यादृच्छिक नमूने में कोलमोगोरोव जटिलता के अपेक्षित मूल्य

एक स्ट्रिंग की कोलमोगोरोव जटिलता कम्प्यूटेशनल नहीं है। हालांकि, लंबाई के बाइनरी स्ट्रिंग्स के आकार के एक यादृच्छिक उपसमूह में , कितने की उम्मीद है कि कुछ पूर्णांक से कम ( एक फ़ंक्शन के रूप में , और ) से कम जटिलता है ? $M$ $n$ $n_{0}$ $n$ $M$ $n$ $n_{0}$

cc.complexity-theory kolmogorov-complexity

— बनाम
स्रोत

क्या आप यहां "मानक" कोलमोगोरोव जटिलता, या उपसर्ग जटिलता का उपयोग कर रहे हैं?

— ऑब्रे दा कुन्हा

दरअसल मैं केवल कोलमोगोरोव जटिलता के बारे में सोच रहा था। मैं का अनुमान लगा रहा था कि जब हम सभी तारों के ब्रह्मांड पर विचार करते हैं तो उस डोमोटर का उल्लेख किया गया था। मुझे यह स्पष्ट नहीं था कि आकार एक अनियंत्रित यादृच्छिक उपसमुच्चय के लिए किसी भी 'सुसंगत' परिणाम का उत्पादन किया जा सकता है। हालांकि उपसर्ग जटिलता हमें एक अलग दृष्टिकोण में लाएगी?

2^{n_{o}}

$2^{n_{o}}$

M

$M$

— बनाम

यह निश्चित रूप से परिमाण के क्रम को नहीं बदलेगा, वास्तव में मुझे लगता है कि अब मेरा उत्तर दोनों संस्करणों के लिए बाध्य है।

— डोमटॉर्प

हर और हर , संभावना है कि एक यादृच्छिक -bit string में Kolmogorov जटिलता से अधिक है ( ) । इसलिए स्ट्रिंग्स के एक यादृच्छिक वितरण में , आपको साथ स्ट्रिंग्स की उम्मीद करनी चाहिए ... सहजता से, एक स्ट्रिंग लेने की संभावना बहुत अधिक है। उच्च कोलमोगोरोव जटिलता के साथ।

n

$n$

c

$c$

n

$n$

x

$x$

K (x) \geq n - c

$K(x) \geq n-c$

1 - \frac{1}{2^{c}}

$1 - \frac{1}{2^c}$

c = n - n_{0}

$c = n-n_0$

M

$M$

\frac{M}{2^{(} n - n_{0})}

$\frac{M}{2^(n-n_0)}$

K (x) < n_{0}

$K(x) \lt n_0$

— Marzio De Biasi

जवाबों:

कोलमोगोरोव जटिलता केवल कुछ योजक स्थिरांक तक निर्धारित होती है, इसलिए इसका सटीक उत्तर देना संभव नहीं है। यहाँ मैं जो वर्णन करता हूँ वह और भी कमज़ोर है।

बेशक उम्मीद की संख्या आसानी से गणना की जा सकती है क्योंकि हम जानते हैं कि स्ट्रिंग्स में से से कम जटिलता है , इसलिए मुझे इसका जवाब देना चाहिए। यह आमतौर पर कोलमोगोरोव जटिलता के बारे में पहला बयान है कि यह संख्या सबसे अधिक - क्योंकि छोटी लंबाई के केवल ये कई तार हैं। दूसरी ओर, यदि आपका प्रोग्राम "लंबाई , वें नंबर को लेता है " कहता है , तो आपको जटिलता के तार से कम , जहां है के Kolmogorov जटिलता का उपसर्ग-मुक्त संस्करण (इसलिए अधिकांश $2^n$ $n_0$ $2^{n_0}-1$ $n$ $x$ $2^{n_0-K(n)-C}$ $n_0$ $K(n)$ $n$ $\log n+\log^* n + O(1)$ )। अधिक विस्तार से, स्ट्रिंग में पहले ट्यूरिंग मशीन का वर्णन है जिसमें इनपुट लिया गया है , जहाँ p एक उपसर्ग-मुक्त प्रोग्राम का वर्णन है जो को आउटपुट करता है, वें की लंबाई , जो बिट्स है , आउटपुट करता है , और फिर यह द्वारा पीछा किया जाता है । $px$ $n$ $x$ $n$ $O(1)$ $px$

