नोड्स पर "स्थानीय रूप से वर्दी" कुल आदेश के साथ नियमित रूप से उच्च-गर्थ ग्राफ

Question

परिभाषाएं

चलो और जाने घ , आर , और जी (साथ धनात्मक पूर्णांक होना ग्राम > 2 आर + 1 )।$\epsilon > 0$$d$$r$$g$$g > 2r+1$

चलो एक सरल हो, d कम से कम नियमित, अनिर्दिष्ट, परिधि के साथ परिमित ग्राफ जी ।$G = (V,E)$$d$$g$

चलो पर कुल आदेश हो वी ।$\le$$V$

प्रत्येक के लिए , चलो वी वी ⊆ वी नोड्स दूरी के भीतर हैं से मिलकर आर से वी में जी (से कम से कम पथ वी किसी भी करने के लिए यू ∈ वी वी है ज्यादा से ज्यादा आर किनारों), और जी वी subgraph हो के जी से प्रेरित वी वी । स्मरण करो कि हमने मान लिया है कि G का उच्च स्तर है; इसलिए G v एक पेड़ है। चलो ≤ वी पर प्रतिबंध लगना ≤ करने के लिए$v \in V$$V_v \subseteq V$$r$$v$$G$$v$$u \in V_v$$r$$G_v$$G$$V_v$$G$$G_v$$\le_v$$\le$ । वी ।$V_v$

हम कहते हैं कि एक बढ़त है अच्छा करता है, तो ( जी यू , ≤ यू ) और ( जी वी , ≤ v ) isomorphic हैं। यही कारण है, वहाँ एक द्विभाजन है च : वी यू → वी वी कि बरकरार रखता है, समीपवर्ती ( { x , y } ∈ ई iff { च ( एक्स ) , च ( y $\{u,v\} \in E$$(G_u,\le_u)$$(G_v,\le_v)$$f\colon V_u \to V_v$$\{x,y\} \in E$ ) और व्यवस्था ( एक्स ≤ y iff च ( एक्स ) ≤ च ( y ) )। नहीं तो एक छोरखराब है।$\{f(x),f(y)\} \in E$$x \le y$$f(x) \le f(y)$

हम कहते हैं कि है ε गुड अगर देखते हैं कम से कम ( 1 - ε ) | ई | अच्छा किनारा।$(G,\le)$$\epsilon$$(1-\epsilon)|E|$

सवाल

चलो । वहाँ एक मौजूद है ε गुड जोड़ी ( जी , ≤ ) किसी के लिए ε > 0 और किसी भी आर और जी (साथ आर « छ )?$d = 4$$\epsilon$$(G,\le)$$\epsilon > 0$$r$$g$$r \ll g$

टिप्पणियों:

• मैं एक सामान्य लिए उत्तर जानना चाहूंगा , लेकिन d = 4 पहला गैर-तुच्छ मामला है।$d$$d = 4$

• का आकार मायने नहीं रखता है, जब तक यह परिमित है। मुझे G के निर्माण की आवश्यकता नहीं है ; मात्र अस्तित्व या गैर-अस्तित्व पर्याप्त है।$G$$G$

उदाहरण

• यदि , उत्तर "हां" है। हम बस एक पर्याप्त लंबा चक्र ले सकते हैं, और चक्र के साथ नोड्स का आदेश दे सकते हैं। बढ़त है कि सबसे बड़ा और सबसे छोटा नोड मिलती पास कुछ बुरी किनारों रहे हैं, लेकिन अन्य सभी किनारों अच्छा कर रहे हैं: लगभग के लिए सभी नोड्स v , जोड़ी ( जी वी , ≤ v ) बस के साथ एक मार्ग है 2 आर + 1 में नोड्स एक बढ़ता हुआ क्रम।$d = 2$$v$$(G_v,\le_v)$$2r+1$

• यदि , उत्तर "हां" है। बस एक नियमित रूप से उच्च-ग्राफ ग्राफ लें।$r = 0$

• यदि पर्याप्त रूप से छोटा है, तो उत्तर किसी भी d के लिए "हां" है । बस एक ले ( घ / 2 ) आयामी ग्रिड ग्राफ (सीमाओं बनाने के लिए चारों ओर लिपटा साथ यह d उनके निर्देशांक द्वारा नोड्स कोषगत नियमित), और आदेश। फिर से हमारे पास ग्रिड की सीमाओं के पास कुछ खराब किनारे हैं, लेकिन हम खराब किनारों की संख्या को मनमाने ढंग से छोटा कर सकते हैं।$g$$d$$(d/2)$$d$

