लंबाई के कितने शब्द

EDD TO ADD : यह प्रश्न अब अनिवार्य रूप से उत्तर दिया गया है; अधिक जानकारी के लिए कृपया इस ब्लॉग प्रविष्टि को देखें। यहां टिप्पणी और उत्तर पोस्ट करने वाले सभी को धन्यवाद।

मूल प्रश्न

यह MathOverflow पर पूछे गए एक प्रश्न का एक उम्मीद के मुताबिक होशियार और बेहतर सूचित संस्करण है । जब मैंने उस प्रश्न को पूछा, तो मुझे यह भी नहीं पता था कि गणित के क्षेत्र का नाम मेरी समस्या है। अब मुझे पूरा यकीन है कि यह आंशिक शब्दों पर एल्गोरिथम संयोजकों में निहित है। (इस विषय पर हाल ही किताब यहाँ ।)

मैं शब्दों की एक सूची बनाना चाहता हूं $l$ पत्र। प्रत्येक शब्द की लंबाई बिल्कुल है $k$ । सौदा है, अगर $a \lozenge ^j b$ सूची में है, जहां $\lozenge$ एक वाइल्डकार्ड / प्रतीक नहीं है, तो $a \lozenge ^j b$ सूची में फिर कभी प्रकट नहीं हो सकता। (यदि सही है तो वही है $a=b$ , या अगर $j=0$ और इसलिए निषिद्ध उपवाक्य है $ab$ ।)

उदाहरण जहाँ $k=4$ तथा $l=5$ :

$abcd$
$bdce$
$dcba$ <- क्योंकि निषिद्ध है $dc$ ऊपर की लाइन में दिखाई दिया
$aeed$ <- क्योंकि निषिद्ध है $a \lozenge \lozenge d$ पहली पंक्ति में दिखाई दिया

"अवहेलना करने योग्य आंशिक शब्द" पर जो साहित्य मुझे मिला है, वह सब अनन्तकालीन है - अंततः शब्द का आकार बहुत बड़ा होने पर कुछ शब्द पैटर्न अपरिहार्य है। मैं ऐसे प्रमेयों के वित्तीय संस्करणों को खोजना चाहता हूं। तो, सवाल:

फॉर्म के आंशिक शब्द को देखते हुए $a \lozenge^j b$ की वर्णमाला में $l$ अक्षर, लंबाई के कितने शब्द $k$ इससे बचें, और क्या वे बहुपद समय में स्पष्ट रूप से उत्पन्न हो सकते हैं?

मैं उपरोक्त प्रश्न के कठिन होने की उम्मीद नहीं करता, और, जब तक कि कोई सूक्ष्मता मुझे याद नहीं आ रही है, मैं खुद इसकी गणना कर सकता था। इस साइट पर पोस्ट करने का असली कारण यह है क्योंकि मुझे अपने आवेदन के लिए ऐसे शब्द सूचियों के गुणों के बारे में बहुत कुछ जानने की आवश्यकता है, इसलिए मुझे उम्मीद है कि कोई व्यक्ति फॉलोअप प्रश्न का उत्तर दे सकता है:

क्या यह सामान्यता में अध्ययन किया गया है? कुछ कागजात हैं जो मानते हैं, न कि केवल एक आंशिक शब्द अंत में अपरिहार्य है, लेकिन यह अपरिहार्य बनने से पहले "कितना समय लगता है"?

धन्यवाद।

co.combinatorics

— हारून स्टर्लिंग
स्रोत

(1) मैं आपके पहले प्रश्न और इसके पहले बताए गए उदाहरण के बीच पत्राचार को नहीं समझ सकता। आपके उदाहरण में इनपुट क्या है? (२) अपने पहले प्रश्न में, क्या आप दो भिन्न उद्देश्यों के लिए k का उपयोग कर रहे हैं?

