एक्सट्रैक्टर्स से स्यूडोरैंड्रैम जेनरेटर तक?

Question

लुका ट्रेविसन ने दिखाया कि छद्म आयामी जनरेटर के कितने निर्माण वास्तव में चिमटा निर्माण के रूप में सोचा जा सकता है:

http://www.cs.berkeley.edu/~luca/pubs/extractor-full.pdf

क्या कोई सार्थक निष्कर्ष है? यानी, अर्क के "प्राकृतिक" निर्माणों को छद्म आयामी जनरेटर (PRG) निर्माण के रूप में सोचा जा सकता है?

एक्सट्रैक्टर निर्माण पीआरजी पर वितरण के अनुरूप हैं (जैसे कि कोई भी अंतर लगभग सभी के लिए भेद करने में सफल नहीं होगा)। क्या इसके लिए ज्ञात अनुप्रयोग हैं?

Answer 1

यह कई पहलुओं के साथ एक सुंदर शोध प्रश्न है, और इस प्रश्न पर औपचारिकता के विभिन्न तरीके हैं कि क्या एक्सट्रैक्टर का मतलब आपके द्वारा निकाले गए एक्सट्रैक्टर या बीजरहित एक्सट्रैक्टर से है और क्या पीआरजी से आपका मतलब है बूलियन सर्किट या अधिक विशिष्ट परिवार के लिए पीआरजी (जैसे , एप्सिलॉन-पक्षपाती रिक्त स्थान)। यहाँ मेरे सिर के ऊपर से कुछ अनौपचारिक विचार हैं (लेकिन पूर्ण उत्तर नहीं):

• सीडेड एक्सट्रैक्टर्स बनाम ब्लैक-बॉक्स PRGs (निसान-विगार्डसन में) के लिए, ऐसा लगता है कि ब्लैक-बॉक्स PRG एक्सट्रैक्टर की तुलना में अधिक मजबूत वस्तु है। यदि आप ट्रेविसन के एक्सट्रैक्टर को देखते हैं, तो यह न केवल एक बहुपद-काल कम्प्यूटेशनल एक्सट्रैक्टर है, बल्कि एक महत्वपूर्ण अतिरिक्त संपत्ति है। अर्थात्, विश्लेषण में एक स्थानीय और कुशल कम्प्यूटेशनल तत्व है (अर्थात्, एक स्थानीय सूची-डिकोडिंग एल्गोरिथ्म)। यह अतिरिक्त सुविधा एक चिमटा के लिए इतनी महत्वपूर्ण नहीं है (एक दहनशील वस्तु के रूप में, भले ही हमें निकालने वाले को बहुपद-समय गणना योग्य होना आवश्यक है), लेकिन PRG के लिए महत्वपूर्ण है (ताकि एक भेदक को कंप्यूटिंग के लिए एक एल्गोरिथ्म में कुशलता से देखा जा सके। कठिन कार्य)। वास्तव में इसे औपचारिक रूप दिया जा सकता है, और टा-शमा और ज़ुकरमैन ने अपने पेपर "एक्स्ट्रेक्टर कोड्स" में "ब्लैक-बॉक्स पीआरजी" की परिभाषा पहले ही औपचारिक कर दी है। वे दिखाते हैं कि ब्लैक-बॉक्स पीआरजी का इस्तेमाल एक्सट्रैक्टर्स के निर्माण के लिए किया जा सकता है। अनुलेख के लिए, मुझे लगता है कि कोई भी यह दिखा सकता है कि उपरोक्त संपत्ति को संतुष्ट करने वाला कोई भी एक्स्ट्रेक्टर एक ब्लैक-बॉक्स PRG से मेल खाता है (एक्सट्रैक्टर भाषा में, इसका मतलब यह होगा कि परिणामी एक्सट्रैक्टर कोड में एक कुशल सॉफ्ट-निर्णय सूची-डिकोडर होना चाहिए)। आप इस चर्चा के लिए वडन के पेपर "द यूनिफाइड थ्योरी ऑफ स्यूडोन्ड्रोजेनेसिटी" को भी प्रासंगिक पा सकते हैं।

