असीम रूप से बड़ी लेकिन स्थानीय स्तर पर संगणना की समस्याएं

Question

यह सवाल एक और सवाल पर बनी जुक्का सूमेला की टिप्पणी से प्रेरित है ।

असीम रूप से बड़े लेकिन स्थानीय रूप से परिमित संगणना समस्याओं (और एल्गोरिदम) के उदाहरण क्या हैं?

दूसरे शब्दों में, गणना के ऐसे कौन से उदाहरण हैं जो परिमित समय में रुकते हैं, जिसमें प्रत्येक ट्यूरिंग मशीन केवल परिमित डेटा को पढ़ती है और संसाधित करती है, लेकिन कुल मिलाकर गणना एक अनंत आकार की समस्या को हल करती है यदि असीम रूप से कई ट्यूरिंग मशीनों को एक साथ नेटवर्क किया जाए?

Comments

मैं टिप्पणी करने जा रहा था कि यह विचार एक ही TM के साथ असीम रूप से कई टेपों के समान लगता है, जो मैंने सोचा था कि मैंने पहले देखा था, लेकिन अब मुझे एक संदर्भ नहीं मिल सकता है। क्या मैं सपना देख रहा हूं या यह एक खोजपूर्ण विचार है? निश्चित रूप से अनंत समय टीएम जैसे अन्य हाइपरकंप्यूटेशन एक्सटेंशन का अध्ययन किया गया है। क्या टीएम "नेटवर्किंग" का विचार इस मॉडल में कुछ भी जोड़ता है?

— हक बेनेट

@HuckBennett: मुझे नहीं पता; यह समान हो सकता है। मुझे जुक्का की मूल टिप्पणी से समझ में आया कि वह ग्राफ़ की रंग जैसी समस्याओं के बारे में सोच रहा था, जो कि एक सीमित डिग्री के अनंत ग्राफ पर थी (हालाँकि मुझे नहीं पता कि वह विशेष समस्या इस प्रश्न का उत्तर होगी)। प्रत्येक टीएम एक ही एल्गोरिथ्म चलाएगा, और पड़ोसियों के परिमित सेट से बात करेगा। ऐसा लगता है कि असीम रूप से कई टेप वाली एक टीएम दो नोड्स के बीच अनंत-कई किनारों के साथ एक ग्राफ को अनुकरण करने में सक्षम हो सकती है, जो कि मेरे मन में सिद्धांत से अलग है। मैं हालांकि ऐसे मॉडलों के बारे में बहुत कम जानता हूं।

— आरोन स्टर्लिंग

Answer 1

क्या संभव है (लेकिन कुछ हद तक गैर-तुच्छ) के कुछ विचार देने के लिए, यहां एक उदाहरण है: एक वितरित एल्गोरिदम जो एक बाउंड-डिग्री ग्राफ पर एक अधिकतम किनारा पैकिंग पाता है ।

समस्या की परिभाषा

एक साधारण को देखते हुए अनिर्दिष्ट ग्राफ , एक किनारे पैकिंग (या आंशिक मिलान) एक वजन एकत्रित करती है डब्ल्यू ( ई ) प्रत्येक बढ़त के साथ ई ∈ ई ऐसी है कि प्रत्येक नोड के लिए वी ∈ वी , के किनारों घटना का कुल वजन v अधिकतम 1 पर है । यदि घटना किनारों का कुल वजन 1 के बराबर है तो एक नोड को संतृप्त किया जाता है । एक किनारे की पैकिंग अधिकतम होती है यदि सभी किनारों में कम से कम एक संतृप्त समापन बिंदु होता है (यानी, कोई भी भार लालच से नहीं हो सकता है)।$G = (V,E)$$w(e)$$e \in E$$v \in V$$v$$1$$1$

गौर करें कि मिलान एक अधिक से अधिक (सेट एक अधिक से अधिक बढ़त पैकिंग को परिभाषित करता है w ( ई ) = 1 iff ई ∈ एम ); इसलिए यह एक शास्त्रीय केंद्रीकृत सेटिंग ( जी परिमित है) को हल करना आसान है ।$M \subseteq E$$w(e) = 1$$e \in M$$G$

