यादृच्छिक चलता है के बारे में तकनीकी सवाल

Question

(मेरे मूल प्रश्न का अभी भी उत्तर नहीं दिया गया है। मैंने और स्पष्टीकरण जोड़ दिए हैं।)

मार्कोव श्रृंखला के रूप में रैंडम वॉक को देखते हुए रैंडम वॉक (अप्रत्यक्ष ग्राफ़ पर) का विश्लेषण करते समय, हमें ग्राफ को गैर-द्विपदी होना चाहिए ताकि मार्कोव चेन का मौलिक प्रमेय लागू हो।

यदि ग्राफ के स्थान पर द्विदलीय है तो क्या होगा ? मैं विशेष रूप से को मारने में रुचि रखता हूं , जहां में और बीच एक किनारे है । कहो द्विपक्षीय ग्राफ है किनारों। हम परिणामस्वरूप ग्राफ गैर-द्विदलीय बनाने के लिए ग्राफ में एक मनमाने ढंग से शीर्ष पर स्व-लूप जोड़ सकते हैं ; करने के लिए मार्कोव चेन के मौलिक प्रमेय लागू करने के हम तो है कि मिल में , और यह स्पष्ट रूप भी एक ऊपरी के लिए बाध्य है में ।$G$$h_{i,j}$$i$$j$$G$$G$$m$$G'$$G'$$h_{i,j} < 2m+1$$G'$$h_{i,j}$$G$

प्रश्न: यह है कि मजबूत दावा सच है में रखती है ? (यह 2SAT के लिए यादृच्छिक वॉक एल्गोरिथ्म के विश्लेषण में दावा किया गया है।) या क्या हमें वास्तव में स्वयं-पाश को जोड़ने के इस अतिरिक्त कदम से गुजरना है?$h_{i,j} < 2m$$G$

Answer 1

यह उत्तर कुछ अलग साबित हुआ कि प्रश्नकर्ता वास्तव में किस चीज में रुचि रखता था। इसे यहां छोड़ना ताकि अन्य लोग वही गलती नहीं दोहराएंगे।

ज्यादातर मामलों में, कोई औपचारिक रूप से सहज धारणा को सही ठहरा सकता है कि "आत्म लूप केवल चल को धीमा कर सकता है" एक युग्मन तर्क द्वारा। उदाहरण के लिए, इस मामले में, सेल्फ लूप्स (चलो इसे कहते हैं ) के साथ वॉक कर सकते हैं और सेल्फ लूप्स के बिना (लेट टू द उस ) कहते हैं ताकि , के समान ही कदम उठाए , लेकिन समय में देरी हुई। उदाहरण के लिए यह निम्नानुसार किया जा सकता है: मान लीजिए कि , से शुरू होता है और से होकर जाता है । अब, हम को इस प्रकार लागू करते हैं: भी रूप में उसी कोने से गुजरता है , उस शीर्ष को छोड़कर$A$$B$$A$$B$$B$$u = x_0$$x_i: i =1,2,\ldots,k$$A$$A$$B$$x_i$ , यह जियोमेट्रिक ( ) समय की प्रतीक्षा करता है जहां पर आत्म पाश संभावना है । ध्यान दें कि यह का सही क्रियान्वयन है (सभी संक्रमण संभावनाएं सही हैं), और युग्मन का रूप यह सुनिश्चित करता है कि , से पहले कभी किसी शीर्ष पर नहीं पहुंचता है, हमने और (यादृच्छिक मार) को युग्मित किया है दो बार में) ताकि प्रायिकता साथ हो । इस प्रकार, अपेक्षित हिटिंग समय के लिए असमानता इस प्रकार है।$p_i$$p_i$$x_i$$A$$A$$B$$H_t^A$$H_t^B$$H_t^A \geq H_t^B$$1$

Comments

क्षमा करें, लेकिन मुझे नहीं लगता कि यह मेरे प्रश्न का उत्तर देता है। मैं मानता हूं कि में ऊपरी है द्वारा में बाउंड किया गया है, जो कि से ऊपरी तौर पर । लेकिन मैं मजबूत बाउंड प्राप्त करना चाहूंगा कि में ऊपरी से है । (ठीक है, मुझे पता है कि " " कोई बड़ी बात नहीं है, लेकिन दूसरी तरफ मैंने " " के बिना किए गए दावे को देखा है और इसलिए मुझे आश्चर्य है कि क्या यह तकनीकी रूप से सटीक है।)$h_{i,j}$$G$$h_{i,j}$$G'$$2m+1$$h_{i,j}$$G$$2m$$+1$$+1$

— user686

@ user686 क्या आप संदर्भ साझा कर सकते हैं?