• बीज रहित चिमटा की दुनिया में, ट्रेविसन और वधान बताते हैं कि सर्किट के एक विशिष्ट परिवार के लिए कठिन कार्यों का परिणाम उस परिवार के लिए एक्सट्रैक्टर्स (पेपर "एक्सट्रैक्टर्स फॉर सैमप्लेबल सोर्सेज") है। इसलिए, उदाहरण के लिए एक फ़ंक्शन जो AC0 के लिए औसतन वास्तव में कठिन है, AC0 सर्किट द्वारा नमूना किए गए स्रोतों से निकाल सकते हैं (यदि स्रोत का न्यूनतम-प्रवेश पर्याप्त रूप से बड़ा है)। हार्ड फ़ंक्शन स्वाभाविक रूप से पीआरजी से संबंधित हैं (जैसा कि निसन-विगडरसन द्वारा देखा गया है)। तो यहाँ हम फिर से PRGs और बीजरहित एक्सट्रैक्टर्स के बीच एक अलग अंतर है। हालांकि यह कम स्पष्ट है कि कोई व्यक्ति पीआरजी प्राप्त करने के लिए नमूना स्रोतों (शायद कुछ अतिरिक्त गुणों को संतुष्ट करने) के लिए एक चिमटा का उपयोग कैसे कर सकता है (अगला बुलेट बिंदु इस पर आंशिक उत्तर देता है)। यह दिशा सीड एक्सट्रैक्टर्स के लिए उपरोक्त चर्चा की तुलना में कम दिलचस्प हो सकती है क्योंकि इस तारीख को हम डॉन '

• एक संयोजन बिंदु से, पीआरजी और एक्सट्रैक्टर्स के बीच समानता है। हम एक पीआरजी देख सकते हैं एक सेट के रूप में अंकों की { 0 , 1 } n का एक रंग, (पीआरजी के सभी संभव बीज के लिए परिणामों) या समतुल्य n दो रंगों में आयामी hypercube। इसी तरह, एक बिट आउटपुट (या उस मामले के लिए कोई बूलियन फ़ंक्शन) के साथ एक चिमटा, बिंदुओं के एक सेट के रूप में देखा जा सकता है (जिनके लिए चिमटा 0 का मूल्यांकन करता है ) या रंग (सामान्य रूप से, रंगों की संख्या 2 मीटर होगी) जहां मीटर आउटपुट लंबाई है)। अब, बिंदु सेट के साथ एक पीआरजी एस मूर्खों बिंदु सेट के साथ एक समारोह$S$$\{0,1\}^n$$n$$0$$2^m$$m$$S$ iff | एस ∩ एफ | / | एस | के करीब है | एफ | / 2 एन । इसके अलावा, बिंदु के साथ एक निकालने सेट एफ एक फ्लैट स्रोत है कि समान रूप से अंक का एक सेट पर वितरित किया जाता है के अर्क एस iff | एस ∩ एफ | / | एस | के करीब है 1 / 2 । परिभाषाओं के बीच यह समानता किसी को कुछ सार्थक निष्कर्ष निकालने की अनुमति देती है। उदाहरण के लिए, { 0 , 1 पर एक चक्कर निकालने वाले को देखें$F$$|S \cap F|/|S|$$|F|/2^n$$F$$S$$|S \cap F|/|S|$$1/2$ कि मिनट-एन्ट्रॉपी n - 1 से अर्क, और 1 बिटआउटपुट। अबउस स्ट्रिंगके सेट S परविचार करें,जिसे निकालने केलिए मैप किया जाता है, कहते हैं, 0 एक्स्ट्रेक्टर द्वारा और इसका अनुवाद "PRG" (बीज की लंबाई n - 1 के साथ ) करें। अब ऊपर दिए गए रंग व्याख्या से पता चलता है कि परिणामी फ़ंक्शन वास्तव में रैखिक कार्यों के लिए एक पीआरजी है; यह है, हम एक चिमटा से एक एप्सिलॉन पक्षपाती जनरेटर मिलता है। यह एक सार्थक रिश्ता है लेकिन शायद इतना उपयोगी नहीं है क्योंकि परिणामस्वरूप PRG बीज को केवल एक बिट से बढ़ाता है। हो सकता है कि अगर एक्स्ट्रेक्टर अधिक बिट्स को आउटपुट करता है तो बेहतर परिणाम काटा जा सकता है, लेकिन मैंने इसे ध्यान से नहीं देखा है।$\{0,1\}^n$$n-1$$1$$S$$0$$n-1$

Comments

आपके दूसरे बिंदु के बारे में: आपके द्वारा उल्लिखित कागज क्वांटिफायर वाले वर्गों के खिलाफ कठोरता मानने वाले अर्क देता है । यदि आप क्वांटिफायर में फेंकते हैं, तो AC ^ 0 अपना अर्थ खो देता है। (यह एनपी के समान ही है, जैसा कि कुक और लेविन द्वारा दिखाया गया था।) नियतात्मक चिमटा हालांकि, निचली सीमा के नमूने के बराबर है, देखें ( ccs.neu.edu/home/viola/papers/stone.pdf ), जहां के लिए अर्क। एसी ^ 0 भी प्राप्त होते हैं।

