बहुपद सूत्र आकार को कम करने की जटिलता

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चलो एक डिग्री हो में बहुपद से अधिक चर , जहां निरंतर (कहते हैं कि 2 या 3) है। मैं के लिए छोटी से छोटी सूत्र खोजने के लिए चाहते हैं , जहां "सूत्र" और "सूत्र आकार" स्पष्ट तरीके से परिभाषित कर रहे हैं (उदाहरण के लिए। बहुपद के लिए छोटी से छोटी सूत्र है )। $f(x_1,\dots,x_n)$ $d$ $n$ $\mathbb{F}_2$ $d$ $f$ $x_1 x_2 + x_1 x_3$ $x_1(x_2+x_3)$

इस समस्या की जटिलता क्या है - क्या यह एनपी-हार्ड है? क्या जटिलता पर निर्भर करती है ? $d$

[अधिक औपचारिक रूप से, एक सूत्र (उर्फ "अंकगणित सूत्र") एक जड़ बाइनरी ट्री है, जिसकी प्रत्येक पत्तियों को या तो इनपुट चर या स्थिर के साथ लेबल किया जाता है पेड़ के अन्य सभी वर्टिक्स या साथ लेबल किए जाते हैं । सूत्र का आकार उपयोग की जाने वाली पत्तियों की संख्या है। सूत्र एक बहुपद पुनरावर्ती रूप से गणना करता है: कोने अपने बच्चों के योग को , कोने की गणना करते हुए उत्पाद की गणना करते हैं। ] $+$ $\times$ $+$ $\mathbb{F}_2$ $\times$

cc.complexity-theory formulas

— एशले मोंट्रो
स्रोत

1

क्या हम इस समस्या के लिए बहुपद पहचान परीक्षण को कम नहीं कर सकते हैं?

— कावे

4

मुझे लगता है कि एक कनेक्शन हो सकता है, लेकिन मैं इसे तुरंत नहीं देखता - विशेष रूप से डिग्री पर बाधा के कारण। इसके अलावा, यदि समस्या बहुपद पहचान परीक्षण की तुलना में अधिक कठिन है, तो यह जानना दिलचस्प होगा कि यह कितना कठिन है।

— एशले मोंट्रो

आपके मामले में, वास्तविक फॉर्मूला आकार से संबंधित सूत्र में गेट्स (

+

$+$ s, और

\times

$\times$ s) की संख्या कैसी है ? के लिए

d = 2

$d=2$ , में निर्माण Ehrenfeucht और Karpinski 90 "गेट" -formula आकार के लिए प्रासंगिक होने के लिए (2XOR पैरा देखें) लगता है, लेकिन मैं अब इसके बारे में सोचने के लिए की है।

— एलेसेंड्रो कॉसेंटिनो

जैसा कि सूत्र एक द्विआधारी वृक्ष है, मैंने यहां उपयोग किए गए सूत्र आकार की परिभाषा (पत्तियों की संख्या) गेट्स (आंतरिक कोने) की संख्या के बराबर है। लेकिन मुझे फॉर्मूला आकार की किसी भी अन्य समझदार परिभाषा के लिए किसी भी परिणाम में दिलचस्पी होगी। मुझे यकीन नहीं है कि मुझे एरेनफ्यूच और करपिंस्की के परिणामों के साथ एक संबंध दिखाई देता है, क्योंकि ये सूत्र के आकार को कम करने के बजाय गिनती के समाधान की जटिलता के बारे में हैं ...

— एशले मोंट्रो

शून्य की संख्या की गणना करने के लिए, वे पहले सूत्र को एक समतुल्य में बदलते हैं, जिसे मैं गुणा और जोड़ के संदर्भ में न्यूनतम बताता हूं। मेरे पास इस न्यूनतमता का प्रमाण नहीं है, हालाँकि। फिर, यह केवल केस

जवाब देगा ।

d = 2

$d=2$

— एलेसेंड्रो कॉसेंटिनो

7

आप सह-एनपी-पूर्ण TAUTOLOGY समस्या को कम कर सकते हैं (एक बूलियन फॉर्मूला दिया गया है, क्या यह एक टॉटोलॉजी है?) सूत्र आकार को कम करने की समस्या के लिए (क्योंकि एक सूत्र एक टॉटोलॉजी है यदि यह TRUE के बराबर है)। इसके अलावा, 3DNFs के लिए TAUTOLOGY (3CNFs के लिए SAT के अनुरूप) सह-एनपी-पूर्ण है।

