न्यूनतम असंतोषजनक 3-CNF सूत्र

Question

मैं वर्तमान में 3-CNF फ़ार्मुलों को प्राप्त करने (या निर्माण) और अध्ययन करने में दिलचस्पी रखता हूं जो असंतोषजनक हैं, और न्यूनतम आकार के हैं। अर्थात्, उन्हें यथासंभव कुछ खंड (m = 8 अधिमानतः) और संभव के रूप में कुछ अलग चर (n = 4 या अधिक) से मिलकर होना चाहिए, जैसे कि कम से कम एक खंड को हटाने से सूत्र संतोषजनक हो जाएगा।

औपचारिक रूप से, किसी भी योग्यताधारी 3-CNF सूत्र F को निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना चाहिए:

1. एफ असंतोषजनक है
2. F के पास विभिन्न चर (या उनकी उपेक्षा) की एक न्यूनतम राशि (4+) है
3. एफ में क्लॉस की न्यूनतम राशि है (8+)
4. एफ का हर उचित सबसेट संतोषजनक है (किसी भी मनमाने खंड या खंड को हटाने की अनुमति)।
5. F का कोई 2 खंड नहीं है जो 2-CNF खंड के लिए पुन: पेश किया जाता है जैसे (i, j, k) & (i, j, ~k)कि अनुमति नहीं है (वे कम करते हैं (i,j))

उदाहरण के लिए, n = 4 के साथ, कई न्यूनतम 8-खंड 3-CNF सूत्र मौजूद हैं जो असंतोषजनक हैं। एक के लिए, 4-हाइपरक्यूब को देखकर और इसे किनारों (2-चेहरों) से ढंकने की कोशिश करके, कोई व्यक्ति निम्न असंतोषजनक सूत्र का निर्माण कर सकता है:

1. (~A,  B,  D)
2. (~B,  C,  D)
3. ( A, ~C   D)
4. ( A, ~B, ~D)
5. ( B, ~C, ~D)
6. (~A,  C, ~D)
7. ( A,  B,  C)
8. (~A, ~B, ~C)

यह न्यूनतम असंतोषजनक 3-CNF सूत्र के रूप में योग्य है क्योंकि:

1. यह असंतोषजनक है:

   • क्लॉज 1-3 के समतुल्य हैं: D or A=B=C
   • खण्ड 4-6 इसके समकक्ष हैं: ~D or A=B=C
   • वे अभिप्रेरित करते हैं A=B=C, लेकिन खंड by और by से, यह एक विरोधाभास है।

2. केवल 4 अलग-अलग चर हैं।

3. केवल 8 खंड हैं।
4. किसी भी क्लॉज को हटाने से यह संतोषजनक हो जाता है।
5. 2-CNF क्लॉज के लिए कोई 2 क्लॉज 'reducible' नहीं हैं।

इसलिए मुझे लगता है कि मेरे समग्र प्रश्न मेरे लिए महत्व के क्रम में हैं:

1. कुछ अन्य छोटे न्यूनतम सूत्र क्या हैं जो उपरोक्त शर्तों को पूरा करते हैं? (कहने का मतलब है, 4,5,6 चर और 8,9,10 खंड)

2. क्या इस तरह के न्यूनतम फ़ार्मुलों के कुछ प्रकार के डेटाबेस या "एटलस" हैं?

3. क्या गैर-आयामी एल्गोरिदम उन्हें एकमुश्त निर्माण के लिए मौजूद हैं, यदि कोई हो?

4. इन सूत्र की विशेषताओं में कुछ अंतर्दृष्टि क्या हैं? क्या उन्हें n (# वैरिएबल) और m (# क्लॉज़) दिया गया या अनुमान लगाया जा सकता है?

आपके उत्तरों के लिए अग्रिम धन्यवाद। मैं किसी भी जवाब या टिप्पणी का स्वागत करता हूं।

Comments

प्रत्येक 3-सीएनएफ क्लॉज़ 1/8-वें संभावित समाधानों को अस्वीकार करता है। तो स्पष्ट रूप से आपको हमेशा कम से कम 8 खंडों की आवश्यकता होती है, या अधिक यदि अस्वीकृत समाधानों के सेट ओवरलैप होते हैं। चूंकि आपकी स्थिति 5 = n = 3 के लिए अस्वीकृत समाधानों के गैर-अतिव्यापी सेटों के लिए मना करती है, इसलिए आपको इस मामले के लिए 8 से अधिक खंडों की आवश्यकता है: ध्यान दें कि आपका उदाहरण शर्त 5 का पालन नहीं करता है

— 15:30 के लिए एन्ड्रस सलामन

हां, आप सभी बिंदुओं पर सही हैं। असंतोषजनक 3-सीएनएफ फॉर्मूले के लिए 8 खंड एक आवश्यक न्यूनतम हैं, और इसलिए योग्यताधारी सूत्रों को खोजने / निर्माण करने में मेरे उद्देश्यों के लिए 5 शर्त थोड़ी प्रतिबंधात्मक हो सकती है। मुझे एहसास है कि n = 3 के लिए, शर्त 5 का अनिवार्य रूप से उल्लंघन किया जाना चाहिए, लेकिन केवल उदाहरण के लिए शामिल किया गया था। मुझे आकार n = 4 + (अर्थात 4 या अधिक चर, लेकिन बहुत अधिक नहीं) के योग्य सूत्रों में सख्ती से दिलचस्पी है। शायद मैं हालत 5 खरोंच करूँगा

— MAF

मुझे लगता है कि n = 3 के साथ आपका "उदाहरण" उदाहरण के बजाय भ्रमित करने वाला है, क्योंकि (जैसा कि एंड्रस ने अपनी टिप्पणी में बताया है) यह वास्तव में इस सवाल का उदाहरण नहीं है कि आप इस बारे में क्या पूछ रहे हैं। N = 4 के साथ उदाहरण पूरी तरह से ठीक और चित्रण है। आप सिर्फ n = 3 के साथ उदाहरण क्यों नहीं निकालते हैं?

