क्या nondeterministic समय पदानुक्रम में प्राकृतिक अलगाव हैं?

मूल Nondeterministic Time Hierarchy प्रमेय कुक के कारण है (लिंक एस कुक के लिए है, nondeterministic समय जटिलता के लिए एक पदानुक्रम , JCSS 7 343-353, 1973)। प्रमेय बताता है कि किसी भी वास्तविक संख्या के लिए और , यदि r_1 r_2 है तो NTIME ( r_1 ) सख्ती से NTIME ( r_2 ) में समाहित है । $r_1$ $r_2$ $1 \le r_1 \lt r_2$ $n^{r_1}$ $n^{r_2}$

प्रूफ का एक महत्वपूर्ण हिस्सा छोटी कक्षा के तत्वों से एक अलग भाषा बनाने के लिए (एक अनिर्दिष्ट) विकर्ण का उपयोग करता है। न केवल यह एक गैर-तर्कशील तर्क है, बल्कि विकर्णीकरण द्वारा प्राप्त भाषाएं आमतौर पर अलगाव के अलावा कोई अंतर्दृष्टि प्रदान नहीं करती हैं।

यदि हम NTIME पदानुक्रम की संरचना को समझना चाहते हैं, तो निम्नलिखित प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है:

NTIME ( ) में एक प्राकृतिक भाषा है, लेकिन NTIME ( ) में नहीं है? $n^{k+1}$ $n^k$

एक उम्मीदवार k- अलग-थलग SAT हो सकता है , जिसे CNF सूत्र का हल खोजने की आवश्यकता होती है, जिसमें Hamming दूरी k के भीतर कोई अन्य समाधान नहीं है। हालांकि, लोअर बाउंड साबित ~~लगता~~ है हमेशा की तरह, मुश्किल। यह स्पष्ट है कि हेमिंग के-बॉल की जांच करना संभावित समाधानों से स्पष्ट है "को" आवश्यकता होती है, विभिन्न असाइनमेंट की जांच की जानी चाहिए, लेकिन यह किसी भी तरह से आसान साबित नहीं होता है । (नोट: इस बाहर रयान विलियम्स अंक के लिए बाध्य निचले ।, -ISOLATED सैट वास्तव में पी ≠ एनपी साबित हो सकता है इसलिए इस समस्या को सही उम्मीदवार हो प्रतीत नहीं होता है) $\Omega(n^k)$ $k$

ध्यान दें कि प्रमेय पी बनाम एनपी जैसे असुरक्षित पृथक्करणों की परवाह किए बिना बिना शर्त रखता है। इस सवाल का सकारात्मक जवाब इसलिए बनाम एनपी पी का समाधान नहीं होता है जब तक कि यह जैसे अतिरिक्त गुण है ऊपर -ISOLATED बैठ गया। $k$ NTIME की एक प्राकृतिक जुदाई शायद एनपी के "कठिन" व्यवहार के हिस्से को रोशन करने में मदद करेगी, वह हिस्सा जो कठोरता के अनंत आरोही क्रम से अपनी कठिनाई को प्राप्त करता है।

चूंकि निचली सीमाएं कठिन हैं, इसलिए मैं एक उत्तर प्राकृतिक भाषाओं के रूप में स्वीकार करूंगा, जिसके लिए हमारे पास कम बाध्यता को मानने का एक अच्छा कारण हो सकता है, भले ही अभी तक कोई प्रमाण न हो। उदाहरण के लिए, यदि यह प्रश्न DTIME के बारे में होता, तो मैं -CLIQUE को स्वीकार करता, गैर-घटते हुए कार्य , एक प्राकृतिक भाषा के रूप में, जो संभवतः आवश्यक प्रदान करता है रेज़बोरोव और रोसमैन के सर्किट कम सीमा और -inapproximability की CLIQUE पर आधारित पृथक्करण। $f(k)$ $f(x) \in \Theta(x)$ $n^{1-\epsilon}$

(केवह की टिप्पणी और रयान के जवाब को संबोधित करने के लिए संपादित।)

cc.complexity-theory nondeterminism time-hierarchy

— आंद्रस सलामन
स्रोत

यह एक साफ सवाल है, एंड्रू

— सुरेश वेंकट

स्टीफन कुक ने रैखिक प्रोग्रामिंग को

लिए संभावित विभाजक के रूप में सुझाया ।

k = 2

$k=2$

— आंद्र सलाम

क्या आप समझा सकते हैं कि "गैर-रचनात्मक तर्क" से आपका क्या मतलब है? विकर्णीकरण का उपयोग करते हुए एक सबूत को गैर-अवरोधक होने की आवश्यकता नहीं है।

