गैर रचनात्मक कार्य और विषम परिणाम

Question

अरोड़ा-बराक पुस्तक में, समय रचनात्मक कार्यों की परिभाषा में, यह कहा जाता है कि ऐसे कार्यों का उपयोग करना जो समय रचनात्मक नहीं हैं, "अनैतिक परिणाम" पैदा कर सकते हैं। क्या किसी के पास इस तरह के "विसंगतिपूर्ण परिणाम" का उदाहरण है? मैंने विशेष रूप से सुना है कि ऐसे कार्य मौजूद हो सकते हैं जैसे कि समय पदानुक्रम प्रमेय धारण नहीं करता है, क्या किसी के पास ऐसे कार्यों का उदाहरण है? क्या कहीं इस बारे में कुछ लिखा है?

Comments

क्या आपके पास इन पर एक नज़र है: math.stackexchange.com/questions/51082/… और cstheory.stackexchange.com/questions/992/… ?

— जुका सुओमेला

@JukkaSuomela: हां मेरे पास है, लेकिन वे इस बारे में हैं कि कौन से कार्य समय / स्थान के लिए रचनात्मक हैं और वे क्यों उपयोगी हैं।

— पास्कल

Answer 1

बोरोडिन के गैप प्रमेय : प्रत्येक कुल कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन के लिए$g(n) \geq n$, कुल कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन है $t$ ऐसा है कि $DTIME[g(t(n))] = DTIME[t(n)]$।

वास्तव में, इसके स्थान पर किसी भी ब्लम जटिलता को मापता है $DTIME$।

विकिपीडिया पृष्ठ और उसमें संदर्भ भी देखें ।

Answer 2

चूंकि विकिपीडिया लेख प्रमाण नहीं देता है और कागज एसीएम डीएल पर है, मैंने सोचा कि यहाँ प्रमाण पोस्ट करना उपयोगी हो सकता है:

THEOREM 3.7। (गैप प्रमेय)।

चलो $\Phi$ एक जटिलता उपाय हो, $g$ एक nondec बढ़ते पुनरावर्ती कार्य ऐसे $\forall x, g(x) \geq x$। तब एक पुनरावर्ती कार्य होता है$t$ इस तरह के कार्यों से जटिलता की गणना की जा सकती है $t$ जटिलता माप के कार्यों के समान हैं $g\circ t$।

सबूत।

परिभाषित करें $t$ निम्नलिखित नुसार:

$$t(0) := 1$$ $$t(n) := \mu{ k > t(n-1)}: \forall i \leq n, (\Phi_i(n)<k \lor \Phi_i(n)> g(k) )$$

1. सबके लिए $n$, वहां एक है $k$सब के बाद से $i \leq n$:

   ए। अगर$\Phi_i(n)$ अपरिभाषित है $\forall k, \Phi_i(n)>g(k)$, तथा

   ख। अगर $\Phi_i(n)$ तब परिभाषित किया गया $\exists k, \Phi_i(n) < k$।

2. $k$ के बाद से पाया जा सकता है $\Phi$ एक जटिलता उपाय है और इस प्रकार $\Phi_i(n) <k$ तथा $\Phi_i(n) > g(k)$ पुनरावर्ती विधेय हैं।

3. $t$ के बाद से प्रमेय को संतुष्ट करता है $n \geq i$ तात्पर्य है कि या तो $\Phi_i(n) < t(n)$ या $\Phi_i(n) > g \circ t(n)$।

QED।

हम देखते हैं कि एक मनमाना बड़ा $t$प्रमेय 3.7 को संतुष्ट करने के लिए पाया जा सकता है। मान लीजिए हम चाहते हैं$t(n) > r(n)$, फिर परिभाषित करें

$$t(0) := r(0) + 1$$ $$t(n) := \mu{k > max\{t(n-1), r(n)\}}: \ldots$$

(एलन बोरोडिन से, " कम्प्यूटेशनल जटिलता और जटिलता अंतराल का अस्तित्व ", JACM 1972, अन्य संशोधनों के साथ।)

Comments

विचार को परिभाषित करना है $t(n)$ कम से कम हो $k$ किसी भी फ़ंक्शन (सूचकांक से कम) $n$) जो जटिलता माप में कम्प्यूटेशनल है $g(k)$ जटिलता माप में भी गणना योग्य है $k$।

— केवह