सेट यूनियन का उपयोग करते हुए आम सहमति

Question

मैंने इस सवाल को कुछ समय पहले MathOverflow पर पोस्ट किया है , लेकिन मेरी जानकारी के अनुसार यह अभी भी खुला है, इसलिए मैं इसे यहाँ इस उम्मीद में दोहरा रहा हूँ कि किसी ने इसके बारे में सुना होगा।

समस्या का विवरण

चलो , क्यू और आर में तीन विभाजन होना पी अरिक्त भागों (जो चिह्नित पी एच के, क्यू मैं की और आर जे सेट की है) { 1 , 2 , ... , n }। दो क्रमपरिवर्तन का पता लगाएं π और σ कि कम से कम पी Σ मैं = 1 | पी मैं ∪ क्यू π मैं ∪ आर σ मैं | $P$$Q$$R$$p$$P_h$$Q_i$$R_j$$1,2,\ldots,n$$\pi$$\sigma$

$$\sum_{i=1}^p\left|P_i\cup Q_{\pi_i}\cup R_{\sigma_i}\right|.$$

प्रशन

1) इस समस्या की जटिलता क्या है (या संबंधित निर्णय समस्या)?

2) यदि समस्या वास्तव में बहुपद समय में हल करने योग्य है, तो क्या यह विभाजन के किसी भी संख्या के लिए सही रहता है ?$k\geq 4$

पिछला कार्य

बर्मन, दासगुप्ता, काओ और वांग ( http://dx.doi.org/10.1016/j.ipl.2007.06.008 ) के लिए एक समान समस्या का अध्ययन विभाजन, लेकिन जोड़ो में का उपयोग कर Δ 'के स्थान पर एस ∪ ऊपर राशि में। वे साबित करते हैं कि समस्या k = 3 के लिए MAX-SNP-hard है , तब भी जब प्रत्येक भाग में केवल दो तत्व होते हैं, अपनी समस्या के एक विशेष मामले में क्यूबिक ग्राफ़ पर MAX-CUT को कम करके और एक ( 2 - 2 / k) देते हैं ) किसी के लिए -approximation कश्मीर । अब तक, मैं साहित्य में अपनी समस्या का पता लगाने, या उनके प्रमाण को अनुकूलित करने में सक्षम नहीं हुआ हूं।$k$$\Delta$$\cup$$k=3$$(2-2/k)$$k$

आसान उपवर्ग

यहाँ कुछ उपकेंद्र हैं जिन्हें मैंने बहुपद काल में हल करने योग्य पाया है:

• $k=2$
• $p=2$$k$

$k=3$$2$$3p+1$

Answer 1

समस्या एनपी-हार्ड है। सबूत निम्न समस्या से कम करके है:

$G$$N$$N$$G$

$G$$A_1$$A_2$$A_3$$G$$E_{ij}$$A_i$$A_j$$1,\dotsc,N$

$n = |E(G)| + M$$M$$M = 10 |E(G)|$$p = N + 1$$|E(G)|$$\{1,\dotsc,n\}$$G$$P$$P_i$$i=1,\dotsc,N$$i$$A_1$$E_{1,2} \cup E_{1,3}$$P_{N+1}$$E_{2,3} \cup \{|E(G)| + 1, \dotsc, |E(G)| + M\}$$Q$$A_2$$A_1$$R$$A_3$$A_1$

$3|E(G)| - 3N + M$$G$$N$$M$$2 M$$P_{N+1}$$Q_{N+1}$$R_{N+1}$$|E(G)| + M$$2 |E(G)| - 3 N$$P_i$$Q_j$$P_i$$R_k$$Q_j$$R_k$$N$$G$