— त्सुयोशी इतो

(2) के बारे में, हाँ, मैंने एक गलती की, अब संपादित, धन्यवाद।

— हारून स्टर्लिंग

(1) के बारे में, मैं जानना चाहता हूं कि एक आंशिक शब्द दिखाई देने के बाद "मैंने कितना कमरा छोड़ा है"। लेकिन हाँ, असली सवाल यह है कि उदाहरण में दिखाई देने वाली (निषिद्ध आंशिक शब्दों के बिना) जैसी सूचियों का उत्पादन कैसे किया जाए। तो इनपुट का मान होगा

k

$k$ तथा

l

$l$ , और एक सूची में उत्पन्न करने के लिए शब्दों की एक वांछित संख्या, जिनमें से सभी में "आंशिक रूप से प्रकट होने वाली आंशिक संपत्ति से बचने" था।

— हारून स्टर्लिंग

@Aaron, मुझे नहीं पता कि आपका अंतिम आवेदन क्या है, लेकिन डेवनपोर्ट-सिनचेज़ल अनुक्रम (और सामान्यीकरण) एक स्ट्रिंग की अधिकतम लंबाई के बारे में पूछते हैं जिसमें एक विशेष दोहराव पैटर्न नहीं होता है। यह एक संबंधित धारणा है।

— सुरेश वेंकट

सेठ पेटी कुछ निफ्टी सामान्यीकरणों का अध्ययन करने के साथ-साथ उपनगरीय इलाकों के लिए भी मना किया गया है।

— सुरेश वेंकट

जवाबों:

यहां एक विशेष मामला है: लंबाई के द्विआधारी शब्दों की संख्या $k$ ऐसा है कि कोई भी दो लगातार दिखाई देते हैं $F(k+3)$ , कहाँ पे $F(n)$ है $n^{th}$ फाइबोनैचि संख्या (के साथ शुरू) $F(1)=1, F(2)=1$ )। प्रूफ ज़ीकेन्डोर्फ प्रतिनिधित्व के माध्यम से है ।

संपादित करें: हम इस प्रारंभिक विशेष मामले को थोड़े बड़े विशेष मामले में विस्तारित कर सकते हैं $a\lozenge^0a$ । लंबाई के तारों पर विचार करें $k$ आकार की एक वर्णमाला के ऊपर $l+1$ ऐसा है कि पत्र $a$ लगातार दो बार दिखाई नहीं देता है। चलो $f(k)$ ऐसे स्ट्रिंग्स की संख्या हो (जिसे हम "वैध" कहेंगे)। हम दावा करते हैं कि:

f (k) = l * f (k - 1) + l * f (k - 2)

$f(k) = l*f(k-1) + l*f(k-2)$

f (0) = 1, f (1) = l + 1

$f(0) = 1, f(1) = l+1$ अंतर्ज्ञान यह है कि हम लंबाई की एक वैध स्ट्रिंग का निर्माण कर सकते हैं

k

$k$ या तो द्वारा: a) समीपवर्ती किसी में से

l

$l$ पत्र जो नहीं हैं

a

$a$ लंबाई की एक वैध स्ट्रिंग के लिए

k - 1

$k-1$ , या बी) पत्र से सटे

a

$a$ और फिर कोई अन्य पत्र लेकिन

a

$a$ लंबाई की एक वैध स्ट्रिंग के लिए

k - 2

$k-2$ ।

आप सत्यापित कर सकते हैं कि उपरोक्त पुनरावृत्ति के लिए निम्नलिखित एक बंद फ़ॉर्म है: जहां हम समझते हैं जब ।

f (k) = \sum_{i = 0}^{k} (\binom{k + 1 - i}{i}) l^{k - i}

$f(k) = \sum_{i=0}^{k} {{k+1-i}\choose{i}} l^{k-i}$

(\binom{n}{i}) = 0

${{n}\choose{i}} = 0$

i > n

$i>n$

EDIT # 2: चलो एक और मामला खटखटाते हैं - । हम एक -ment वर्णमाला के ऊपर तार कहते हैं जिसमें , "वैध" नहीं होता है और को लंबाई के मान्य स्ट्रिंग्स के सेट को निरूपित करते हैं । इसके अलावा, के निर्दिष्ट कर सकते हैं के सबसेट होने के लिए के साथ शुरू तार से मिलकर और के साथ शुरू नहीं होने के लिए उन । अंत में,,,। $\lozenge^0 b, a \neq b$ $l$ $ab$ $S_k$ $k$ $T_k$ $S_k$ $b$ $U_k$ $b$ $f(k) = |S_k|$ $g(k) = |T_k|$ $h(k) = |U_k|$

