{C}$ $\mathsf{Set}$ $1 = \{*\}$ $!_{T1} : T1 \to 1$ $\mathsf{Set}$ $T1$ $*$ $T^n 1$ $T$ $T^\omega 1$ इससे पहले कि कोचन की सीमा है। एक तो परे जारी रख सकते हैं , यदि आवश्यक हो। Intuitively , -step व्यवहार का संग्रह है। $\omega$ $T^\alpha 1$ $\alpha$

अब किसी भी -coalgebra की इस क्रम यानी एक संग्रह पर एक शंकु लाती -morphisms प्रत्येक क्रमसूचक के लिए । मैं बस के लिए उन्हें परिभाषित करेंगे : $T$ $(Z,\gamma)$ $\mathbb{C}$ $\mathsf{beh}_\gamma^\alpha : Z \to T^\alpha 1$ $\alpha$ $\alpha < \omega$

टर्मिनल वस्तु में अद्वितीय मानचित्र है। $\mathsf{beh}_\gamma^0 : Z \to 1$

$\mathsf{beh}_\gamma^{n+1} = T\mathsf{beh}_\gamma^n \circ \gamma : Z \to T^{n+1} 1$

सहज रूप से ये नक्शे में एक स्थिति को उसके -step व्यवहार के लिए भेजते हैं। अब हम बता सकते हैं कि आप किस बारे में बात कर रहे हैं। मान लीजिए कि हमारे पास दो -coalgebras और । फिर एक मॉर्फिज़्म -स्टेप व्यवहार iff को संरक्षित : $Z$ $\alpha$ $T$ $(A,\gamma)$ $(B,\delta)$ $\mathbb{C}$ $f : A \to B$ $\alpha$

$\mathsf{beh}_\delta^\alpha \circ f = \mathsf{beh}_\gamma^\alpha$

है यही कारण है, की -चरण व्यवहार में ठीक है की -चरण व्यवहार में । $\alpha$ $f(z)$ $\delta$ $\alpha$ $z$ $\gamma$

वैसे भी, मुझे आशा है कि यह उपयोगी है। आप 'टर्मिनल सिक्वेंस कोलजब्रा' या 'अंतिम सीक्वेंस कोलेजब्रा' के जरिए कई संदर्भ पा सकते हैं।

— लूटना
स्रोत

इस जानकारीपूर्ण और सुलभ उत्तर के लिए धन्यवाद! मेरी एक टिप्पणी और एक प्रश्न है। टिप्पणी: मेरी पोस्ट में "अवलोकन फ़ंक्शन" और "कमजोर रूपवाद" का विचार थोड़ा अधिक सामान्य है - कमजोर आकृतिवाद को

स्तर तक सभी व्यवहार को संरक्षित करने की आवश्यकता नहीं है (और यह मेरे आवेदन के लिए महत्वपूर्ण है)। यह आसानी से होने से 'स्थिर' किया जा सकता है

और

α

$\alpha$

o b s : T^{α} 1 \to B

$\mathsf{obs}:T^\alpha 1 \to B$

o b s \circ {b e h}_{δ}^{α} \circ f = o b s \circ {b e h}_{γ}^{α}

$\mathsf{obs} \circ \mathsf{beh}_\delta^\alpha \circ f = \mathsf{obs} \circ \mathsf{beh}_\gamma^\alpha$ । प्रश्न: क्या अंतर है

और

{b e h}_{γ}^{ω}

$\mathsf{beh}_\gamma^\omega$

{b e h}_{γ}^{ω + 1}

$\mathsf{beh}_\gamma^{\omega+1}$

— फ्रांसिस्को मोटा

मुझे यकीन नहीं है कि मैं आपकी टिप्पणी को समझता हूं। क्या आपका मतलब है कि संरक्षित किए गए व्यवहार की गहराई भिन्न होती है जैसे

और

2-चरण समतुल्य हैं लेकिन

और

4-चरण समतुल्य हैं? ध्यान दें कि

-चरण तुल्यता का तात्पर्य

-चरण सभी के लिए तुल्यता

।

z

$z$

f (z)

