क्या मजबूत एनपी-कठोरता वास्तव में सादे पॉलीटाइम कटौती का उपयोग करके दिखाया जा सकता है?

Question

मैंने हाल ही में एक सबूत पढ़ा, जो यह दिखाने के लिए था कि एक समस्या एनपी-हार्ड थी, बस एक एनपी-हार्ड समस्या से इसे (बहुपद समय में) कम करके। इससे मुझे कोई मतलब नहीं था। मैंने सोचा होगा कि आपको यह दिखाना होगा कि कमी में इस्तेमाल की गई कोई भी संख्या और जिस समस्या को आप कम कर रहे हैं, वह समस्या के आकार में बहुपद रूप से बंधे थे।

मैंने तब देखा कि विकिपीडिया ने इस तरह के प्रमाण के लिए समान निर्देश दिए थे, लेकिन जब तक मैंने गैरी और जॉनसन को मूल रूप से एक ही बात कहते हुए नहीं देखा, तब तक मैं वास्तव में आश्वस्त नहीं था । विशिष्ट होने के लिए, वे कहते हैं, "अगर मजबूत अर्थों में एनपी-हार्ड है और वहां से तक एक छद्म-बहुपद परिवर्तन मौजूद है , तो मजबूत अर्थों में एनपी-हार्ड है," और परिवर्तन "ध्यान दें, परिभाषा के अनुसार, एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म भी एक छद्म बहुपद समय एल्गोरिथ्म है।"Π Π ' Π $\Pi$$\Pi$$\Pi'$$\Pi'$

बेशक, मैं इस पर गैरे एंड जॉनसन का शब्द लेता हूं - मुझे समझ नहीं आता कि यह कैसे सही हो सकता है, जो कि मैं कुछ मदद करना चाहता हूं। यहाँ मेरा (संभवतः दोषपूर्ण) तर्क है ...

दृढ़ता से एनपी-पूर्ण समस्याएं हैं, और ये सभी (परिभाषा के अनुसार) एनपी-हार्ड के साथ-साथ एनपी-पूर्ण भी हैं। हर एनपी-पूर्ण समस्या (परिभाषा के अनुसार) बहुपद में किसी भी अन्य (और इसलिए स्यूडोपोलिनोमियल) समय के लिए कम हो सकती है। गैरी एंड जॉनसन के बयानों को देखते हुए, इसलिए यह मुझे प्रतीत होगा कि प्रत्येक एनपी-पूर्ण समस्या दृढ़ता से एनपी-पूर्ण है, और, इसलिए, कि एनपी-हर कठिन समस्या एनपी-हार्ड है। यह, निश्चित रूप से, मजबूत एनपी-कठोरता की अवधारणा को अर्थहीन बनाता है ... तो मैं क्या याद कर रहा हूं?

संपादित करें / अपडेट करें (Tsuyoshi Ito के उत्तर के आधार पर):

गैरी एंड जॉनसन की एक (छद्म) बहुपदीय परिवर्तन (मजबूत अर्थों में एनपी-कठोरता को प्रदान करने के लिए जिस तरह की कमी की आवश्यकता है) की आवश्यकता (डी) से यह है कि परिणाम के रूप में सबसे बड़ी संख्यात्मक परिमाण बहुपद रूप से बंधी हुई है, एक कार्य के रूप में समस्या के आकार और मूल के अधिकतम संख्यात्मक परिमाण। यह निश्चित रूप से, इसका मतलब है कि अगर मूल समस्या एनपी-हार्ड है मजबूत अर्थ में (यानी, तब भी जब इसके संख्यात्मक परिमाण बहुपद रूप से समस्या के आकार में बंधे होते हैं), यह भी उस समस्या का सच होगा जिसे आप कम करते हैं। यह आवश्यक रूप से एक साधारण बहुपत्नी कटौती के लिए मामला नहीं होगा (अर्थात, इस अतिरिक्त आवश्यकता के बिना एक)।

Comments

महान! मेरे गणित टीए ने कल यह किया और मैंने हालांकि इसे गड़बड़ कर दिया। अब मैं उसे एक लिंक दे सकता हूं।

— राफेल

Answer 1

गैरी और जॉनसन द्वारा पेपर में शब्दावली के अनुसार, बहुपद-समय परिवर्तन आवश्यक रूप से छद्म-बहुपद रूपांतरण नहीं हैं क्योंकि यह परिभाषा 4 में आइटम (डी) का उल्लंघन कर सकता है।

Comments

सही-तो एक बहुपद एल्गोरिथ्म आवश्यक रूप से छद्म एकलोपयोगी है, लेकिन एक बहुपद कमी जरूरी नहीं है कि G & J जिसे छद्मोपदेशीय परिवर्तन कहते हैं। वास्तव में, उनका आइटम (डी) ठीक वही है जो मैंने सोचा था कि गायब है (यानी, संख्या के आकार पर कुछ प्रतिबंध)। धन्यवाद।

— मैग्नस ले हेटलैंड

Answer 2

Tsuyoshi के जवाब पर विस्तार करने के लिए:

गैरी और जॉनसन के संदर्भ में, पार्टीशन (पृष्ठ 47, सेक। 3.1) से मल्तिप्रोसेरर शेड्यूलिंग (पृष्ठ 65, सेक। 3.2.1, मद (7)) में परिवर्तन पर विचार करें।

परिवर्तन (प्रतिबंध द्वारा) में D = 1 सेट करना शामिल है। लेकिन अगर कार्यों की लंबाई,एल(एक), कर रहे हैंबहुत बड़ीवहाँ एक दो चर बहुपद मौजूद है, तो यह मामला हो सकता है किक्ष2ऐसी है कि,∀मैं∈डीΠ, Max`[च(मैं)]≤क्ष2(अधिकतम[मैं],लंबाई[मैं]$D=\frac{1}{2}\sum_{a\in A}l(a)$$l(a)$$q_2$$\forall I \in D_{\Pi}$$[f(I)] \le q_2$$[I],$$[I])$ (अर्थात छद्म-बहुपद परिवर्तन की परिभाषा में आइटम)

उदाहरण के लिए, बस मल्टीप्रोसेसर निर्धारण के एक उदाहरण है, जहां पर विचार मूल्य के सभी के में घातीय हैं संख्या के एल ( एक ) (यानी | एक | )। आप अभी भी "कॉम्बिनेटरियल ऑब्जेक्ट्स" (बोलने के लिए) की समान संख्या में हेरफेर कर रहे हैं, लेकिन वे सभी बहुत बड़े हैं। इसलिए, एनपी-पूर्ण, लेकिन दृढ़ता से एनपी-पूर्ण नहीं।$l(a)$$l(a)$$|A|$

आप संबंधित विषय पर विकिपीडिया पढ़ना चाहते हैं । उदाहरण के लिए, हमारे पास एनपी-पूर्ण KNAPSACK समस्या के लिए एक गतिशील प्रोग्रामिंग-आधारित बहुपद-समय एल्गोरिथ्म है - कम से कम, जब तक कि संख्या काफी छोटी हो। जब संख्या बहुत बड़ी हो जाती है, तो यह "बहुपद-काल" एल्गोरिथम प्रदर्शित करेगा "घातीय व्यवहार।" (जी एंड जे, पी। 91, सेकंड 4.2)