मैक्स 3SAT के लिए सुपर-बहुपद समय सन्निकटन एल्गोरिदम

Question

पीसीपी प्रमेय मैक्स 3SAT के लिए कोई बहुपद समय एल्गोरिथ्म है कि वहाँ एक काम संतोषजनक खोजने के लिए एक तृप्तियोग्य 3SAT सूत्र जब तक की धाराएं पी = एन पी ।$7/8+ \epsilon$$P = NP$

वहाँ एक छोटी सी बहुपद समय एल्गोरिथ्म है कि संतुष्ट करता है खंड की। तो, हम बेहतर कर सकते हैं 7 / 8 + ε अगर हम सुपर बहुपद एल्गोरिदम अनुमति देते हैं? हम अर्ध-बहुपद समय एल्गोरिदम ( एन ओ ( लॉग एन ) ) या उप-घातीय समय एल्गोरिदम ( 2 ओ ( एन ) ) के साथ क्या सन्निकटन अनुपात प्राप्त कर सकते हैं ? मैं ऐसे किसी भी एल्गोरिदम के संदर्भों की तलाश कर रहा हूं।$7/8$$7/8+ \epsilon$$n^{O(\log n)}$$2^{o(n)}$

Answer 1

एक एक प्राप्त कर सकते हैं MAX3SAT के लिए सन्निकटन कि में रन 2 हे ( ε n ) बहुत ज्यादा मुसीबत के बिना समय। यहाँ विचार है। में चर के सेट विभाजित करते हे ( 1 / ε ) के समूहों ε n चर प्रत्येक। प्रत्येक समूह के लिए, सभी की कोशिश 2 ε n समूह में चर आवंटित करने के लिए तरीके। प्रत्येक कम किए गए फॉर्मूले के लिए, कार्लॉफ़ और ज़्विक 7 / 8- टैपरोशन चलाएं। इन सभी परीक्षणों में से, अधिकतम संख्या में क्लॉज़ेस को संतुष्ट करते हुए असाइनमेंट को आउटपुट करें।$7/8+\varepsilon/8$$2^{O(\varepsilon n)}$$O(1/\varepsilon)$$\varepsilon n$$2^{\varepsilon n}$$7/8$

मुद्दा यह है कि कुछ चर खंड ऐसे हैं, जो इष्टतम असाइनमेंट (उस ब्लॉक तक सीमित) पहले से ही संतुष्ट खंडों की अधिकतम संख्या के -fraction को संतुष्ट करता है। आप उन अतिरिक्त खंड बिल्कुल सही मिल जाएगा, और आप मिल जाएगा 7 / 8 इष्टतम Karloff और ज़्विक का उपयोग करने का शेष अंश का।$\varepsilon$$7/8$

यह एक दिलचस्प सवाल यह है कि अगर एक मिल सकता है सन्निकटन के एक ही प्रकार के लिए समय। एक "रैखिक पीसीपी अनुमान" है कि 3SAT को बहुपद समय में अधिकतम MAX3SAT तक कम किया जा सकता है, जैसे:$2^{O(\varepsilon^2 n)}$

• यदि 3SAT उदाहरण संतोषजनक है तो MAX3SAT उदाहरण पूरी तरह से संतोषजनक है,
• $7/8+\varepsilon$
• $poly(1/\varepsilon)$

$2^{O(\varepsilon^c m)}$$7/8+\varepsilon$$c$$\varepsilon$$2^{\varepsilon n}$$\varepsilon$$m$

Comments

$7/8$

Answer 2

रेयान विलियम्स ने अपने अंतिम पैराग्राफ में जो कुछ लिखा है उसे कुछ हद तक शांत करने के लिए:

$T(n) = 2^{n^{1-o(1)}}$$(7/8 + 1/(\log \log n)^{.000001})$$T(n)$$2^{o(n)}$$7/8$