— दाना मोशकोविट्ज़
स्रोत

1

जैसा कि मैंने प्रश्न को समझा,

f

$f$ को एक बहुपद के रूप में गणना की जानी चाहिए न कि एक फ़ंक्शन के रूप में। शायद कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है।

— मार्कस ब्लैसर

3

GF से 3 बहुपद को देखते हुए 3SAT से संभाव्यता में कमी होती है (2), चाहे इसमें शून्य हो [खंडों के यादृच्छिक रैखिक संयोजनों को देखते हुए], और फिर इस से जाँच करने के लिए, एक deg- दिया GF के ऊपर 3 पाली (2), चाहे वह सब शून्य हो [1 से पाली घटाकर]।

— दाना मोशकोवित्ज़

1

धन्यवाद! क्या आपके पास कोई विचार है कि डिग्री 2 बहुपद के लिए क्या स्थिति है? इसके अलावा (हालांकि यह शायद बहुत घना है) मैं यह देखने के लिए संघर्ष कर रहा हूं कि मानक रूप में लिखित GF (2) के ऊपर एक डिग्री 3 बहुपद, शून्य बहुपद के बिना सभी शून्य कैसे हो सकता है। स्पष्ट होने के लिए, मैं कल्पना कर रहा हूं कि मेरी समस्या का इनपुट बहुपद का वर्णन करने वाले सर्किट के वर्णन के बजाय बहुपद का ही वर्णन है।

— एश्ले मोंट्रो

2

आपके उत्तर के लिए दोबारा धन्यवाद। मैं अभी भी ऑल-जीरो चीज़ के बारे में आश्वस्त नहीं हूँ, हालाँकि; मुझे लगता है कि किसी भी एन-variate बहुपद से अधिक GF (2) के साथ पाली (n) पदों को आसानी से एक मानक के रूप में तब्दील किया जा सकता है, जहां यह स्पष्ट है कि क्या बहुपद शून्य है या नहीं, बस बनाने प्रतिस्थापन द्वारा

और शर्तें एकत्र करना।

x^{k} \to x

$x^k \rightarrow x$

— एशले मोंट्रो

4

वास्तव में यदि आप इसका वर्णन बहुभाषी करते हैं जैसा कि आप बताते हैं, एक बहुपद हर इनपुट पर शून्य का मूल्यांकन करता है यदि यह शून्य बहुपद है। एक प्रमाण: न्यूनतम डिग्री का एक गैर-शून्य मोनोमियल एम चुनें। अन्य सभी चर शून्य पर सेट करें। एकमात्र जीवित मोनोमियल एम है। वेरिएंस को एम 1 में सेट करने से आपको एक गैर-शून्य आउटपुट मिलता है।

— मनु

4

उत्तर बिल्कुल नहीं, लेकिन उम्मीद है कि मदद करता है:

यह प्रश्न पहले से ही d = 2 के लिए NP कठिन होना चाहिए यदि आप बहुपद के लिए न्यूनतम सूत्र जानना चाहते हैं और केवल एक के लिए नहीं। प्रमाण में निम्न प्रकार है: मौजूद है एक n द्वि-रेखीय सूत्रों (प्रकार के फार्मूले के बीच एक पत्राचार के और में टेन्सर 3 मैट्रिक्स यानी तत्व) $n$ $\sum a_{ij}x_iy_j$ $F_2^n\otimes F_2^n\otimes F_2^n$ । मैट्रिक्स का ऐसा टेंसर रैंक n द्वि-रेखीय सूत्रों का गुणन जटिलता है।

यह ज्ञात है कि टेंसर रैंक एनपी-कठिन समस्या है (शायद टेंसर रैंक को अनुमानित करना भी एनपी-हार्ड है)। इस प्रकार द्वि-रेखीय सूत्रों का गुणन जटिलता NP-कठिन समस्या है $3$ $n$

