फॉर्मूला आकार AC0 कार्यों के लिए कम सीमा

Question

सवाल:

एसी ⁰ में स्पष्ट कार्य के लिए सबसे अच्छा ज्ञात सूत्र आकार निम्न है ? वहाँ एक स्पष्ट समारोह के साथ एक कम बाध्य है?$\Omega(n^2)$

पृष्ठभूमि:

अधिकांश निचली सीमाओं की तरह, सूत्र आकार की निचली सीमाएँ मुश्किल से आती हैं। मुझे मानक यूनिवर्सल गेट सेट {AND, OR, NOT} पर फॉर्मूला साइज़ लोअर बाउंड्स में दिलचस्पी है।

इस गेट सेट पर एक स्पष्ट कार्य के लिए सबसे अच्छा ज्ञात सूत्र आकार निम्न है। द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन के लिए । यह बाउंड्री हास्टैड द्वारा दिखाई गई थी, एंड्रीव की की निचली सीमा में सुधार । एक और स्पष्ट निचली सीमा खार्चचेंको का जो पैरिटी फ़ंक्शन के लिए कम बाध्य है।Ω ( एन 2.5 - ओ ( 1 ) ) Ω ( एन 2$\Omega(n^{3-o(1)})$$\Omega(n^{2.5-o(1)})$$\Omega(n^2)$

हालाँकि, ये दोनों फ़ंक्शन AC ⁰ में नहीं हैं । मैं सोच रहा था कि क्या हम एसी ⁰ में द्विघात (या बेहतर) निचले बाउंड के साथ एक स्पष्ट फ़ंक्शन जानते हैं । मुझे जो सबसे अच्छी तरह से पता है वह तत्व है, जो नीचता के आधार पर नियमन की गड़बड़ी के लिए बाध्य है, जैसा कि नेचिपोरुक द्वारा दिखाया गया है। ध्यान दें कि तत्व भिन्नता फ़ंक्शन AC ^{0 में है} , इसलिए मैं एक स्पष्ट AC ⁰ फ़ंक्शन के लिए कम बाउंड की तलाश कर रहा हूं जो कि से बेहतर है, अधिमानतः ।Ω ( एन 2 / लॉग इन करें n ) Ω ( एन 2$\Omega(n^2/\log n)$$\Omega(n^2/\log n)$$\Omega(n^2)$

आगे की पढाई:

इस विषय पर एक उत्कृष्ट संसाधन "बूलियन फंक्शन कॉम्प्लेक्सिटी: एडवांस एंड फ्रंटियर्स" है जिसे स्टाइस जुकना ने लिखा है। पुस्तक का एक मसौदा उसकी वेबसाइट पर मुफ्त में उपलब्ध है।

Comments

के लिए superlinear lowerbounds की कमी के लिए कारण सकता है कार्यों के लिए स्वयं कमी है किसी प्रकार का हो सकता है एक सी 0 कार्यों? यानी हम एक है, तो एन 1 + ε lowerbound (जहां ε तो हम एक superpoly lowerbound मिल गहराई पर निर्भर नहीं है)। $AC^0$$AC^0$$n^{1+\epsilon}$$\epsilon$

— केव

@Kaveh: मुझे यकीन है कि मैं समझ नहीं पा रहा हूँ। हमारे पास पहले से ही A C 0 (तत्व भिन्नता) में एक फ़ंक्शन के लिए निचला बाउंड है । $\Omega(n^2/\log n)$$AC^0$

— रॉबिन कोठारी

क्षमा करें, सुपरलाइन को सुपर-द्विघात के साथ बदलें। मेरा मतलब है कि लिए Allender-Koucky परिणाम के समान है । A C 0 का घातांक बड़ा हो सकता है। इस तरह के एक परिणाम समझा जा सकता है क्यों यह पता लगाना मुश्किल है एक सी 0 के लिए lowerbounds एक सी 0 कार्य करता है। $TC^0$$AC^0$$AC^0$$AC^0$