• यदि को परिमित होने की आवश्यकता नहीं है, तो उत्तर किसी भी d के लिए "हां" है । एक नियमित अनंत पेड़ के पास कुल ऑर्डर होता है जैसे कि सभी किनारे अच्छे होते हैं।$G$$d$

• यदि विषम है और r पर्याप्त रूप से बड़ा है, तो उत्तर "नहीं" है। संक्षेप में, Naor & Stockmeyer (1995) बताते हैं कि प्रत्येक नोड में कम से कम एक गैर-अच्छी बढ़त है।$d$$r$

पृष्ठभूमि

(इस अनुभाग को सुरक्षित रूप से छोड़ दिया जा सकता है।)

सवाल वितरित कंप्यूटिंग की नींव से संबंधित है, और विशेष रूप से स्थानीय एल्गोरिदम के लिए ।

हम जो समझना चाहते हैं वह निम्नलिखित है: एक वितरित प्रणाली में स्थानीय समरूपता को तोड़ने के साथ कुल आदेश के अस्तित्व में मदद करता है। Intuitively, प्रत्येक नोड के जी एक आउटपुट की एक समारोह है कि निर्माण करने के लिए है ( जी वी , ≤ वी ) , यानी, के स्थानीय पड़ोस के एक समारोह v । यदि कोई बढ़त ई = { यू , वी } खराब है, तो ई के पास कुछ स्थानीय समरूपता-ब्रेकिंग जानकारी उपलब्ध है , और नोड यू और वी विभिन्न आउटपुट उत्पन्न कर सकते हैं; अगर किनारे अच्छा है, तो नोड्स$v$$G$$(G_v,\le_v)$$v$$e = \{u,v\}$$e$$u$$v$ और वी स्थानीय रूप से अप्रभेद्य हैं और उन्हें एक ही आउटपुट का उत्पादन करना है।$u$$v$

कई शास्त्रीय ग्राफ़ समस्याओं के लिए यह ज्ञात है कि कुल आदेश मदद नहीं करता है (बहुत कमजोर संबंध अनिवार्य रूप से समरूपता-ब्रेकिंग जानकारी की समान मात्रा प्रदान करते हैं), लेकिन कुछ मामले अभी भी खुले हैं - और एक सामान्य परिणाम जो सभी उच्च के मामले को कवर करता है- परिधि रेखांकन एक सफलता हो सकती है।

यह एक जीत का सवाल हो सकता है: जवाब की परवाह किए बिना, हम कुछ नया सीखते हैं। यदि उत्तर "हां" है, तो हम नए, मजबूत कम-बाध्य परिणामों को प्राप्त करने में सक्षम हो सकते हैं; अगर जवाब "नहीं" है, हम तेजी से एल्गोरिदम कि स्थानीय समरूपता को तोड़ने जानकारी है कि किसी भी में उपलब्ध है का फायदा उठाने के डिजाइन करने के लिए सक्षम हो सकता है ।$(G,\le)$

निश्चित रूप से वास्तविक दुनिया में हमारे पास पर कुल आदेश नहीं है ; हम कुछ अधिक है: प्रत्येक नोड वी ∈ वी एक अनूठा लेबल है ℓ ( v ) ∈ एन । लेकिन कुल आदेश और अद्वितीय लेबल के बीच की खाई को कम करना आमतौर पर अधिक सीधा है; अक्सर रामसी जैसा तर्क दिखाता है कि (सबसे खराब स्थिति में) लेबल कोई जानकारी नहीं देते हैं जो कुल क्रम में उपलब्ध नहीं है।$V$$v \in V$$\ell(v) \in \mathbb{N}$

Answer 1

हाँ , इस तरह के जोड़े किसी भी के लिए मौजूद हैं ε > 0 , किसी भी आर , किसी भी ग्राम , और किसी भी भी घ ।$(G,\le)$$\epsilon > 0$$r$$g$$d$

जानकारी के लिए, 1201.6675: arXiv ।