बहुमत वोट के लिए सबसे अच्छा अनुमान क्या है?

बहुमत वोट ऑपरेशन गलती-सहिष्णुता (और अन्य स्थानों पर कोई संदेह नहीं) में अक्सर आता है, जहां फ़ंक्शन थोड़ा समान होता है, जिसमें कभी भी मूल्य इनपुट बिट्स के मूल्य में सबसे अधिक बार प्रकट होता है। सादगी के लिए, मान लें कि जब भी इनपुट में 0 और राज्य 1 में बिट के बराबर संख्या होती है, तो यह 0 को आउटपुट करता है।

यह उन बिंदुओं के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जहां प्रत्येक इनपुट के लिए 2 से अधिक संभावनाएं होती हैं, जो कि मूल्य को इनपुट में सबसे अधिक बार होता है, और एक टाई के मामले में, सबसे लगातार मूल्य वापस लौटता है जो पहले लेक्सिकोग्राफिक रूप से आता है। चलो इस फ़ंक्शन को "बहुलता वोट" कहते हैं।

मैं ऐसे फ़ंक्शन के आउटपुट में दिलचस्पी रखता हूं जब प्रत्येक इनपुट में एक निश्चित संभावना वितरण होता है (और इनपुट में प्रत्येक डिट के लिए वितरण समान होता है)। विशेष रूप से मैं निम्नलिखित प्रश्न की परवाह करता हूं।

एक सेट को देखते हुए , अगर सेट स्वतंत्र रूप से बेतरतीब ढंग से नमूना बार, संभावना के साथ चुनने का के तत्व हर बार, एक निश्चित चुनाव के लिए के संभावना क्या है कि इन outputs की अधिकता वोट ? $S=\{S_1, S_2,... ,S_n\}$ $N$ $p_i$ $i^{th}$ $S$ $v$ $S_v$

अब, बहुराष्ट्रीय वितरणों के योग के रूप में उपरोक्त प्रश्न के सटीक उत्तर की गणना करना सीधे आगे है। हालांकि, मेरे उद्देश्यों के लिए, यह आदर्श से कम है, और सन्निकटन के लिए एक बंद बेहतर होगा। तो मेरा सवाल है:

उपरोक्त संभाव्यता के लिए किस बंद रूप का अनुमान सटीक मान से अधिकतम दूरी पर सबसे अधिक बाध्य है?

co.combinatorics

— जो फिट्जिमोंस
स्रोत

मुझे नहीं पता, लेकिन मैं खोज वाक्यांश, "नियंत्रण सिद्धांत सर्वसम्मति" या "नियंत्रण सिद्धांत आम सहमति समस्या" का सुझाव दूंगा। यह वितरित कंप्यूटिंग सर्वसम्मति समस्या से एक अलग समस्या है, और हो सकता है कि आपको क्या चाहिए।

— हारून स्टर्लिंग

क्या आप एक ऐसे अंदाज़े की तलाश कर रहे हैं जो N की तुलना में N के बड़े होने पर अच्छा काम करे? यदि ऐसा है, तो टाई-ब्रेकिंग नियम अप्रासंगिक होना चाहिए।

— Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto: हां, मैं हूं, और वास्तव में यह नियम अप्रासंगिक है, लेकिन मैं यह सुनिश्चित करना चाहता था कि प्रश्न अच्छी तरह से प्रस्तुत किया गया था। मैं वास्तव में इस बारे में परवाह नहीं करता हूं कि संबंध कैसे टूटे हैं, क्योंकि उस विसंगति को बांधना आसान है।

— जो फिजिसिमन्स

ठीक है, यहाँ लिफाफा अनुमान के वापस आ गया है ... Let

समय की संख्या आप लेने सेट हो

। यह एक द्विपद चर है। बहाना वे स्वतंत्र हैं। अब, की एक निश्चित मूल्य के लिए

, आप के इस मूल्य प्राप्त होने की संभाव्यता की गणना कर सकता

, और इस मूल्य के लिए संभावना यह अन्य सभी चर के ऊपर जीत की गणना। यह संभावना पर एक बहुत अच्छा सीमा देना चाहिए। वे निश्चित रूप से सबसे मजबूत नहीं हैं - आप जिस पर निर्भर होने की अधिक निर्भरता रखते हैं, आपका अनुमान उतना ही सटीक होगा, लेकिन जितनी अधिक गणना आपको करनी होगी।

Y_{i}

$Y_i$

S_{i}

$S_i$

Y_{v}

$Y_v$

Y_{v}

$Y_v$

— साराएल हर-पेलेड

अगर सभी के लिए , तो $p_v > p_i$ $i \ne v$

P r [outcome is different from v] \leq min_{T} (P r [B (N, p_{v}) \leq T] + P r [\forall i \neq v B (N, p_{i}) \geq T]),

$\mathrm{Pr}[\mbox{outcome is different from $v$}] \leq \min_T \left(Pr[B(N, p_v) \leq T] + Pr[\forall i \ne v \quad B(N, p_i) \geq T]\right),$

जहां द्विपद वितरण है, और एक मनमाना दहलीज है। प्लग और Chernoff सीमा का उपयोग कर, एक के रूप में इस संभावना ऊपरी बाध्य कर सकते हैं । $B(n, p)$ $T$ $T = N (p_v + \max_{i \ne v} p_v) / 2$ $e^{-\Omega(N)}$

बेशक, अगर अधिकतम नहीं है, तो आपको विपरीत तस्वीर मिलती है। अत्यधिक संभावना के साथ परिणाम नहीं है। $p_v$ $v$

— ilyaraz
स्रोत

समस्या के बारे में सोचने के लिए धन्यवाद, लेकिन यह वह नहीं है जिसकी मुझे तलाश है। यह एक बंद रूप नहीं है। मुझे घातांक की एक बिना संख्या के योग करने की आवश्यकता होगी। मुझे पहले से ही पता है कि कैसे सटीक समाधान लिखना है और मैं व्यक्तिगत शब्दों के लिए बहुत सारे अनुमान जानता हूं, लेकिन यह वह नहीं है जो मैं चाहता हूं। मैं व्यक्तिगत रूप से नहीं, समाधान के लिए एक बंद रूप सन्निकटन की तलाश कर रहा हूं। मुझे त्रुटि पर एक सभ्य बाध्य की भी आवश्यकता है।

— जो फिजिसिमन्स

आप एक ही विधि का उपयोग करके बंद फॉर्म प्राप्त कर सकते हैं (यदि आप अतिरिक्त कारक

खुश हैं )। और त्रुटि को बाध्य करने के लिए, आप चेरनॉफ बाउंड के बजाय बेरी-एसेन प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं।

n

$n$

— इलियाज

@ilyaraz मैं आपकी पहली असहमति को समझने की कोशिश कर रहा हूँ। क्या आप मुझे बता सकते हैं कि यह क्यों बेहतर है? मुझे लगता है कि आपने संघ को किसी तरह से बाध्य किया है लेकिन मैं समझ नहीं पा रहा हूं। धन्यवाद :)

— एंटोनियोफैज़ा