— Klim
स्रोत

2

धन्यवाद! यह समस्या पर एक दिलचस्प परिप्रेक्ष्य है।

— एश्ले मोंट्रो

निम्नलिखित प्रमेय कई बहुपद से एक बहुपद से गुजरने में मदद करता है: LEt S (f) एक बहुपद की जटिलता फिर उसके सभी व्युत्पत्तियों की गणना की जटिलता सबसे अधिक 5S (f) पर होती है। इस प्रकार जटिलता बहुआयामी पद

की जटिलता के बराबर लगभग है

f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}

$f_1, f_2,\ldots,f_n$

z_{1} f_{1} + z_{2} f_{2} \dots z_{n} f_{n}

$z_1f_1+z_2f_2\ldots z_n f_n$

— Klim

यदि आप टेंसर रैंक के बारे में बात करते हैं, तो आप केवल गुणाओं की गिनती कर रहे हैं, लेकिन जोड़ नहीं। मामला

और केवल एक बिलिनियर फॉर्म आसान है, क्योंकि रामप्रसाद के उत्तर में उल्लिखित संरचना प्रमेयों का उपयोग करके, एक बिलिनियर फॉर्म की रैंक की गणना कर सकता है। (इन प्रमेयों का प्रमाण एल्गोरिदम है, लिडल और

d = 2

$d = 2$

— नीडेराइटर

2

इसका कोई भी उत्तर बेहद पर निर्भर करता है शब्दावली आप उत्तर में अनुमति देते हैं। यदि आप इनपुट (यानी बहुपद) के रूप में उसी भाषा में अपना उत्तर चाहते हैं, तो उत्तर के एक सेट की ओर जाता है, जो कि अन्य पोस्टरों के साथ संघर्ष कर रहा है।

लेकिन अगर आप अपनी अनुमति देते हैं उत्तर शब्दावली को बड़ा होने दें, तो अद्भुत चीजें हो सकती हैं। आप प्रतीकात्मक बनाम स्वचालित भेदभाव में एक उदाहरण देख सकते हैं: प्रतीकात्मक विभेदीकरण में केवल 'भाव' की अनुमति देता है, जो बहुत बुरी तरह से उड़ा देता है; स्वचालित विभेदीकरण में, कोई उत्तर में सीधे-लाइन प्रोग्राम (भले ही इनपुट एक अभिव्यक्ति था) की अनुमति देता है, जो अभिव्यक्ति की घंटी को नियंत्रित करने में बहुत मदद करता है। अविभाज्य बहुपद के लिए, जेम्स डेवनपोर्ट और मैंने संगीत दिया है आपको अपनी मूल शब्दावली के हिस्से के रूप में साइक्लोटोमिक पॉलीओनियम्स में फेंकने की आवश्यकता है (संदर्भ देखें कि क्यों ये बहुपद केवल ब्लो-अप का वास्तविक स्रोत प्रतीत होते हैं, साथ ही साथ कागजात जो बहुपद समस्याओं के बीच विभिन्न अतिरेक परिणाम दिखाते हैं। और 3SAT)।

दूसरे शब्दों में, यदि आप अपने आप को अलग-अलग करने की अनुमति देते हैं, तो आप शास्त्रीय उत्तर से थोड़े से उत्तर पर विचार करते हैं, तो आप केवल एक अलग उत्तर प्राप्त कर सकते हैं, अर्थात बहुत बेहतर जटिलता के साथ। यह सवाल पूछने के लिए आपकी मूल प्रेरणा पर निर्भर करता है, चाहे वह विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक हो या किसी आवेदन को ध्यान में रखकर, यह तय करने के लिए कि क्या शब्दावली में यह भिन्नता आपको स्वीकार्य है। सेटिंग में जहां जेम्स और मैं इस (प्रतीकात्मक गणना) के बारे में सोच रहे थे, जटिलता को कम करने के लिए शब्दावली का समायोजन पूरी तरह से स्वीकार्य है (हालांकि शायद ही कभी किया गया हो)।

— जैक्स केयरटे
स्रोत

सवाल सबसे छोटे अंकगणित सूत्र के लिए पूछता है, जिसे वह फिर स्पष्ट रूप से परिभाषित करता है। इसलिए मुझे यकीन नहीं है कि यह उत्तर सीधे प्रासंगिक है। इसके अलावा, दाना मोशकोवित्ज़ और संबंधित टिप्पणियों के उपरोक्त उत्तर इस प्रश्न का सही उत्तर नहीं देते हैं जैसा कि टिप्पणियों में पहले से ही स्वीकार किया गया है।