$f(z)$

z^{'}

$z'$

f (z^{'})

$f(z')$

α

$\alpha$

β

$\beta$

β \leq α

$\beta \leq \alpha$

— राब

यह इतना आसान मेरे बीच का अंतर समझाने के लिए के लिए नहीं है

और

इतने कम अंतरिक्ष में। संक्षेप में, कई functors के व्यवहार अपने द्वारा निर्धारित किया जाता

के लिए -चरण व्यवहार जैसे

प्रत्येक अनंत बाइनरी धारा इसकी गहराई n approximants से निर्धारित होता है। हालाँकि ऐसे कार्यकलाप मौजूद हैं जिनका व्यवहार इस तरह से निर्धारित नहीं किया जाता है जैसे कि गणनीय अधिकार या पूर्ण अधिकार प्राप्त फ़नकार। इन मामलों में

{b e h}_{γ}^{ω}

$\mathsf{beh}_\gamma^\omega$

{b e h}_{γ}^{ω + 1}

$\mathsf{beh}_\gamma^{\omega+1}$

ω

$\omega$

2 \times I d : S e t \to S e t

$2 \times Id : \mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$

में अतिरिक्त जानकारी प्रदान करता है।

{b e h}_{γ}^{ω + 1}

$\mathsf{beh}_\gamma^{\omega + 1}$

— रोब

नहीं, आप

स्थिर रख सकते हैं । यह विचार यह है कि हम इसका पूरा हिस्सा नहीं दिखाना चाहते हैं। उदाहरण के लिए, मेरी functor जैसे एक वृक्ष संरचना को जन्म दिया है, तो

, मैं केवल गहराई तक एक शाखा को देखने के लिए चुन सकते हैं

अप गहराई तक सभी नोड्स पर, बजाय नज़र

। जवाब के लिए धन्यवाद।

α

$\alpha$

X \mapsto (2 \times X)^{2}

$X \mapsto (2 \times X)^2$

α

$\alpha$

α

$\alpha$

— फ्रांसिस्को मोटा

एक नियम के रूप में, किसी को कमजोर, नियमित, सामान्य आदि जैसे अतिभारित शब्दावली से बचना चाहिए, जब तक कि धारणा में कुछ सार्वभौमिकता न हो। विशेष रूप से, ऐसा प्रतीत होता है कि आपकी धारणा तीर के फड़कने के बाद कमजोर होमोमोर्फिज्म की सामान्य धारणा के अनुरूप नहीं है ।

हमेशा अधिक वर्णनात्मक शब्द होते हैं जब भी आपका कुछ कम सार्वभौमिक होता है, जैसे "ओवेर-होमोर्फिज्म" को शायद "ओब्-होमोमोर्फिज्म" से छोटा कर दिया जाए।

अवलोकन समारोह की आपकी धारणा पहले से ही एक श्रेणी सिद्धांतिक प्रस्तुति प्रदान करती है। मुझे यह स्पष्ट करने के बारे में अधिक चिंता होगी कि इसका वास्तव में क्या मतलब है, और यह सबसे दिलचस्प है, क्योंकि यह संभव नहीं है कि सबसे अधिक सामान्यता की तलाश हो। विशेष रूप से, आपको आमतौर पर एक सूचनात्मक उदाहरण और गैर-उदाहरण देना चाहिए, जब प्रिंट में असामान्य धारणाओं को पेश किया जाता है।

— जेफ बर्जेस
स्रोत

जवाब के लिए धन्यवाद। मैं अधिक विशिष्ट नाम का उपयोग करने के लिए आपकी सिफारिश से सहमत हूं। मैं अभी भी जन रोटे ( कमजोर ) .psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.11.7571 ) द्वारा कमजोर बिसिमुलेशन पर पत्र पढ़ने का इरादा रखता हूं ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि वे ऊपर मेरी परिभाषा से कैसे संबंधित हैं, लेकिन मैं ( समय से पहले) आश्वस्त हो गए कि वे अलग हैं। एक बार फिर आपका धन्यवाद।

— फ्रांसिस्को मोटा