एज पैक्सिंग में वास्तव में कुछ अनुप्रयोग होते हैं, कम से कम यदि कोई व्यक्ति सामान्य TCS अर्थ में एक अनुप्रयोग को परिभाषित करता है: संतृप्त नोड्स का सेट एक न्यूनतम शीर्ष कवर का प्रतिरूप बनाता है (बेशक यह केवल परिमित जी के मामले में ही समझ में आता है ) ।$2$$G$

गणना का मॉडल

$\Delta$$v \in V$$\Delta$

$v \in V$$\{u,v\} \in E$$u$$v$$v$$\deg(v)$$v$$v \in V$$v$$1,2,\dotsc,\deg(v)$$\{u,v\} \in E$$u$$v$

$w$$G$$v \in V$$w(e)$$e$$v$

$A$$T$$G$$\Delta$$G$$G$$A$$T$

infinities

$V$

$|V|$

क्या ज्ञात है

$G$

$\Delta$$\Delta$$G$

$\Delta$$\Delta$

Answer 2

अगली पीढ़ी के एक सेल्यूलर ऑटोमेटन को खोजना ।

इसे हल किया जा सकता है जैसा कि आपने निरंतर समय में बताया था। $\;$ (यानी, इनपुट से स्वतंत्र)

Comments

मुझे लगता है कि वास्तव में सेलुलर ऑटोमेटा का उपयोग करके परिमित समय में हल करने योग्य (गैर-तुच्छ, दिलचस्प) कम्प्यूटेशनल समस्या के लिए अधिक देखभाल की आवश्यकता है?

— जुल्का सुमेला

मैं @ जूक्का से सहमत हूं। मैं इस उत्तर के वर्तमान संस्करण को एक टिप्पणी के स्तर पर मानता हूं, और एक सूचनात्मक नहीं। यह एक कम्प्यूटेशनल समस्या या एक एल्गोरिथ्म का वर्णन नहीं करता है। Downvoted।

— आरोन स्टर्लिंग

Answer 3

अनिवार्य रूप से, हर समस्या जो कम से कम रंगाई के रूप में कठिन है, नेटवर्क में नोड्स की संख्या पर निर्भर समय के साथ एक एल्गोरिथ्म की आवश्यकता होती है और इस प्रकार यह अनंत लेकिन स्थानीय रूप से परिमित ग्राफ़ में काम नहीं कर सकता है। यह लिनियल के सेमिनल लॉग * एन लोअर बाउंड से आता है।

Comments

लेकिन आपके कंपीटिशन का मॉडल क्या है? लिनियल मानता है कि सभी नोड में अद्वितीय संख्यात्मक पहचानकर्ता हैं; यदि हम इसे मूल प्रश्न में सुझाए गए सेटिंग में मैप करने का प्रयास करते हैं, तो हमारे पास ट्यूरिंग मशीनें होंगी जो उनके इनपुट टेपों पर उनके संख्यात्मक पहचानकर्ताओं को दी जाती हैं। लेकिन अब पहचानकर्ता का आकार अबाधित है; केवल प्रतीक्षा तक सभी मशीनों ने अपने स्वयं के पहचानकर्ताओं को पढ़ा है जब तक कि अनंत रूप से लंबा नहीं हो जाता। मैं तर्क दूंगा कि बाधा वास्तव में लिनियल की निचली सीमा नहीं है, लेकिन यह गणना का मॉडल है: अद्वितीय पहचानकर्ता गलत मॉडल हैं जब हम शिशुओं से निपटते हैं।

— जुका सुकोमेला

@ जुक्का: मैंने एक ऐसी प्रणाली की कल्पना की थी जहां सभी प्रोसेसर गुमनाम थे जब मैंने सवाल लिखा था, तो आईडी के बचने के लिए बिल्कुल बाध्य था। लेकिन अब मुझे लगता है कि यहां एक गैर-मुददा मुद्दा हो सकता है। यदि आप एक प्रोग्राम-आकार और कुछ कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन का चयन करते हैं जो किसी भी प्रोसेसर के पड़ोस के आकार को सीमा में रखता है, तो शायद सभी शक्तिशाली विरोधी आईडी का एक बड़ा-लेकिन-परिमित सेट चुन सकते हैं ताकि लिनियल की सीमा अभी भी किसी तरह एक कारक हो। विरोधी को एक फ़ंक्शन की गणना करने में सक्षम होने की आवश्यकता हो सकती है जो किसी भी कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन की तुलना में तेज़ी से बढ़ता है।

— हारून स्टर्लिंग

Answer 4

$AC^0$$AC^0$