एक तरफ़ा कार्यों के अस्तित्व के लिए तर्क

Question

मैंने कई पत्रों में पढ़ा है कि एक तरफ़ा कार्यों का अस्तित्व व्यापक रूप से माना जाता है। क्या कोई इस पर प्रकाश डाल सकता है कि ऐसा क्यों है? एक तरफ़ा कार्यों के अस्तित्व का समर्थन करने के लिए हमारे पास क्या तर्क हैं?

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मुझे यह कुछ भ्रामक लगता है कि कई कागजात बताते हैं कि एक तरफ़ा कार्यों का अस्तित्व व्यापक रूप से माना जाता है क्योंकि अभी तक हमारे पास उनके अस्तित्व के लिए कोई मजबूत तर्क नहीं है। "एक तरफ़ा कार्यों का अस्तित्व व्यापक रूप से विशेषज्ञों के बीच एक प्रशंसनीय धारणा के रूप में स्वीकार किया जाता है जो व्यवहार में हमारे अनुभव के अनुरूप है और ज्ञान की वर्तमान स्थिति" अधिक उपयुक्त और समान है।

Answer 1

यहां एक तर्क दिया गया है कि एकतरफा कार्यों को उल्टा करना कठिन होना चाहिए। मान लीजिए कि लगाए गए समाधानों के साथ 3-SAT समस्याओं का एक वर्ग है जिसे हल करना मुश्किल है। निम्नलिखित मानचित्र पर विचार करें:

$$(x, r) \rightarrow s$$

जहाँ बिट्स की कोई स्ट्रिंग है, r बिट्स की एक स्ट्रिंग है (आप इनका उपयोग रैंडम नंबर जेनरेटर के लिए कर सकते हैं, या आप अपनी आवश्यकता के अनुसार कई रैंडम बिट्स के लिए पूछ सकते हैं) और s एक k -SAT समस्या है जैसे x एक लगाए समाधान है, जहां यादृच्छिक संख्या जनरेटर निर्धारित करता है कि वास्तव में कौन कश्मीर -SAT समस्या आप चुनते हैं। इस वन-वे समारोह को उलटने के लिए, आप एक को हल करने की जरूरत है कश्मीर एक लगाए समाधान के साथ -SAT समस्या।$x$$r$$s$$k$$x$$k$$k$

इस तर्क से पता चलता है कि एक-तरफ़ा फ़ंक्शन को सम्मिलित करना उतना ही कठिन है जितना कि सेट समस्याओं को हल करना। और चूँकि k -SAT एक NP-complete समस्या है, यदि आप यह पता लगा सकते हैं कि किसी भी NP समस्या के लिए रोपित समाधानों के साथ कठिन उदाहरणों का निर्माण कैसे किया जा सकता है, तो आप k -SAT फ़ार्मुलों में समाधानों को लगा सकते हैं।$k$$k$$k$

यह साबित नहीं हुआ है कि एनपी-पूर्ण समस्याओं के वर्ग के साथ आने वाले समाधानों के साथ आना संभव है जो कि मनमाने ढंग से एनपी-पूर्ण समस्याओं के रूप में कठिन हैं (और अगर यह सच है, तो यह साबित होने के लिए अविश्वसनीय रूप से कठिन है) , लेकिन लोगों को निश्चित रूप से जानते हैं कि कैसे में संयंत्र समाधान करने के लिए तरीकों से -SAT समस्याओं कोई भी वर्तमान में हल करने के लिए कैसे जानता है कि।$k$

जोड़ा: मुझे अब पता चला है कि यह कनेक्शन पहले से ही (और अधिक विस्तार से) अबादी, अल्लेंडर, ब्रोडर, फीजेनबौम और हेमाचंद्र में दिया गया था ; वे बताते हैं कि एक तरफ़ा फ़ंक्शंस SAT के कठिन उदाहरणों को हल कर सकते हैं, और इसके विपरीत।

इसे और अधिक अनौपचारिक भाषा में रखना, एकतरफा कार्यों के गैर-अस्तित्व को दर्शाता है कि वास्तव में कठिन पहेलियाँ मौजूद नहीं हो सकती हैं। यदि एक प्रकार की पहेली है, जहां कोई एक पहेली और इसके समाधान दोनों को एल्गोरिथम रूप से ले सकता है, तो पहेली का समाधान खोजने के लिए एक बहुपद-काल एल्गोरिथ्म भी है। यह मेरे लिए बहुत ही सहज ज्ञान युक्त लगता है। बेशक, एक बहुपद अंतर मौजूद हो सकता है; यह मामला हो सकता है कि यदि पहेली बनाते हुए कदम उठाए गए, तो इसे हल करने से O ( n 3 ) चरण हो सकते हैं। हालांकि, मेरा अंतर्ज्ञान कहता है कि सुपरपोलिनोमियल गैप होना चाहिए। $n$$O(n^3)$

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क्या यह अंततः सादिक के समान तर्क नहीं है, इस अर्थ में कि दोनों कुछ समस्याओं पर भरोसा करते हैं, जो वर्तमान में कोई नहीं जानता कि बहुत प्रयास के बावजूद कैसे हल किया जाए?