हम देखते हैं कि और । इसके बाद, हम निम्नलिखित पुनरावृत्तियों का अनुमान लगाते हैं: सबसे पहले इस तथ्य से आता है कि के किसी भी तत्व की शुरुआत में जोड़ने से का एक तत्व उत्पन्न होता है । दूसरे को देख कि हम का एक तत्व का निर्माण कर सकते से आता है किसी भी चरित्र लेकिन जोड़कर के किसी भी तत्व के सामने से किसी भी चरित्र जोड़कर या लेकिन या किसी भी तत्व के सामने से में । $g(0)=0, h(0)=1, f(0)=1$ $g(1)=1, h(1)=l-1, f(1)=l$

\begin{array}{rcl} g (k + 1) & = & f (k) \\ h (k + 1) & = & (l - 1) * h (k) + (l - 2) * g (k) \end{array}

$\begin{eqnarray} g(k+1) &=& f(k) \\ h(k+1) &=&(l-1)*h(k) + (l-2)*g(k) \end{eqnarray}$

b

$b$

S_{k}

$S_k$

T_{k + 1}

$T_{k+1}$

U_{k + 1}

$U_{k+1}$

b

$b$

U_{k}

$U_{k}$

a

$a$

b

$b$

T_{k}

$T_k$

इसके बाद, हम पुनरावृत्ति समीकरणों को प्राप्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करते हैं:

\begin{array}{rcl} f (k + 1) & = & g (k + 1) + h (k + 1) \\ = & f (k) + (l - 1) * h (k) + (l - 2) * g (k) \\ = & f (k) + (l - 1) * f (k) - g (k) \\ = & l * f (k) - f (k - 1) \end{array}

$\begin{eqnarray} f(k+1) &=& g(k+1) + h(k+1) \\ &=& f(k) + (l-1)*h(k) + (l-2)*g(k) \\ &=& f(k) + (l-1)*f(k) - g(k) \\ &=& l*f(k) - f(k-1) \end{eqnarray}$

हम इस पुनरावृत्ति के लिए एक बल्कि अपारदर्शी बंद-फॉर्म समाधान प्राप्त कर सकते हैं फ़ंक्शन फ़ंक्शन सामान उत्पन्न करने के साथ थोड़ा-थोड़ा टकराकर या, यदि हम आलसी हैं, तो सीधे वुल्फराम अल्फा के लिए जा रहे हैं । हालांकि, googling और में चारों ओर poking का एक छोटा सा के साथ OEIS , हम पाते हैं कि हम वास्तव में है: जहां है दूसरी तरह की Chebyshev बहुपद (!) ।

f (k) = U_{k} (l / 2)

$f(k) = U_k(l/2)$

U_{k}

$U_k$

k^{t h}

$k^{th}$

— mhum
स्रोत

यह बहुत दिलचस्प है, धन्यवाद।

— हारून स्टर्लिंग

पहला सवाल के लिए एक पूरी तरह से अलग दृष्टिकोण पर हाल ही में सवाल का जवाब पुनः उपयोग कर लेता एक नियमित रूप से भाषा में शब्द पैदा : यह लंबाई के लिए इन एल्गोरिदम लागू करने के लिए पर्याप्त होता है नियमित भाषा पर जहां वर्णमाला है। $k$ $\Sigma^\ast a\Sigma^j b\Sigma^\ast$ $\Sigma$

— सिल्वेन
स्रोत

धन्यवाद। मैं सोच रहा था कि क्या कोई कनेक्शन हो सकता है, और यहां आपके जवाब ने मुझे वहां दिए गए कागजात को देखने के लिए आवश्यक धक्का दिया, और उनमें से एक निश्चित रूप से उन समस्याओं में से एक का एक टुकड़ा हल करता है जो मैं विचार कर रहा हूं।

— हारून स्टर्लिंग

अपडेट किया गया: यह उत्तर गलत है :