— मनु

इस cstheory ब्लॉग के लिए एक संभावित ब्लॉग पोस्ट की तरह खुशबू आ रही है, अगर किसी को दिलचस्पी हो सकती है :)

— सुरेश वेंकट

सुरेश: अच्छा विचार है, मैं ब्लॉग से वाकिफ नहीं था, हालाँकि :) ... इमानुएल: अच्छी बात है। यह वास्तव में नमूना स्रोतों के लिए सच है जैसा कि ट्रेविसन और वाहदान द्वारा परिभाषित किया गया है। यदि आप "पहचानने योग्य स्रोतों" की दोहरी धारणा पर विचार करते हैं तो क्वांटिफायर की आवश्यकता समाप्त हो जाती है। AC0 के मामले के लिए, यह वितरण का वर्ग होगा जो समान रूप से कुछ AC0 सर्किट के शून्य-प्रीमीज पर वितरित किया जाता है। वास्तव में आप AC0 के लिए कुछ हार्ड फ़ंक्शन का उपयोग करके AC0 सर्किट द्वारा मान्यता प्राप्त स्रोतों के लिए एक एक्स्ट्रेक्टर प्राप्त कर सकते हैं। (जारी ...)

— एमसीएच

... हालांकि AC0 के लिए जाने जाने वाले स्पष्ट कठिन कार्य जैसे कि समता बहुत तेजी से छोटी सुरक्षा (बेतरतीब अनुमान लगाने पर लाभ) की गारंटी नहीं देते हैं, इसलिए यदि आप उन्हें सीधे उपयोग करते हैं, तो आपको इनपुट एन्ट्रॉपी एन (1-ओ (1)) के लिए एक चिमटा मिलेगा। । बेहतर परिणाम, Shaltiel द्वारा प्राप्त किए गए हैं, मुझे लगता है कि आगे की चाल का उपयोग कर।

— एमसीएच

Answer 2

सलिल वधान ने मुझे लिखा कि मेरे प्रश्न का उत्तर ज्ञात है, और पीआरजी निष्कर्षक के बराबर हैं।

उसे उद्धृत करते हुए:

"प्रस्ताव 21 देखें और मेरे सर्वेक्षण में इसका अनुसरण करने वाली चर्चा http://people.seas.harvard.edu/~salil/research/unified-icm.pdf (एक टाइपो है -" ब्लैक-बॉक्स कठोरता एम्पलीफायर "काला होना चाहिए" -बॉक्स PRG निर्माण ")

इसमें कहा गया है कि एक्सट्रैक्टर्स ब्लैक-बॉक्स PRG कंस्ट्रक्शन के बराबर हैं, जहां आप केवल सलाह की मात्रा के बारे में परवाह करते हैं, न कि कमी के समय में। "स्थानीय सूची-डिकोडिंग" के साथ एक्स्ट्रेक्टर्स के लिए बाध्य समय सीमाएं पूछना।

Answer 3

Dispersers के लिए इस सवाल के एनालॉग पर क्रिस उमान का एक अच्छा पेपर है: http://www.cs.caltech.edu/~umans/papers/U05-final.pdf

वह दिखाता है कि एक बहुपद-समय पुनर्निर्माण प्रक्रिया वाले डिस्पेंसर हैं, लेकिन जरूरी नहीं कि स्थानीय डिकोडिंग संपत्ति, सेट जनरेटरों को मारने के अस्तित्व को प्रभावित करती है।

इसे देखने का एक और तरीका है: एक्सट्रैक्टर्स को सूची-पुनर्प्राप्त करने योग्य कोड (जो सूची-डीकोडेबल कोड का एक मजबूत संस्करण है) के रूप में देखा जा सकता है, और ब्लैक-बॉक्स PRGs को स्थानीय सूची-पुनर्प्राप्ति कोड के रूप में देखा जा सकता है । डिस्पर्सर्स को शून्य-त्रुटि के लिए सूची-पुनर्प्राप्ति योग्य कोड के रूप में देखा जा सकता है। क्रिस क्या दिखाता है कि शून्य-त्रुटि के लिए एक सूची-पुनर्प्राप्ति योग्य कोड जिसमें एक बहुपद-काल-सूची-पुनर्प्राप्ति प्रक्रिया होती है, का अर्थ है सूची-पुनर्प्राप्ति कोड के साथ स्थानीय सूची-पुनर्प्राप्ति प्रक्रिया का अस्तित्व ।