— टायसन विलियम्स

Answer 2

मैंने इसे पहले एक टिप्पणी के रूप में पोस्ट किया था, और मुझे विश्वास है कि यह पुष्टि में उपयोगकर्ता के 686 के संशोधित प्रश्न का उत्तर देता है (जब और एक ग्राफ में एक किनारे से जुड़ा हुआ है (कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह द्विदलीय है या नहीं), , से तक अपेक्षित मार समय ।) को संतुष्ट करता है ।$i$$j$$G$$h(i,j)$$i$$j$$h(i,j) < 2m$

मुझे यह भी ध्यान देना चाहिए कि इसके मूल संयुक्त संस्करण में, प्रश्न में यह नहीं बताया गया है कि और निकटवर्ती हैं, इसलिए जबकि पहले के उत्तर मूल प्रश्न के लिए प्रासंगिक हैं, वे नए संपादित संस्करण के लिए प्रासंगिक नहीं हैं।$i$$j$

यदि और समीप हैं, तो लघुकरण समय , जहाँ बीच प्रभावी प्रतिरोध है और जी में, और अधिक से अधिक है (के बाद से और बढ़त से जुड़े हुए हैं)। इससे पता चलता है कि जब और से सटे हैं , क्योंकि और दोनों ही सख्ती से सकारात्मक हैं।$i$$j$$C(i,j)=h(i,j)+h(j,i)=2mR(i,j)$$R(i,j)$$i$$j$$1$$i$$j$$h(i,j)<2m$$i$$j$$G$$h(i,j)$$h(j,i)$

पहचान मनमाना कोने और लिए रखती है । उदाहरण के लिए, लियोन्स और पेरेस की पुस्तक में एक प्रमाण दिखाई देता है ।$C(i,j) = 2mR(i,j)$$i$$j$

Comments

धन्यवाद; यदि आपके द्वारा बताया गया परिणाम द्विदलीय रेखांकन के लिए भी है (मैं आपके द्वारा दिए गए संदर्भ की जाँच करूँगा) तो यह वास्तव में मेरे प्रश्न का उत्तर देता है!

— user686

Answer 3

@ user686 क्षमा करें, मेरे पहले के जवाब के लिए: मुझे नहीं पता था कि आप इसके बारे में चिंतित थे $2m+1$ बनाम $2m$। हालाँकि, उस मामले में मुझे नहीं लगता कि अगर आप केवल एक आत्म पाश जोड़ते हैं, तो किया गया दावा सही है$j$। रैंडम वॉक शुरू$i$ दोनों के मामले में $G'$ और और $G$ युग्मित किया जा सकता है ताकि वे ले सकें $same$ एक ही समय पर कदम जब तक वे नहीं पहुंचते $j$। इस का मतलब है कि$H(i,j)_G=H(i,j)_{G'}$, और अपेक्षित मार का समय इसलिए बराबर होना चाहिए।

साथ ही, बाउंड के बाद से $h_{i,j} < 2m+1$ सामान्य रूप से सही नहीं है (पथ पर) $m$ नोड्स, $h_{i,j}$ जितना बड़ा हो सकता है $\Theta(m^2)$), क्या आपका ग्राफ विशेष है?

पुनश्च: मैंने अपने पहले के उत्तर को अपडेट किया क्योंकि ऐसा लगता है कि यह आपकी मुख्य चिंता का समाधान नहीं था।

Comments

दूसरी ओर, यदि $i$ तथा $j$ निकटवर्ती, लघुकरण समय हैं $C(i,j) = h(i,j) + h(j,i) = 2mR(i,j)$, कहाँ पे $R(i,j)$ के बीच प्रभावी प्रतिरोध है $i$ तथा $j$ में $G$, और सबसे ज्यादा है $1$। यह दर्शाता है कि$h(i,j) < 2m$ कब $i$ तथा $j$ में समीप हैं $G$, चूंकि दोनों $h(i,j)$ तथा $h(j,i)$सख्ती से सकारात्मक हैं।

— पीयूष

यह ठीक है (और कभी-कभी बेहतर) उत्तर को गलत होने पर भी रखने के लिए या सवाल का जवाब नहीं देने के लिए ताकि अन्य लोग एक ही गलती नहीं करेंगे, बस उत्तर की शुरुआत के लिए एक पंक्ति जोड़ें यह बताते हुए कि यह गलत क्यों है या नहीं प्रश्न का उत्तर दो। :)

— केवह

@Kaveh: धन्यवाद, मैं यहाँ नया हूँ। मेरा पहले वाला उत्तर गलत नहीं था, लेकिन यह जवाब नहीं दिया कि उपयोगकर्ता ने महत्वपूर्ण मुद्दे पर क्या विचार किया है।

— पीयूष

@ पीयूष: बस इसके शीर्ष पर बोल्ड में एक पंक्ति जोड़ें ताकि यह स्पष्ट हो कि यह प्रश्न का उत्तर नहीं दे रहा है।

— केवह