ग्राफ गुण की संवेदनशीलता

Question

[1] में, तुरान दर्शाता है कि ग्राफ संपत्ति की संवेदनशीलता (जिसे कागज में "महत्वपूर्ण जटिलता" कहा जाता है) तुलना में कड़ाई से अधिक है जहां ग्राफ में कोने की संख्या है। वह यह अनुमान लगाने के लिए जाता है कि किसी भी गैर-तुच्छ ग्राफ संपत्ति में संवेदनशीलता । उन्होंने उल्लेख किया कि यह लिए सत्यापित किया गया है । क्या इस अनुमान पर कोई प्रगति हुई है?मीटर≥मीटर-1मीटर≤$\lfloor {1\over 4} m \rfloor$$m$$\geq m-1$$m \leq 5$

पृष्ठभूमि

को में एक बाइनरी स्ट्रिंग होने दें । को लिए परिभाषित करें बिट को फ़्लिप करके से प्राप्त स्ट्रिंग हो । एक बूलियन समारोह के लिए \ के लिए , परिभाषित की संवेदनशीलता पर के रूप में। अंत में, परिभाषित संवेदनशीलता के के रूप में ।{ 0 , 1 } एन एक्स मैं 1 ≤ मैं ≤ n एक्स मैं टी ज च : { 0 , 1 } n { 0 , 1 } च x रों ( च ; एक्स ) : = | { मैं : च ( एक्स ) ≠ च ( एक्स मैं ) } $x$$\{0,1\}^n$$x^i$$1 \leq i \leq n$$x$$i^{th}$$f: \{0,1\}^n$$\{0,1\}$$f$$x$$s(f;x) := |\{i : f(x) \neq f(x^i) \}|$s ( f ) : = अधिकतम$f$$s(f) := \mbox{max}_x\; s(f;x)$

एक ग्राफ संपत्ति एक संग्रह रेखांकन है कि अगर और isomorphic को है तो। हम एक ग्राफ संपत्ति के बारे में सोच सकते हैं गुण के मिलन के रूप में जहां का उपसमुच्चय होती है \ mathcal पी के साथ रेखांकन से मिलकर मीटर कोने। इसके अलावा, हम \ {0,1 \} ^ n पर जहां n = {m \ 2 चुनें} पर बूलियन फ़ंक्शन के रूप में एक ग्राफ गुण \ mathcal P_m की कल्पना कर सकते हैं । हम लंबाई के एक द्विआधारी वेक्टर में एम कोने पर एक ग्राफ को एन्कोड कर सकते हैं$\mathcal P$$G \in \mathcal P$$G'$$G$$G' \in \mathcal P$$\mathcal P$$\mathcal P_m$$\mathcal P_m$$\mathcal P$$m$$\mathcal P_m$$\{0,1\}^n$$n = {m \choose 2}$$m$$n$ ; वेक्टर में प्रत्येक प्रविष्टि वर्टिकल की एक जोड़ी से मेल खाती है और प्रविष्टि iff है जो कि किनारे ग्राफ में मौजूद है। इस प्रकार, एक ग्राफ संपत्ति की संवेदनशीलता इसकी संवेदनशीलता योग्यता बूलियन फ़ंक्शन है।$1$

1. Turan, G., ग्राफ गुण की महत्वपूर्ण जटिलता, सूचना प्रसंस्करण पत्र 18 (1984), 151-153।

Comments

क्या आपने 2002 में Buhrman और de Wolf ( homepages.cwi.nl/~rdewolf/publ/qc/dectree.ps ) का सर्वेक्षण देखा है ? यह सीधे आपके प्रश्न का उत्तर नहीं देता है, लेकिन सामान्य रूप से कार्यों की संवेदनशीलता के बारे में अधिक जानकारी है, और मोनोटोन ग्राफ़ गुणों के लिए भी।

— सुरेश वेंकट

एन्कोडिंग की जरूरत है बिट्स$(\binom{m}{2}+1)\log m$

— डिएगो डे एस्ट्राडा

Answer 1

सुरेश ने जिस सर्वेक्षण के लिए वेगेनर [1] द्वारा एक पेपर लाने की बात कही थी जो अनुमान को आंशिक रूप से पुष्टि करता है। यह सभी मोनोटोन ग्राफ गुणों के लिए है और असमानता तंग है (संपत्ति को "कोई पृथक कोने नहीं है" पर विचार करें)। किसी भी हाल के परिणामों की सराहना की जाएगी।

1. वेगनर, एल। सभी की महत्वपूर्ण जटिलता (मोनोटोन) बूलियन फ़ंक्शंस और मोनोटोन ग्राफ गुण। सूचना और नियंत्रण , 67: 212-222, 1985।