— राफेल १

मेरे उत्तर की बात यह है कि ओपी को यह एहसास नहीं हो सकता है कि वे जरूरी नहीं कि सबसे अच्छा सवाल पूछ रहे हों। ओपी का प्रश्न बहुत ही शास्त्रीय शब्दों में पूछा जाता है, लेकिन यदि आप इससे छोटे विचलन की अनुमति देते हैं, तो आपको काफी अलग-अलग उत्तर मिलते हैं, जो कि शायद बहुत अप्रत्याशित हो। मैं आपकी टिप्पणी को समझता हूं, लेकिन लगता है कि गिरावट थोड़ी कठोर है।

— जैक्स केयरटे

क्या आप अपने उत्तर के पहले पैराग्राफ को सही कर सकते हैं यह स्पष्ट करने के लिए कि प्रश्न का उत्तर अभी तक सही ढंग से नहीं दिया गया है? मुझे चिंता थी कि लोग गुमराह हो सकते हैं।

— राफेल

1

@ राफेल: किया। और आगे भी चीजों को स्पष्ट किया।

— जैक्स केयरटे

0

सामान्य सर्किट / सूत्र न्यूनतमकरण निश्चित रूप से पहचान परीक्षण की तुलना में कठिन है, क्योंकि किसी भी पहचान का न्यूनतम सूत्र आकार केवल शून्य है। कितना कठिन है, मेरे पास कोई निश्चित उत्तर नहीं है, लेकिन अंकगणित सर्किट / सूत्रों में अध्ययन किए गए "पुनर्निर्माण एल्गोरिदम" शायद इन पंक्तियों के साथ कुछ हो सकते हैं।

इन मामलों में, आपको एक ब्लैकबॉक्स दिया जाता है और बताया जाता है कि यह कुछ क्लास में एक सूत्र (गहराई सर्किट कहें )। लक्ष्य ब्लैकबॉक्स ( पास कुछ) के प्रतिनिधित्व का निर्माण करना । आमतौर पर, अधिकांश पुनर्निर्माण परिणाम वर्ग, यादृच्छिकता और कभी-कभी अन्य प्रकार के प्रश्नों के लिए ब्लैकबॉक्स पहचान परीक्षण मान लेते हैं। इस तरह के पुनर्निर्माण एल्गोरिदम सर्किट के कुछ प्रतिबंधित वर्गों के लिए उपलब्ध हैं, लेकिन सभी वर्ग जिनके लिए हम ब्लैकबॉक्स पीआईटी जानते हैं। Shpilka और Yehudayoff का शानदार सर्वेक्षण (PDF) $\mathcal{C}$ $3$ $\mathcal{C}$ अंकगणित सर्किट पर , और अध्यायों में से एक पूरी तरह से पुनर्निर्माण एल्गोरिदम पर है।

लेकिन आपके मामले में, आप कहते हैं कि एक स्थिर है और इसलिए भले ही इनपुट को ब्लैकबॉक्स के रूप में दिया गया हो, विरल बहुपद के लिए पुनर्निर्माण एल्गोरिदम हैं। इसलिए शायद उपरोक्त टिप्पणियां इस मामले में बहुत दिलचस्प नहीं हैं। $d$

इसके अलावा, के मामले में , क्वाड्रैटिक्स के लिए संरचना प्रमेय हैं। चर पर एक रैखिक परिवर्तन के तहत, किसी भी द्विघात को के रूप में फिर से लिखा जा सकता है । इस संपत्ति का उपयोग बोगदानोव और वायोला ने कम डिग्री वाले बहुपद (पीडीएफ) (उनके पेपर के लेम्मा 17 ) के लिए पीआरजी के निर्माण के लिए किया था । $d=2$ $x_1x_2 + x_3x_4 + .. + x_{2k-1}x_{2k} + \ell$

— रामप्रसाद
स्रोत

आपकी टिप्पणियों के लिए आभार। अफसोस की बात है, मैं नहीं देखता कि मूल समस्या को हल करने के लिए इन विचारों का उपयोग कैसे करें।

— एशले मोंट्रो