समरूपता और कम्प्यूटेशनल अंतरंगता के बीच संबंध?

Question

फिक्स्ड बिंदु मुक्त automorphism समस्या एक ग्राफ automorphism जो कम से कम चाल के लिए पूछता है नोड्स। समस्या -complete है यदि किसी भी > 0 के लिए।$k$$k(n)$$NP$$k(n)=n^c$$c$

हालाँकि, यदि तो समस्या बहुपद समय है। Turing reducible to Graph Isomorphism Problem। यदि तो समस्या बहुपद समय है। ट्यूरिंग-ग्राफ ग्राफर समस्या के समतुल्य है जो और -complete होने के लिए ज्ञात नहीं है । ग्राफ ऑटोमोर्फिज्म समस्या Turing reducible to Graph Isomorphism समस्या है।k ( n ) = O ( लॉग एन / लॉग लॉग n ) N P I N $k(n)=O(\log n)$$k(n)=O(\log n/\log \log n)$$NPI$$NP$

ग्राफ ऑटोमोटिव्स, एंटोनी लोज़ानो और सॉफ्टवेयर टेक्नोलॉजी के विजय राघवन फाउंडेशन, एलएनसीएस 1530, पीपी। 295–306 द्वारा स्थानांतरित वर्टिकल की संख्या की जटिलता की जटिलता पर ।

ऐसा प्रतीत होता है कि कम्प्यूटेशनल कठोरता बढ़ जाती है क्योंकि हम उस वस्तु की समरूपता को बढ़ाते हैं जिसे हम खोजने की कोशिश कर रहे हैं (जैसा कि नोड्स की संख्या द्वारा इंगित किया गया है जो कि ओटोमोर्फिज्म द्वारा स्थानांतरित किया जाना चाहिए)। ऐसा लगता है कि यह बहुपद समय की कमी की व्याख्या कर सकता है। एनपी-पूर्ण संस्करण से ग्राफ ऑटोमोर्फिज्म (जीए) में कमी को पूरा करना

क्या एक कठिन समस्या का एक और उदाहरण है जो समरूपता और कठोरता के बीच इस संबंध का समर्थन करता है?

Comments

कृपया k-फिक्स्ड पॉइंट फ्री ऑटोमोर्फिज्म के लिए NP-पूर्णता परिणाम का संदर्भ जोड़ें। धन्यवाद।

— मार्टिन श्वार्ज

ग्राफ ऑटोमोरफिज्म को एनपीआई में नहीं जाना जाता है।

— एमिल

@Emil: कुछ नहीं है जाना जाता NPI में हो सकता है, के बाद से हम नहीं जानते कि ! लेकिन जीए, जैसे जीआई, एनपी-पूर्ण नहीं है जब तक कि पीएच ढह न जाए। ओटो, हमारे पास वास्तव में यह सोचने का कोई कारण नहीं है कि यह पी में नहीं है, इसके अलावा अन्य लोगों ने कोशिश की और असफल रहे। $P \neq NP$

— जोशुआ ग्रूचो

@ टर्कीस्टनी: बहुत अच्छा सवाल!

— जोशुआ ग्रूचो

@ जोशुआ: हाँ मुझे पता है। मैं सिर्फ प्रश्न पाठ के लिए एक सुधार का सुझाव दे रहा था।

— एमिल

Answer 1

यह समरूपता और कठोरता के बीच "समान" संबंध नहीं है, लेकिन एक बूलियन फ़ंक्शन के समरूपता और इसके सर्किट जटिलता के बीच घनिष्ठ संबंध है। देख:

बाबाई, एल।, बील्स, आर।, और टेकसी-नेगी, पी। समरूपता और जटिलता , एसटीओसी 1992।

यहां वे दिखाते हैं। Let क्रमचय समूहों में से एक दृश्य हो। Let रों ( जी मैं ) निरूपित की कक्षाओं की संख्या जी मैं पर इसके प्रेरित कार्रवाई में { 0 , 1 } मैं (निर्देशांक के परिवर्तन के द्वारा)। चलो एफ ( जी ) भाषाओं के वर्ग निरूपित एल ऐसी है कि एल ∩ { 0 , 1 } n तहत अपरिवर्तनीय है जी एन । तब सभी भाषाओं में $G_{i} \leq S_{i}$$s(G_{i})$$G_{i}$$\{0,1\}^{i}$$\mathcal{F}(G)$$L$$L \cap \{0,1\}^{n}$$G_{n}$ अधिक से अधिक आकार के सर्किट है पी ओ एल y ( रों ( जी ) ) अधिक से अधिक और गहराई पी ओ एल y ( लॉग ( रों ( जी ) ) , और यह अनिवार्य रूप से तंग है।$\mathcal{F}(G)$$poly(s(G))$$poly(\log(s(G))$