— केव

जहां तक मुझे पता है, हम ऐसी भाषाओं के बारे में नहीं जानते हैं, या यदि हम करते हैं, तो उनमें से "स्वाभाविकता" के बारे में महत्वपूर्ण विवाद है। मुझे पता है कि यह वास्तव में एक संतोषजनक जवाब नहीं है, लेकिन मैं कह सकता हूं:

(क) आप एक साबित तो समय हर के लिए कश्मीर-पृथक SAT के लिए कम बाध्य , तो आप वास्तव में साबित कर दिया है । $\Omega(n^k)$ $k$ $P \neq NP$

(b) एक तरह से आप यह दिखाने की उम्मीद कर सकते हैं कि k-ISOLATED SAT, में इन प्राकृतिक समस्याओं में से एक है यह दिखाने के लिए है कि k-ISOLated एसएटी समस्या लिए कठिन (सामान्य रूप से कुशल कटौती होने का औपचारिक अर्थ है) है । वास्तव में यह एकमात्र तरीका है जो हम जानते हैं कि ऐसे परिणामों को कैसे साबित किया जाए। लेकिन k- पृथक सैट शायद इस अर्थ में कठिन नहीं है, इसके कुछ बहुत ही अप्रत्याशित परिणाम हैं। $NTIME[n^{k+1}] - NTIME[n^k]$ $NTIME[n^k]$

मुख्य कारण यह है कि कश्मीर-पृथक सैट मामलों में व्याख्या करने योग्य हैं है की स्वतंत्र रूप से, । आप existentially अलग काम अनुमान लगा सकते हैं, तो सर्वत्र (सभी के लिए यह सत्यापित $\Sigma_2 TIME[n]$ $k$ असाइनमेंट मेंबिट्सतक फ्लिप करने के तरीके) कि अन्य "स्थानीय" असाइनमेंट में से कोई भी काम नहीं करता है। $O(\log (\sum_{i=1}^k {n \choose i}))$ $k$

यहाँ भाग (ए) का प्रमाण दिया गया है। आइए पृथक IS इनपुट के भाग के रूप में दिए गए समस्या में संस्करण के साथ समस्या का संस्करण हो )। मान लीजिए कि हमें साबित होता है कि पृथक सैट की आवश्यकता है सभी के लिए समय । अगर , फिर में है कुछ तय करने के लिए (सबूत कुक की प्रमेय का एक कुशल संस्करण का उपयोग करता है: एक सैट एल्गोरिथ्म समय में चल रहा है, तो वहाँ है $k$ $\Omega(n^k)$ $k$ $P=NP$ $\Sigma_2 TIME[n]$ $TIME[n^c]$ $c$ $n^d$ , फिर कोई प्रत्यय)। लेकिन हम साबित कर दिया है कि वहाँ में एक भाषा है कि कि है नहीं में हर के लिए । यह एक विरोधाभास है, इसलिए है । $c > d^2$ $\Sigma_2 TIME[n]$ $TIME[n^k]$ $k$ $P \neq NP$

यहाँ भाग (b) का प्रमाण दिया गया है। हर तो कुशलता से एक के-पृथक सैट सूत्र को कम किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, सभी के बिट उदाहरणों करने के लिए कम हो ज्यादा से ज्यादा का -ISOLATED सैट सूत्रों आकार) तो $L \in NTIME[n^k]$ $n$ $L$ $k$ $f(k) n^{c}$ । यह तुरंत अर्थ होगा , लेकिन इसके अलावा यह सिर्फ बहुत संभावना नहीं लग रहा है कि के सभी बहुपद पदानुक्रम के भीतर इतनी कुशलता से प्रेरित किया जा सकता है। $NP=\bigcup_{k} NTIME[n^k] \subseteq \Sigma_2 TIME[n^{c+1}]$ $coNP \neq NP$ $NP$

— रेयान विलियम्स
स्रोत

के-ISOLATED SAT को दिखाने वाले नीच तर्क के लिए धन्यवाद काम नहीं करने वाला है।

— आंद्र सलाम