यह मानते हुए कि तय हो गई है, हम कर सकते हैं की संख्या की गणना के तरीके एक पैटर्न मिलान किया जा सकता है: पहला प्रतीक कुछ की स्थिति में मिलान किया जा सकता , और हमारे पास संभावनाएं उस बिंदु से पहले, और बीच , और स्ट्रिंग के शेष भाग के लिए, इस प्रकार कुल मामले। जैसा कि टिप्पणी में त्सुयोशी इतो ने नोट किया है, यह संख्या अलग-अलग शब्दों की संख्या नहीं है जो मेल खाते हैं $j$ $a\lozenge^j b$ $a$ $1\leq i\leq k-j-1$ $l^{i-1}$ $l^j$ $a$ $b$ $l^{k-j-i-1}$

\sum_{i = 1}^{k - j - 1} l^{i - 1} \cdot l^{j} \cdot l^{k - j - i - 1} = (k - j - 1) l^{k - 2}

$\sum_{i=1}^{k-j-1}l^{i-1}\cdot l^{j}\cdot l^{k-j-i-1}=(k-j-1)l^{k-2}$

a ◊^{j} b

$a\lozenge^j b$ चूंकि एक ही शब्द एक ही पैटर्न को अलग-अलग तरीकों से मिला सकता है। उदाहरण के लिए में तीन बार मिलान किया जाता है , में दो बार , और दो बार में । हम कई बार मिलान पैटर्न के तरीकों की संख्या की गणना करने और "समावेश-बहिष्करण" अभिव्यक्ति का प्रदर्शन करने का प्रयास कर सकते हैं, लेकिन जिस तरह से पैटर्न ओवरलैप हो सकता है यह बहुत लंबा बनाता है।

a a

$aa$

a a a a

$aaaa$

a b

$ab$

a b a b

$abab$

a ◊ b

$a\lozenge b$

a a b b

$aabb$

पहले प्रश्न के लिए, यह समझ में नहीं आता है कि निश्चित नहीं है, अर्थात हम शब्द को एम्बेड करने से बचना चाहते हैं : $j$ $ab$

या तो पहले प्रतीक प्रकट होता है कभी नहीं जो के लिए खातों, , संभव शब्द $a$ $(l-1)^k$
या कुछ की स्थिति में पहले प्रकट होता है , तो हम उपयोग नहीं कर सकते शब्द के शेष में: देखते हैं के लिए कारक अप के लिए विकल्पों को , और शेष के लिए विकल्प, कुल संभव शब्द। चाहे अप्रासंगिक हो। $a$ $1\leq i\leq k$ $b$ $(l-1)^{i-1}$ $a$ $(l-1)^{k-i}$ $\sum_{i=1}^k(l-1)^{i-1}\cdot(l-1)^{k-i}=k(l-1)^{k-1}$ $a=b$

दूसरे प्रश्न के लिए, मेरे पास सुझाव देने के लिए बहुत कुछ नहीं है; शब्द एम्बेडिंग के साथ एक संबंध है, लेकिन परिणाम जो मुझे पता है कि हिगमैन के लेम्मा के लिए बुरे अनुक्रम तुरंत लागू नहीं होते हैं।

— सिल्वेन
स्रोत

बहुत बहुत धन्यवाद, सिल्वेन, हालांकि मुझे नहीं लगता कि यह काफी सही है। हम बाद में शब्द में उपयोग कर सकते हैं यदि प्रकट होता है। अगर और पहले दिखाई देते हैं , तो हम बस उपयोग नहीं कर सकते हैं , अगर और बीच बिल्कुल अक्षर हैं । हालांकि मैं आपके तर्क को गलत समझ रहा हूं।

b

$b$

a

$a$

b

$b$

j

$j$

a

$a$

b

$b$

a ◊^{j} b

$a \lozenge ^j b$

— एरोन स्टर्लिंग

क्षमा करें, मुझे यकीन नहीं था कि तय किया गया था या नहीं। मैंने उत्तर को निश्चित साथ संपादित किया है ।

j

$j$

j

$j$

— सिल्वेन

मुझे नहीं लगता कि फिक्स्ड-जे मामला सही है। उदाहरण के लिए, यदि k = 4 और j = 1, शब्द आब को दो बार घटाया जाता है। मैंने गैर-फिक्स्ड-जे केस नहीं पढ़ा है।

— त्सुयोशी इटो

@Tsuyoshi Ito: आप सही कह रहे हैं, उस मामले में कोई अनूठा मेल नहीं है।

— सिल्वेन

कृपया गलत उत्तर को चिह्नित करें।

— त्सुयोशी इतो