— त्सुयोशी इतो

@ सादिक: आप एल्गोरिथ्म को अनिवार्य रूप से सभी यादृच्छिक बिट्स दे सकते हैं जो आपको इस तर्क के लिए चाहिए; आपको वास्तव में PRG की आवश्यकता नहीं है, और निश्चित रूप से क्रिप्टोग्राफिक रूप से मजबूत नहीं है।

— पीटर शोर

@Tsuyoshi: मुझे लगता है कि लगाए गए समाधानों के साथ एनपी समस्याओं के कठिन मामलों को उत्पन्न करना फैक्टरिंग या असतत लॉग की तुलना में थोड़ा अधिक सामान्य है; एक बात के लिए, यह BQP में होना ज्ञात नहीं है।

— पीटर शोर

@ त्सुयोशी: मैं एक अलग दृष्टिकोण देखना पसंद करूंगा; दुर्भाग्य से, मेरे पास एक नहीं है। लेकिन इसका मतलब यह है कि वास्तव में कठिन पहेलियाँ मौजूद नहीं हो सकती हैं; यदि एक प्रकार की पहेली होती है, जहाँ कोई व्यक्ति किसी पहेली और उसके समाधान को एल्गोरिदम के साथ ले सकता है, तो पहेली को हल करने के लिए एक बहुपद-कालिक एल्गोरिथ्म भी है। यह मेरे लिए बहुत ही सहज ज्ञान युक्त लगता है।

— पीटर शोर

@ त्सुशी: मुझे लगता है कि पीटर की बात यह है कि ओडब्ल्यूएफ के लिए सिर्फ दो या तीन उम्मीदवार नहीं हैं; उम्मीदवारों के साथ आने के लिए बेहद भरपूर और लगभग तुच्छ हैं। उदाहरण के लिए यदि आप NIST की SHA-3 प्रतियोगिता के आसपास के काम को देखते हैं, तो OWFs का निर्माण करना "आसान" प्रतीत होता है, और लोग ज्यादातर सुपरफास्ट OWFs को डिजाइन करने से चिंतित हैं जो अभी भी सुरक्षा की बहुत कठोर धारणा को पूरा करते हैं।

— टिमोथी चाउ

Answer 2

मैं एक संक्षिप्त उत्तर दूंगा: प्रतीत होने वाली कठिन समस्याओं का अस्तित्व, जैसे कि FACTORING या DISCRETE LOG से बने सिद्धांतकारों का मानना ​​है कि OWF मौजूद है। विशेष रूप से, उन्होंने ऐसी समस्याओं के लिए कुशल (संभाव्य बहुपद-काल) एल्गोरिदम खोजने के लिए दशकों (1970 के दशक से) का प्रयास किया, लेकिन कोई भी प्रयास सफल नहीं हुआ। यह तर्क बहुत हद तक समान है कि अधिकांश शोधकर्ताओं का मानना ​​है कि पी is एनपी।

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उस विश्वास के बारे में मुझे क्या पसंद नहीं है कि दोनों समस्याएं BQP में हैं, इसलिए यदि वे वास्तव में एक तरफ़ा हैं और क्वांटम कंप्यूटर व्यावहारिक हैं, तो एक तरफ़ा फ़ंक्शन की परिभाषा बदल दी जानी चाहिए (क्वांटम पॉली का विरोध करने के लिए) -बस यादृच्छिक के बजाय विरोधी)। क्या आप उस अर्थ में मजबूत एक तरफ़ा कार्यों के लिए किसी भी उम्मीदवार को जानते हैं? क्या ऐसे मजबूत एक तरफ़ा कार्यों के उम्मीदवार हैं जो रज़ोरोव-रुडीच को अपने प्रमेय में मानते हैं?