— १२:१० पर त्सुकोशी इतो

अच्छी बात है, त्सुओशी। किया हुआ।

— MAF

$\{x\}$$\{x'\}$$C$$C \cup \{v\}$$C \cup \{v'\}$$v$

Answer 1

$\lnot A \lor \lnot B \lor \lnot C$$2$

$\lnot A \lor \lnot B \lor \lnot E$
$\lnot B \lor \lnot C \lor E$

$n=5$$m=9$

$l_1 \lor l_2 \lor l_3$$2$

$l_1 \lor l_2 \lor v$
$l_2 \lor l_3 \lor \lnot v$

$v$$n$$m$$1$$r=\frac{m}{n}$$1$$n$$r=1$

Comments

उत्तर के लिए धन्यवाद, वाल्टर। आप जिस प्रक्रिया का वर्णन करते हैं, वह वास्तव में 'समान' संरचना के और भी थोड़े बड़े न्यूनतम असंतुलित सूत्रों को उत्पन्न करने के लिए बहुत उपयोगी होती है, अर्थात, जब आपके पास एक कोर सेट होता है जो आपको मिलता है, तो दिलचस्प गुण होते हैं।

— एमएएफ

@MAF: आपका बहुत स्वागत है। इस तरह के एक दिलचस्प सवाल पोस्ट करने के लिए धन्यवाद।

— जियोर्जियो कैमरानी

Answer 2

मेरा मानना ​​है कि हालत संख्या 5 वास्तव में आपके उदाहरण में नहीं है और इसे कभी भी आयोजित नहीं किया जा सकता है।
निम्न खंडों को समतुल्य होने दें:

( p, q) = (~A,B,D)(A,~B,~D)

जो हमें निम्न सत्य तालिका के रूप में A, B, C, और D के खंडों को नए चर p, q, r, और s के नक्शे को मैप करने की अनुमति देगा:

A B C D | p q r s
-----------------
0 0 0 0 | 0 1 0 0
0 0 0 1 | 0 1 0 1
0 0 1 0 | 0 1 1 0
0 0 1 1 | 0 1 1 1
-----------------
0 1 0 0 | 1 0 0 0
0 1 0 1 | 0 0 0 0
0 1 1 0 | 1 0 0 1
0 1 1 1 | 0 0 0 1
-----------------
1 0 0 0 | 0 0 1 0
1 0 0 1 | 1 0 1 0
1 0 1 0 | 0 0 1 1
1 0 1 1 | 1 0 1 1
-----------------
1 1 0 0 | 1 1 0 0
1 1 0 1 | 1 1 0 1
1 1 1 0 | 1 1 1 0
1 1 1 1 | 1 1 1 1
-----------------

और अब हम p, q, r, और s के संदर्भ में A, B, C और D के खंड को व्यक्त कर सकते हैं:

1. (~A,  B,  D) = ( p, q,~r, s)( p, q,~r,~s)
2. (~B,  C,  D) = (~p, q, r, s)(~p,~q, r, s)
3. ( A, ~C   D) = ( p,~q,~r, s)(~p, q, r,~s)
4. ( A, ~B, ~D) = ( p, q, r, s)( p, q, r,~s)
5. ( B, ~C, ~D) = ( p,~q,~r,~s)(~p, q,~r,~s)
6. (~A,  C, ~D) = (~p, q,~r, s)(~p,~q, r,~s)
7. ( A,  B,  C) = ( p,~q, r, s)( p,~q, r,~s)
8. (~A, ~B, ~C) = (~p,~q,~r, s)(~p,~q,~r,~s)

चूँकि सभी खंडों को A, B, C, और D खंडों के साथ दिखाया और जोड़ा जाता है। तब हम दावा कर सकते हैं कि p, q, r, और s क्लॉज़ को कम किया जा सकता है:

( p, q, r)
( p, q,~r)
( p,~q, r)
( p,~q,~r)
(~p, q, r)
(~p, q,~r)
(~p,~q, r)
(~p,~q,~r)

जो स्पष्ट रूप से स्थिति संख्या 5 का उल्लंघन करता है।

मैं जो इंगित करना चाहता हूं वह यह है कि यहां तक ​​कि उदाहरण से स्पष्ट रूप से नहीं पता चलता है कि 2 खंड हैं जिन्हें 2-CNF तक घटाया जा सकता है, लेकिन इसका अर्थ है (जैसे (~ ए, बी,) डी) और (ए, ~ बी, ~ डी)), आप दिए गए चर के साथ 2-सीएनएफ व्यक्त करने में सक्षम नहीं हो सकते हैं, लेकिन जब आप समस्या के लिए अलग-अलग मानचित्रण पेश करते हैं तो आप उन्हें व्यक्त करने में सक्षम होंगे।