क्या ऐसा मैट्रिक्स मौजूद हो सकता है?

अपने काम के दौरान मैं निम्नलिखित समस्या के साथ आया:

मैं निम्नलिखित गुणों के साथ, किसी भी लिए एक -mrix खोजने की कोशिश कर रहा हूं : $n \times n$ $(0,1)$ $M$ $n > 3$

का निर्धारक भी सम है। $M$
किसी भी गैर-खाली साथ, Submatrix अजीब निर्धारक है यदि और केवल यदि । $I,J\subseteq\{1,2,3\}$ $|I| = |J|$ $M^I_J$ $I=J$

यहाँ में सूचकांकों के साथ पंक्तियों और में सूचकांकों वाले स्तंभों को हटाकर बनाए गए के को दर्शाता है । $M^I_J$ $M$ $I$ $J$

अब तक, मैंने यादृच्छिक नमूने के माध्यम से ऐसे मैट्रिक्स को खोजने की कोशिश की, लेकिन मैं केवल एक मैट्रिक्स खोजने में सक्षम हूं जिसमें पहले एक को छोड़कर सभी गुण हैं , यानी मैट्रिक्स में हमेशा एक विषम निर्धारक होता है। मैंने बिना किसी सफलता के विभिन्न आयामों और विभिन्न इनपुट / आउटपुट सेटों की कोशिश की। तो यह मुझे लगता है:

क्या यह आवश्यकताओं के बीच एक निर्भरता है, जो उन्हें एक साथ सच होने से रोकता है?

या

क्या यह संभव है कि इस तरह की मैट्रिक्स मौजूद है और कोई मुझे एक उदाहरण दे सकता है?

धन्यवाद, Etsch

— Etsch
स्रोत

आप यादृच्छिक सबसेट या किसी भी सबसेट का मतलब है?

— सुरेश वेंकट

ऐसा लगता है कि और एक-दूसरे से संघर्ष करते हैं , क्योंकि एक यादृच्छिक सबसेट में को दूसरे यादृच्छिक सबसेट में को रोकने के लिए कुछ भी नहीं है । या क्या आप बस यही चाहते हैं कि एक ही जोड़े के सबसेट , ?

det (M_{o_{1}}^{i_{1}}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{i_1}_{o_1}) \equiv 1 \pmod{2}$

det (M_{o_{2}}^{i_{1}}) \equiv 0 (\mod 2)

$\det(M^{i_1}_{o_2}) \equiv 0 \pmod{2}$

o_{1}

$o_1$

o_{2}

$o_2$

{o_{1}, o_{2}, o_{3}}

$\{o_1,o_2,o_3\}$

{i_{1}, i_{2}, i_{3}}

$\{i_1,i_2,i_3\}$

— पीटर शोर

हाँ, दो सबसेट और निर्धारित हैं। उदाहरण के लिए एक सेट कर सकते हैं , , और , , और फिर सवाल यह है: वहाँ एक (7x7) मैट्रिक्स है ऐसी है कि , , परिभाषित 20 गुणों के अनुसार, और इसी तरह।

I = {i_{1}, i_{2}, i_{3}}

$\mathcal{I} = \{i_1,i_2,i_3\}$

O = {o_{1}, o_{2}, o_{3}}

$\mathcal{O} = \{o_1,o_2,o_3\}$

n = 7

$n=7$

i_{1} = 1

$i_1 = 1$

i_{2} = 2

$i_2 = 2$

i_{3} = 5

$i_3 = 5$

o_{1} = 2

$o_1 = 2$

o_{2} = 3

$o_2 = 3$

o_{3} = 4

$o_3 = 4$

M

$M$

det (M) \equiv 0 (\mod 2)

$\det(M) \equiv 0\pmod{2}$

det (M_{2, 3, 4}^{1, 2, 5}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{1,2,5}_{2,3,4}) \equiv 1 \pmod{2}$

det (M_{2, 3}^{1, 2}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{1,2}_{2,3}) \equiv 1\pmod{2}$

— Etsch

क्या आप प्रश्न को सरल बनाने और पढ़ने में आसान बनाने के लिए , , , , , को ठीक नहीं कर सके?

i_{1} = 1

$i_1 = 1$

i_{2} = 2

$i_2 = 2$

i_{3} = 3

$i_3 = 3$

o_{1} = 1

$o_1 = 1$

o_{2} = 2

$o_2 = 2$

o_{3} = 3

$o_3 = 3$

— जुका सुओमेला

स्पष्टता के लिए संपादित।

— जेफ

ऐसा कोई मैट्रिक्स मौजूद नहीं है।

Desnanot-जैकोबी पहचान का कहना है कि के लिए , तो का उपयोग कर यह, हम लेकिन आपकी आवश्यकताएं बाएं-हाथ-पक्ष को 0 (mod 2) और दाएं-हाथ की ओर 1 (mod 2) होने के लिए मजबूर करती हैं, यह दिखाते हुए कि वे असंगत हैं। $i \neq j$

det M_{i j}^{i j} det M = det M_{i}^{i} det M_{j}^{j} - det M_{i}^{j} det M_{j}^{i}

$\det M_{ij}^{ij} \det M = \det M_i^i \det M_j^j -\det M_i^j \det M_j^i$

det M_{12}^{12} det M = det M_{1}^{1} det M_{2}^{2} - det M_{1}^{2} det M_{2}^{1}

$\det M_{12}^{12} \det M = \det M_{1}^{1} \det M_{2}^{2} - \det M_{1}^{2} \det M_{2}^{1}$

— पीटर शोर
स्रोत

अच्छा! हालाँकि, अब मैं उलझन में हूँ क्योंकि पूछने वाले ने कहा कि अकेले सवाल में दूसरी गोली से संतुष्ट किया जा सकता है, जो वास्तव में उस पहचान का खंडन करता है जिसे आपने उद्धृत किया था।

— त्सुयोशी इतो

@ त्सुयोशी: दूसरी गोली कैसे पहचान का विरोध करती है? पहचान मैट्रिक्स दूसरी गोली को संतुष्ट करता है, और यह जांचना आसान है कि देसनोट-जैकोबी पहचान को संतुष्ट करता हूं। (जब तक आप ले रहे हैं , जो पहचान में एक शर्त का उल्लंघन करता है जिसे मैंने सिर्फ अपने जवाब में जोड़ा है।)

I

$I$

I

$I$

i = j

$i = j$

— पीटर शोर

क्षमा करें, मेरी पिछली टिप्पणी फर्जी थी, और ऐसा लगता है कि मैं जितना सोचा था उससे अधिक भ्रमित हूं। प्रश्न की आवश्यकता आपके उत्तर में दूसरे समीकरण के बाएं हाथ को 0 मॉड 2 होने के लिए क्यों मजबूर करती है?

— त्सुयोशी इतो

अब मैं देख रहा हूं कि आपका क्या मतलब है। आपको पहली पंक्ति और पहला कॉलम नहीं निकालना था।

— त्सुयोशी इतो

@Etsch: मैं सोच रहा था जब मैंने लिखा । मुझे लगता है कि अब यह सही है।

M

$M$

M_{1, 2, 3}^{1, 2, 3}

$M^{1,2,3}_{1,2,3}$

— पीटर शोर