एक ग्राफ वर्ग की मान्यता की कठोरता और निषिद्ध सबग्राफ लक्षण वर्णन के बीच संबंध

Question

मैं उन ग्राफ कक्षाओं पर विचार कर रहा हूं जिन्हें निषिद्ध उपसमूह द्वारा विशेषता दी जा सकती है।

यदि एक ग्राफ वर्ग में निषिद्ध उपसमूहों का एक सीमित सेट है, तो एक तुच्छ बहुपद समय मान्यता एल्गोरिथ्म है (कोई केवल ब्रूट बल का उपयोग कर सकता है)। लेकिन निषिद्ध उपसमूह का एक अनंत परिवार कठोरता का अर्थ नहीं करता है: निषिद्ध उपसमूह की अनंत सूची के साथ कुछ वर्ग ऐसे हैं कि मान्यता को बहुपद समय में भी परीक्षण किया जा सकता है। कॉर्डल और परफेक्ट ग्राफ उदाहरण हैं लेकिन, उन मामलों में, निषिद्ध परिवार पर "अच्छा" संरचना है।

क्या किसी वर्ग की मान्यता की कठोरता और निषिद्ध परिवार के "बुरे व्यवहार" के बीच कोई संबंध है? ऐसा संबंध होना चाहिए? कहीं यह "बुरा व्यवहार" औपचारिक तो नहीं हो गया?

Answer 1

यद्यपि यह सहज लगता है कि निषिद्ध (प्रेरित) की सूची ग्राफ के एक वर्ग के लिए है, जिसकी NP- हार्ड मान्यता कुछ "आंतरिक" जटिलता के साथ होनी चाहिए , मुझे हाल ही में इस अंतर्ज्ञान के कुछ नकारात्मक नकारात्मक प्रमाण मिले हैं साहित्य।$\mathscr{C}$

शायद सबसे सरल वर्णन निम्नलिखित है, जो बी। लेवेके, डी। लिन, एफ। माफ़रे और एन। ट्रॉटिग्नन के एक लेख से लिया गया है ।

चलो दो ही शिखर से सटे: रेखांकन जो चार कम से कम लंबाई का एक चक्र से बना रहे हैं, के अलावा तीन कोने के परिवार हो एक एक शीर्ष के निकट चक्र के, और चक्र के, जहां और कर रहे हैं चक्र में लगातार नहीं (और कोई अन्य किनारे नहीं)।यू वी यू $F$$u$$v$$u$$v$

अब को ग्राफ का परिवार बनाते हैं, जो बिल्कुल उसी तरह से बना होता है, सिवाय इसके कि आप चार कोने जोड़ते हैं : चक्र के समान वर्टेक्स से दो (पहले की तरह), लेकिन अब दो समान वर्टेक्स से सटे हैं चक्र, जहां फिर से और लगातार नहीं हैं। यू वी यू $F'$$u$$v$$u$$v$

तब ग्राफ की श्रेणी जिसमें निषिद्ध प्रेरित उपसमूह के रूप में है, में बहुपद-काल मान्यता है, जबकि निषिद्ध प्रेरित उपसमूह के रूप में वर्ग की मान्यता एनपी-हार्ड है।एफ $F$$F'$

इसलिए, मुझे किसी भी सामान्य स्थिति के बारे में कल्पना करना मुश्किल है कि निषिद्ध प्रेरित सबग्राफ की एक सूची को संतुष्ट करना पड़ता है जब यह (एनपी-) कठिन मान्यता के साथ एक कक्षा में परिणाम होता है, यह देखते हुए कि ऐसी स्थिति को "बहुत समान" को अलग करना होगा। और ऊपर।एफ $F$$F'$

Comments

अच्छा जवाब - यह काफी नाजुक है।

— सुरेश वेंकट

दिलचस्प। क्या कोई मौका है कि पैटर्न का वर्णन करने के लिए आवश्यक तर्क की अभिव्यक्तता के साथ कुछ करना होगा? मैं औपचारिक भाषाओं के लिए कुछ ऐसा सोच रहा हूँ जहाँ किसी भाषा की जटिलता को उसी तरह से परिभाषित किया जा सकता है जिस तरह से इसे परिभाषित किया जाता है (regexp, औपचारिक व्याकरण ...) या इसे पहचानने के लिए आवश्यक मशीन (automaton, pushdown ...) या भाषा के शब्दों (उदाहरण के लिए, नियमित भाषाओं के लिए MSO) के लिए एक सूत्र लिखने के लिए आवश्यक तर्क की अभिव्यक्तियाँ।

— a3nm

यही कारण है कि एक दिलचस्प विचार है, लेकिन फिर मैं मदद नहीं कर सकता लेकिन लगता है कि और हैं तो करीब है कि यह उस तरह "अलग" उनमें से एक तरह से कल्पना करना मुश्किल है (से कहते हैं कि एक भाषा में अंकित करने जा रहा है कि नहीं है )। मैं हालांकि अत्यधिक नकारात्मक हो सकता है ..! मैं स्वीकार कर रहा हूं कि "अंतर्ज्ञान" यहां चल रहा है इसलिए मुझे खुशी होगी कि मैं गलत साबित होऊंगा। F ′ F F $F$$F'$$F$$F'$