संभवतः इन सीमाओं को सुधारना संभव है, लेकिन मुझे संदेह है कि आपको सटीक उत्तर मिल सकता है।

— domotorp
स्रोत

क्या आप वाक्यांश के बारे में थोड़ा समझा सकते हैं 'यदि आपका प्रोग्राम "लंबाई n, xth संख्या ले" है?

— बनाम

आप सही हैं, यह उपसर्ग मुक्त होना चाहिए, मैंने इसे सही किया।

— डोमटॉर्प

सटीक उत्तर दिया जा सकता है। लंबाई के तार की संख्या के साथ (सादा) अधिक से अधिक जटिलता है , ऊपर एक निरंतर कारक है। इसलिए, किसी भी प्रक्रिया को जो बेतरतीब ढंग से चुनता है, एक उचित संभावना के साथ, एक जटिलता का तार से कम होता है । हमारे हमारे दावा दिखाने के लिए, यह दिखाने के लिए जटिलता के साथ तार की संख्या कि पर्याप्त होता बराबर करने के लिए भी द्वारा दिया जाता है । हम 1 से तक पर इस मान के योग को निर्धारित करके आवश्यक परिणाम दिखा सकते हैं $n$ $n_0$ $2^{n_0 - K(n_0|n)}$ $2^{-K(n_0|n) + O(1)}$ $n_0$ $k$ $2^{k - K(k|n)}$ $k$ $n_0$ । यह दिखाने के लिए, हम सादे जटिलता (बी। बॉवेन्स और ए। शेन के कारण) के लिए एक सकारात्मकता परिणाम का उपयोग करते हैं। सादे कोलमोगोरोव जटिलता के लिए एक संवेदनशीलता प्रमेय । कम्प्यूटिंग सिस्टम का सिद्धांत, 52 (2): 297-302, फरवरी 2013), यहाँ उपसर्ग-मुक्त कोलमोगोरोव जटिलता को दर्शाता है। का चयन , हम देख प्रत्येक के लिए कि -बिट स्ट्रिंग जटिलता के हमारे पास इसलिए, ऐसे प्रत्येक हमारे पास । चलो

C (a, b) = K (a | C (a, b)) + C (b | a, C (a, b)) + O (1) .

$C(a,b) = K(a|C(a,b)) + C(b|a,C(a,b)) + O(1).$

K (\cdot)

$K(\cdot)$

a = n

$a = n$

n

$n$

b

$b$

k

$k$

k = C (b) = C (n, b) + O (1) = K (n | k) + C (b | n, k) + O (1) .

$k = C(b) = C(n,b) + O(1) = K(n|k) + C(b|n,k) + O(1).$

b

$b$

C (b | n, k) = k - K (n | k) + O (1)

$C(b|n,k) = k - K(n|k)+O(1)$

k^{'} = k - K (n | k)

$k' = k - K(n|k)$ । अब कोई यह देख सकता है कि इस तरह के तार पर अधिकांश हैं , और प्रत्येक lexicographically पहले लंबाई के तार संतुष्ट करते हैं । इस प्रकार उनमें से ।

O (2^{k^{'}})

$O(2^{k'})$

b

$b$

2^{k^{'}}

$2^{k'}$

n

$n$

C (b | n, k) \leq k^{'} + O (1)

$C(b|n,k) \le k' + O(1)$

Ω (2^{k^{'}})

$\Omega(2^{k'})$

C (b | n, k) = k^{'} + O (1)

$C(b|n,k) = k' + O(1)$

— ब्रूनो बाउवेन्स
स्रोत