मोबियस फ़ंक्शन का कम्प्यूटिंग

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Mobius फ़ंक्शन को , रूप में परिभाषित किया गया है यदि में एक वर्ग प्रधान कारक है, और यदि सभी प्रिम्स हैं अलग हैं। क्या यह गणना करना संभव है $\mu(n)$ $\mu(1)=1$ $\mu(n)=0$ $n$ $\mu(p_1 \dots p_k)= (-1)^k$ $p_1,\dots,p_k$ $\mu(n)$ के मुख्य कारक कम्प्यूटिंग के बिना ? $n$

comp-number-theory

— क्रेग फेंस्टीन
स्रोत

6

मुझे लगता है कि वह केवल पूछ रहा है कि क्या

गणना करने का कोई तरीका है जो कि एक कारक प्रदान करने के लिए भी ज्ञात नहीं है।

μ (n)

$\mu(n)$

— सुरेश वेंकट

2

@ केव, मैं यहाँ कम्प्यूटेशनल जटिलता के बारे में बात नहीं कर रहा हूँ। सुरेश अपनी व्याख्या में सही है। यह निर्धारित करने के समान है कि एक संख्या इसके गुणन का निर्धारण किए बिना समग्र है। क्या मोबियस फंक्शन के लिए भी कुछ ऐसा किया जा सकता है?

— क्रेग फेंस्टीन

1

मुझे नहीं लगता कि यह एक वास्तविक प्रश्न है। मैंने सोचा कि यह याद दिलाने के लिए उपयोगी हो सकता है कि cstheory पर हमारे पास क्रैंक-फ्रेंडली विषयों के खिलाफ एक सख्त नीति है , यदि आप इन विचारों को विज्ञापित करने का प्रयास करते हैं ।

— केव

3

@ कैवे, मैंने एक गंभीर सवाल पूछा, जिसमें 4 अंगूठे थे। यकीन है, मेरे जवाब में 8 अंगूठे नीचे हो गए, लेकिन यह जीवन है। मुझे आज तक सवाल का जवाब नहीं पता था, इसलिए मैंने जवाब पोस्ट किया। यह मुझे लगता है जैसे आप दावा कर रहे हैं कि मैं यहाँ किसी प्रकार का उलटा मकसद लेकर मुझे परेशान कर रहा हूँ। मैं आपको आश्वासन दे सकता हूं कि मेरे पास सवाल का जवाब पाने के अलावा कोई अन्य उद्देश्य नहीं है।

— क्रेग Feinstein

5

@ केव: ओपी एक बहुचर्चित त्रिशक्ति है, कई मंचों पर। उस ने कहा, क्या तुमने कभी उसे किसी के साथ असभ्य होते देखा है? मैंने नहीं किया है वह सिर्फ गलतफहमी रखता है कि निचले सीमा को साबित करने का क्या मतलब है। सवाल मुझे विषय पर लगता है। एक कहावत है: "एक बंद घड़ी भी दिन में दो बार सही है।"

— हारून स्टर्लिंग

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आपके प्रश्न का एक गैर-उत्तर यह है कि SQUARE-FREE (एक संख्या वर्ग मुक्त है) स्वयं P में होने के लिए ज्ञात नहीं है, और Möbius फ़ंक्शन की गणना इस समस्या को हल करेगी (क्योंकि एक वर्ग मुक्त संख्या )। $\mu(n) \neq 0$

— सुरेश वेंकट
स्रोत

7

क्या आप किसी ऐसे कागजात को जानते हैं जो वर्ग-निर्दयता की जटिलता पर चर्चा करता है? सभी मुझे मिल सकता है: dl.acm.org/citation.cfm?id=371327&dl=GUIDE&coll=GUIDE , जो सूत्र आकार को कम सीमा देता है। mathoverflow.net/questions/16098/… को देखते हुए , मुझे लगता है कि इस बारे में बहुत कुछ पता नहीं है कि क्या यह स्क्वायर फै्रनेस के फैक्टरिंग को कम करने में सक्षम होने की संभावना है।

— साशो निकोलोव

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$\mathrm{AC}^0$

— एमिल जेकाब
स्रोत

4

मुझे लगता है कि यह बेन ग्रीन पेपर है: arxiv.org/abs/1103.4991

— सुरेश वेंकट

0

\sum_{m \leq n} ⌊ \frac{n}{m} ⌋ μ (m) = 1.

$\sum_{m \leq n} \left\lfloor \dfrac {n}{m} \right\rfloor \mu (m) = 1.$

μ (n)

$\mu(n)$

m < n

$m < n$

μ (n) = 1 - \sum_{m < n} ⌊ \frac{n}{m} ⌋ μ (m) .

