अधिकतम / अधिकतम स्वतंत्र सेट

Question

क्या संपत्ति के साथ ग्राफ़ के वर्ग के बारे में कुछ ज्ञात है कि सभी अधिकतम स्वतंत्र सेटों में समान कार्डिनैलिटी है और इसलिए अधिकतम आईएसएस हैं?

उदाहरण के लिए, विमान में बिंदुओं का एक सेट लें और सेट में बिंदुओं के जोड़े के बीच सभी खंडों के बीच के चौराहों के ग्राफ पर विचार करें। (खंड-> कोने, चौराहे-> किनारे)। इस ग्राफ में उपरोक्त संपत्ति होगी, क्योंकि सभी मैक्सिमम ISs मूल बिंदु सेट के त्रिकोणासन के अनुरूप हैं। क्या इस संपत्ति के लिए ग्राफ की अन्य श्रेणियां ज्ञात हैं? क्या इस संपत्ति का आसानी से परीक्षण किया जा सकता है?

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यहां एक संबंधित कागज है ( portal.acm.org/citation.cfm?id=303085 ) जो बताता है कि किसी दिए गए ग्राफ के लिए इसे निर्धारित करने की समस्या सह-एनपी-पूर्ण है, और इसलिए संपत्ति को चिह्नित करना मुश्किल होगा

— सुरेश वेंकट

Answer 1

इस तरह के ग्राफ को अच्छी तरह से कवर किए गए ग्राफ कहा जाता है । यहाँ इस विषय पर एक हालिया पेपर है जो कई उपयोगी संदर्भों को सूचीबद्ध करता है। जैसा कि सुरेश ने उल्लेख किया है, मान्यता समस्या सह-एनपी-पूर्ण है।

ध्यान दें कि एक ग्राफ के स्वतंत्र सेट एक सार सरल परिसर बनाते हैं। इस तरह से उत्पन्न होने वाले सरल परिसरों को "स्वतंत्रता परिसर" या "ध्वज परिसर" कहा जाता है। एक सरल परिसर को शुद्ध कहा जाता है यदि प्रत्येक मैक्सिमल सिम्प्लेक्स में समान हृदयता हो। इसलिए आपको "शुद्ध स्वतंत्रता परिसर" या "शुद्ध ध्वज परिसर" की खोज करके कुछ प्रासंगिक कागजात मिल सकते हैं।

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धन्यवाद, यह वही है जो मैं देख रहा था। "अच्छी तरह से कवर किए गए ग्राफ़" के लिए खोज करने पर मुझे कई और संदर्भ मिले।

— लेज़्ज़्लो कोज़मा

Answer 2

संपत्ति MAXIMAL = MAXIMUM ग्राफ़ में स्वतंत्र सेट के लिए और अधिक सामान्य दहनशील संरचनाओं के लिए महत्वपूर्ण है। यह ग्राफ़ को समझना दिलचस्प होगा जहां यह संपत्ति सभी प्रेरित उपसमूहों के लिए रखती है। एक सामान्य सार मामला जहां हमारे पास MAXIMUM = MAXIMAL है जब एक अंतर्निहित मेट्रॉइड संरचना होती है, लेकिन कई अन्य मामले भी होते हैं, जैसे प्रश्न में उल्लिखित अधिकतम प्लानर ग्राफ़ के मामले। यहाँ एक संबंधित उदाहरण है: उत्तल स्थिति में विमान में n अंक पर विचार करें और k को पूर्णांक बनाएं। उन रेखाओं पर विचार करें, जिनके कोने इन बिंदुओं के बीच के रेखाखंड हैं, जहां दो खंड समीप हैं यदि रेखा खंड नहीं पार करते हैं। ड्रेस ने साबित कर दिया कि इस ग्राफ के लिए MAXIMIM = MAXIMAL स्वतंत्र सेट है।

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