— ह्यूगो नोब्रेगा

@Hugo: उन दोनों के बीच एक ठोस अंतर के लक्षण वर्णन में समरूपता है - वहाँ स्वाभाविक है कोने के बीच भेद का कोई साधन यू और वी । यदि आप कम से कम चार लंबाई के चक्रों के परिवार F 0 पर विचार करते हैं , तो चक्र में गैर-निरंतर क्रियाओं से सटे दो अतिरिक्त कोने हैं? क्या समरूपता को 'अन्य' दिशा बहाल करना ( एफ को एक जोड़ने के बजाय एक लंब को हटा देना ) फिर से कठिन बना देता है? $F'$$u$$v$$F_0$$F$

— स्टीवन स्टैडनिक

@ उत्तर: मुझे लगता है कि नहीं, कोई भी में ग्राफ़ का पता लगाकर यादृच्छिक रूप से 8 नोड्स का अनुमान लगा सकता है, ग्राफ़ के दोनों किनारों का निर्माण कर सकता है, और तीन नोड्स पर तीन-इन-ट्री एल्गोरिथम का प्रदर्शन कर सकता है, जैसे कि थ्योरम 3.1। यह एफ 0 का पता लगाने के लिए एक बहुपद-समय एल्गोरिथ्म देता है । $F_0$$F_0$

— Hsien-Chih चांग 張顯

Answer 2

@ ह्यूगो द्वारा उत्तर वास्तव में अच्छा है, और यहां मैं कुछ व्यक्तिगत राय जोड़ना चाहता हूं।

परिवार F और F 'में ग्राफ के समान संबंधित परिवार हैं। लेख में परिवार B1 के रेखांकन को आमतौर पर पिरामिड कहा जाता है। और परिवार बी 2 में रेखांकन को आमतौर पर प्रिज्म कहा जाता है। एक चित्रण के लिए यहाँ उत्तर देखें । प्रेरित उपसमूह का पता लगाने की समस्याओं के साहित्य में, उनका उपयोग सम / विषम छिद्रों का पता लगाने के लिए किया गया था, जो कि विषम / विषम लंबाई के साथ तार रहित चक्र हैं। जी के जी और पूरक दोनों में विषम छेद नहीं होते हैं, तो प्रख्यात मजबूत परफेक्ट ग्राफ प्रमेय द्वारा, एक ग्राफ जी परिपूर्ण होता है।

पिरामिड और प्रिज्म के परिवारों के लिए, वास्तव में उनके बीच मतभेद हैं - एक में तीन पत्तियों का एक प्रेरित उपशीर्षक है, और दूसरा नहीं है। इसे "थ्री-इन-ए-ट्री" समस्या कहा जाता है , जिसका अध्ययन चुडनोव्स्की और सीमोर द्वारा किया गया है। यह आश्चर्य की बात है कि अगर एक प्रेरित पेड़ है जिसमें तीन दिए गए नोड्स हैं, तो यह निर्धारित करना मुश्किल है , जबकि "चार-में-एक-केंद्रित पेड़" समस्या एनपी-हार्ड है । (एक केंद्रित वृक्ष एक पेड़ है जिसमें 2. से अधिक डिग्री के साथ एक नोड है। एफ और एफ के बीच अंतर एक ही कारण से प्रतीत होता है।

लेकिन ऐसा लगता है कि एक पूर्ण लक्षण वर्णन अभी भी कठिन है, क्योंकि हम कुछ परिवारों में रेखांकन का पता लगाने की जटिलता को भी नहीं जानते हैं जो कि काफी सरल दिखता है, जैसे विषम-छेद-मुक्त रेखांकन (!)। और जिन परिवारों को हम जानते हैं कि एक बहुपद-समय एल्गोरिथ्म मौजूद है, जैसे कि सही रेखांकन और सम-छिद्र-रहित रेखांकन, हालांकि एल्गोरिथ्म को डिजाइन करने के लिए सामान्य रणनीतियाँ (डिकम्पोज़िशन पर आधारित) हैं, किसी को एक विशिष्ट संरचनात्मक गति प्रदान करनी होगी उन्हें। यह आमतौर पर एक परिवार पर निर्भर प्रक्रिया है, और अधिकांश समय प्रमाण वास्तव में लंबे होते हैं। ( यहां तक कि सम-छेद-मुक्त ग्राफ के लिए एक उदाहरण है , जहां कागज 90 से अधिक पृष्ठ हैं।)

फिर भी तीन-इन-ट्री समस्या की तरह, प्रेरित सबग्राफ का पता लगाने की समस्याओं के लिए कुछ वर्गीकरण करना दिलचस्प होगा।