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विपरीत दिशा में, कई समस्याओं जिसका गवाह सेट समानताएं के पास बहुत में किया जा रहा अंत ग ओ ए एम (जैसे जी मैं ), और इसलिए नहीं कर रहे हैं एन पी -Complete जब तक पी एच गिर। वास्तव में, निम्न पेपर से पता चलता है कि N P की समस्याएं जिनके गवाह सेट में बहुत अधिक समरूपताएं हैं, P P के लिए निम्न हैं :$NP$$coAM$$GI$$NP$$PH$$NP$$PP$

अरविंद, वी।, विनोदचंद्रन, एनवी समूह-निश्चित भाषाओं की गिनती की जटिलता । Theoret। कंप्यूटर। विज्ञान। 242 (2000), नहीं। 1-2, 199--218।

(नोट: चाहे या नहीं "के लिए कम " इंगित करता है "होने की संभावना नहीं एन पी । -Complete" एक छोटे से, के रूप में तक मुझे पता है हवा में ऊपर है टोडा और Ogiwara पता चला है कि पी पी पी एच ⊆ बी पी ⋅ पी पी "derandomization" इस धारणा के तहत। तो बी पी ⋅ पी पी = पी पी , एन पी के लिए तथ्य यह है कम में है पी पी , के लिए कम तो किया जा रहा है पी पी जा रहा करने के लिए कोई बाधा है एन $PP$$NP$$PP^{PH} \subseteq BP \cdot PP$$BP \cdot PP = PP$$NP$$PP$$PP$$NP$-पूर्ण। दूसरी ओर, वहाँ की वजह से एक दैवज्ञ है Beigel रिश्तेदार जो करने के लिए के लिए कम नहीं है पी पी ।)$NP$$PP$

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इसके बाद के संस्करण, अगर हर बहुपद समय डिसाइडेबल तुल्यता संबंध एक बहुपद समय पूरा अपरिवर्तनीय है (समारोह के रूप में एक समान नस में ऐसी है कि च ( एक्स ) = च ( y ) iff x ~ y ), तो किसी भी एन पी समस्या जिसका गवाह बहुत सारे समरूपता अपने गवाहों के स्वप्रतिरक्षा समूह के लिए छिपी हुई उपसमूह समस्या को कम कर देते हैं। जाहिर है, यहाँ परिकल्पना धारण करने की संभावना नहीं है, लेकिन यह समरूपता और क्वांटम जटिलता के बीच कुछ संबंध देता है।$f$$f(x) = f(y)$$x \sim y$$NP$

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अंत में, मुल्मुले-सोहोनी जियोमेक्ट्रिक कॉम्प्लेक्सिटी थ्योरी कार्यक्रम अनिवार्य रूप से कठोरता साबित करने के लिए समरूपता का उपयोग करने के बारे में है, हालांकि समरूपता-कठोरता का संबंध अधिक सूक्ष्म और कम प्रत्यक्ष है।

Answer 2

संरचित SAT उदाहरण, जो बहुत सारे समरूपता प्रदर्शित करते हैं, यादृच्छिक SAT उदाहरणों की तुलना में हल करना आसान लगता है। वास्तविक विश्व की समस्याओं को SAT में एनकोड करना हमेशा संरचित उदाहरणों को बढ़ाता है (जो आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि वास्तविक दुनिया की समस्याओं का सामना हम समरूपता से करते हैं)। सबसे अच्छे पूर्ण SAT सॉल्वर्स वास्तविक विश्व उदाहरणों को कुशलतापूर्वक 1,000,000 से अधिक चर के साथ हल करने में सक्षम हैं, लेकिन उनमें से कोई भी, जहां तक ​​मुझे पता है, कुशलता से, उदाहरण के लिए, 10,000 चर ( एडवर्ड ए। हिर्श) के साथ यादृच्छिक उदाहरणों को हल करने में सक्षम है । होमपेज यह आश्चर्यजनक रूप से छोटे यादृच्छिक उदाहरणों को खोजने के लिए संभव है, जिसके खिलाफ सबसे अच्छा पूर्ण सैट सॉल्वर भी फंस जाते हैं)। इस प्रकार, एक आनुभविक दृष्टिकोण से, समरूपता की उपस्थिति कठोरता को कम करती है।