— डिएगो डे एस्ट्राडा

मेरे पहले प्रश्न का उत्तर: dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2007.03.013

— डिएगो डे एस्ट्राडा

$DTIME(\exp(n^{1/4}))$

इसके लिए एक बेहतर तर्क होना चाहिए कि वन-वे फ़ंक्शंस मौजूद क्यों हैं क्योंकि हम उन फ़ंक्शंस का एक समूह जानते हैं जिन्हें हम नहीं जानते हैं कि कैसे अभी तक इनवर्टर है। मैं देखूंगा कि क्या मैं एक के साथ आ सकता हूं।

— पीटर शोर

$DTIME(exp(n^{1/4}))$

Answer 3

सैशो का तर्क शाश्वत पी = एनपी समस्या पर निर्भर करता है जिसके लिए वर्तमान में कोई आम सहमति नहीं है।

$r_1,r_2,r_3,\ldots,r_n$$s_1,s_2,s_3,\ldots,s_n$

$f(r_i,s_i) = r_i \oplus s_i = c_i$

$f^{-1}(r_i,s_i)$

हम शैनन के परिणाम को एक तरफ़ा कार्यों के लिए नकल कर सकते हैं।

$f:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$f:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

पकड़ यह है कि हम नहीं जानते कि क्या वास्तव में यादृच्छिक संख्या मौजूद है क्योंकि सवाल आइंस्टीन की टिप्पणी के बराबर है "भगवान ने नाटक नहीं किया"।

हालांकि, सभी उद्देश्यों के लिए, एक शारीरिक प्रक्रिया पर आधारित एक यादृच्छिक संख्या जनरेटर को विशेषज्ञों द्वारा पर्याप्त यादृच्छिक माना जाता है।

$(c_i,r_i)$

$f(r_i,s_k)\neq f(r_j,s_k)$$s_k$$f(r_i,s_i) = f(r_j,s_j)$

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शैनन का परिणाम सूचना-सिद्धांत संबंधी सुरक्षा (जहां प्रतिकूल गणना शक्ति है) के बारे में है। यही सवाल पूछने वाला नहीं है। प्रश्न कम्प्यूटेशनल सुरक्षा के साथ एक तरफ़ा कार्यों के बारे में पूछ रहा है (जहां प्रतिकूल स्थिति बहुपद-काल गणना तक सीमित है)। नतीजतन, शैनन-शैली के तर्क इस बारे में कुछ नहीं कहते हैं कि क्या कम्प्यूटेशनल रूप से एक-तरफ़ा कार्य मौजूद हैं।

— DW

वन-वे फ़ंक्शन की परिभाषा पढ़ें ।

— केवह

केआर- I Ko पी = एनपी समस्या और बहुपद आइसोमोर्फिज्म के संबंध में एकतरफा कार्य को परिभाषित करता है। विशेष रूप से, यदि एक तरफा कार्य मौजूद है, तो एनपी-पूर्णता के बीच एनपी-पूर्णता, यानी समरूपता के बारे में कुक का अनुमान नहीं है। सूचना एन्ट्रापी के दृष्टिकोण से चीजों को प्रस्तुत करने की रुचि यह दिखाना है कि गणितीय रूप से निश्चित कार्यों का समरूपता वर्ग केवल सुरक्षित है (अपरिवर्तनीय) यदि एक यादृच्छिक सेट को परिभाषित किया जा सकता है। मैं शैतानी इनपुट पर अंतरंगता और अभिव्यक्ति के उपयोग के बारे में निश्चित नहीं हूं "गणितीय रूप से सुरक्षित"।

— mathersjj1

cstheory एक चर्चा मंच या एक व्यक्तिगत ब्लॉग नहीं है, यह एक प्रश्नोत्तर साइट है। आपकी पोस्ट वन-वे फ़ंक्शंस (जैसा कि लिंक में परिभाषित है) के बारे में पूछे गए प्रश्न का उत्तर नहीं है। चेक दौरे और सहायता केंद्र cstheory के दायरे से स्पष्टीकरण के लिए।

— केवह

Answer 4

उदाहरण के लिए साइन समारोह के लिए सुझाव देना जितना आसान होगा?

क्योंकि किसी दिए गए इनपुट और आउटपुट के लिए इनपुट को 360 डिग्री तक बढ़ाया या घटाया जा सकता है (या 2 pi यदि आप रेडियंस में हैं) तो यह कई-से-एक है, इसलिए आप कभी सुनिश्चित नहीं हो सकते कि आपके पास कौन सा इनपुट था?

मुझे बताओ अगर मैं सवाल गलत समझा है, हालांकि।

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परिभाषा की जाँच करें ।

— केवह

आप दो अवधारणाओं का मिश्रण कर रहे हैं: एक तरफ़ा फ़ंक्शंस, और अनजाने फ़ंक्शंस। जबकि साइन फंक्शन अनइनटेबल है, यह एक तरीका नहीं है। विशेष रूप से, आप हमेशा के साथ आ सकते हैं एक (जो भी सटीक आप की तरह करने के लिए) preimage, भले ही यह नहीं है preimage।

— एमएस डौस्टी

मैं देखता हूं, भेद समझाने के लिए धन्यवाद।

— हारून रॉबसन