$\mu (n) =1-\sum_{m < n} \left \lfloor \dfrac {n}{m}\right \rfloor \mu (m) .$

n

$n$

m < n

$m<n$

n

$n$

m

$m$

μ (m) = 0

$\mu(m)=0$

m

$m$

\begin{aligned} μ (n) = & 1 - \sum_{a_{1} < n} ⌊ \frac{n}{a_{1}} ⌋ \\ + & \sum_{a_{1} < n} ⌊ \frac{n}{a_{1}} ⌋ \sum_{a_{2} < a_{1}} ⌊ \frac{a_{1}}{a_{2}} ⌋ \\ - & \sum_{a_{1} < n} ⌊ \frac{n}{a_{1}} ⌋ \sum_{a_{2} < a_{1}} ⌊ \frac{a_{1}}{a_{2}} ⌋ \sum_{a_{3} < a_{2}} ⌊ \frac{a_{2}}{a_{3}} ⌋ + \dots \end{aligned}

$\begin{align} \mu(n)=&1-\sum_{a_1< n} \left \lfloor \dfrac {n}{a_1}\right \rfloor \\ +&\sum_{a_1< n} \left \lfloor \dfrac {n}{a_1}\right \rfloor \sum_{a_2< a_1} \left \lfloor \dfrac {a_1}{a_2}\right \rfloor \\ -&\sum_{a_1< n} \left \lfloor \dfrac {n}{a_1}\right \rfloor \sum_{a_2< a_1} \left \lfloor \dfrac {a_1}{a_2}\right \rfloor \sum_{a_3< a_2} \left \lfloor \dfrac {a_2}{a_3}\right \rfloor + \cdots \end{align}$

— हुंडे ईबा
स्रोत

n = 120

$n=120$

संपादित संस्करण की जाँच करें !! @ क्रैग

— एबा

-22

$n=p_1 \dots p_k$ $p_j$

μ (n) = μ (p_{1} \dots p_{k}) = μ (p_{1}) \dots μ (p_{k}) .

$\mu(n)=\mu(p_1 \dots p_k)=\mu(p_1)\dots \mu(p_k).$

μ (n)

$\mu(n)$

μ (p_{j})

$\mu(p_j)$

p_{j}

$p_j$

p_{1} \dots p_{k}

$p_1 \dots p_k$

n

$n$

यहाँ एक सादृश्य है: यह जानने के लिए कि क्या जार में एक विषम या सम संख्या में जेली बीन्स हैं, एक को जेली बीन्स को गिनना होगा। यही कारण है कि आपको किसी संख्या के प्रमुख गुणन की गणना इसके मोबियस फ़ंक्शन की गणना करने के लिए करनी चाहिए, जब यह एक वर्ग द्वारा विभाज्य नहीं है। लेकिन यह जानने के लिए कि एक जार में एक से अधिक जेली बीन है, किसी को जार में जेली बीन्स की जांच करने की आवश्यकता नहीं है। कोई सिर्फ जार को हिला सकता है और सुन सकता है कि एक से अधिक जेली बीन है। यही कारण है कि आपको यह जानने के लिए कोई संख्या कारक नहीं है कि यह समग्र है। Fermat के लिटिल प्रमेय जैसे एल्गोरिदम एक को यह जानने के लिए "संख्या को हिला" करने की अनुमति देते हैं कि यह समग्र है।

$n$ $n$ $n$ $n$ $n$ $n$ $\mu(n)=0$ $n$

— क्रेग फेंस्टीन
स्रोत

6

@ क्रेग यह अभी भी गलत है। आप समग्र परीक्षण की समस्या के लिए उसी (पतले) तर्क का उपयोग कर सकते हैं जैसा कि पीटर शोर ने कहा था। आप मूल रूप से अपनी समस्या के लिए एक एल्गोरिथ्म दे रहे हैं और बताते हैं कि यह आगे बढ़ने का एकमात्र तरीका है। यह दर्शाता है कि किसी समस्या को हल करने के लिए एक स्पष्ट एल्गोरिथ्म सबसे अच्छा है, जटिलता सिद्धांत में सबसे बड़ी चुनौती है।

— माइकल ब्लोंडिन

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n \times n

$n \times n$

(A B)_{i, j} = \sum_{k = 1}^{n} A_{i, k} \cdot B_{k, j}

$(AB)_{i,j} = \sum_{k=1}^n A_{i,k} \cdot B_{k,j}$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2.807})

$O(n^{2.807})$

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पुन: "यह जानने के लिए कि क्या जार में एक विषम या सम संख्या में जेली बीन्स हैं, किसी को जेली बीन्स को गिनना चाहिए।" - यह भी सच नहीं है। आप उन्हें जोड़े में खींच सकते हैं (एक मेरे लिए एक आपके लिए ...) वास्तव में आप उन्हें जाने के बिना गिनते हैं। फिर जब आप खींचने के लिए जोड़े से बाहर निकलते हैं, तो आपके पास शून्य या एक बायीं ओर होता है और आप समता को जानते हैं।

— डेविड एप्पस्टीन

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M

$M$

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क्रेग, इसे प्राइम में फैक्टरिंग के बिना , हाँ, पूर्णांक वर्गमूल की गणना करके (फैक्टरिंग के विपरीत बहुपद समय में गणना योग्य होने के लिए) यह 69 ^ 2 है। मुझे फैक्टर 69 नहीं करना है। आपकी बीन्स की दलील यह बताती है कि फैक्टरिंग अनिवार्य है, क्योंकि आपको यह देखने के लिए हर जेली को देखना होगा कि क्या हर स्वाद कई बार आता है।

— sdcvvc