— केव

ऐसा लगता है कि ट्यूरिंग एन सी 0 कटौती के तहत के लिए पूरी होने वाली कोई भी समस्या दृढ़ता से स्व-रिड्यूसबल है, लेकिन यह मुझे वह नहीं दे रहा है जिसकी मैं उम्मीद कर रहा था क्योंकि आत्म-कमी का आकार बहुपद हो सकता है। $AC^0$$NC^0$

— केवह

Answer 1

एक अच्छा सवाल! खापचेंको निश्चित रूप से कार्यों के लिए द्विघात कम सीमा नहीं दे सकता है । उनकी निचली सीमा वास्तव में औसत संवेदनशीलता का कम से कम वर्ग है। और ए सी 0 में सभी कार्यों में पॉली-लॉगरिदमिक औसत संवेदनशीलता है। Subbotovskaya-Andreev जाहिरा तौर पर इस तरह के एक समारोह को भी नहीं दे सकता है क्योंकि वे जिस तर्क का उपयोग करते हैं (बहुत छोटे सूत्रों में यादृच्छिक प्रतिबंध परिणाम), वास्तव में बड़े ए C 0 सर्किट आकार को मजबूर करने का कारण है ; हस्ताद की स्विचिंग लेम्मा (मुझे बिल्कुल यकीन नहीं है, बस एक अंतर्ज्ञान)। एकमात्र आशा नेचिपोरुक है। लेकिन उसका तर्क n 2 / log n से अधिक नहीं दे सकता$AC^0$$AC^0$$AC^0$$n^2/\log n$, सूचना सिद्धांत कारणों से। तो, क्या ऐसा हो सकता है कि में सब कुछ द्विघात (या उससे भी छोटा) आकार का हो? मैं इस पर विश्वास नहीं करता, लेकिन जल्दी से एक प्रतिसाद नहीं पा सका। $AC^0$

दरअसल, ऑलेंडर-कौकी घटना दूसरे संदर्भ में भी उभरती है - ग्राफ जटिलता में। कहते हैं इस बात का एक सर्किट चर का प्रतिनिधित्व करता है एक द्विपक्षीय n × n ग्राफ जी कोने पर वी = { 1 , ... , 2 n } हर इनपुट वेक्टर के लिए अगर एक ठीक दो 1s के साथ है, कहते हैं, पदों मैं और जे ( मैं ≤ n , जे > एन ) सर्किट स्वीकार करता है एक iff कोने मैं और $2n$$n\times n$$G$$V=\{1,\ldots,2n\}$$a$$i$$j$$i\leq n$$j>n$$a$$i$$j$ सटे हुए हैं । समस्या: प्रदर्शन एक स्पष्ट ग्राफ जी कम से कम की आवश्यकता होती है n ε फाटकों एक द्वारा प्रतिनिधित्व किए जाने की एक लय Σ 3 -circuit। एक मासूम सवाल की तरह लगता है (के बाद से सबसे रेखांकन के बारे में की आवश्यकता होती है n 1 / 2 फाटकों। लेकिन किसी भी तरह के ग्राफ हम में से एक बूलियन समारोह देना होगा 2 मीटर = 2 लॉग एन की आवश्यकता होती है चर गैर लय superlinear आकार का लॉग गहराई सर्किट (के परिणामों से मूल्यवान)। इस प्रकार, यहां तक ​​कि गहराई -3 सर्किट के लिए n ounds कम सीमा साबित करना एक चुनौती हो सकती है। $G$$G$$n^{\epsilon}$ $\Sigma_3$$n^{1/2}$$2m=2\log n$$n^{\epsilon}$

Comments

Cstheory में आपका स्वागत है। :) (btw, आपकी नई पुस्तक काफी दिलचस्प लग रही है, दुर्भाग्य से मैं एक देशी अंग्रेजी वक्ता नहीं हूं, इसलिए प्रूफ-रीडिंग में मदद नहीं कर सकता।)

— केवह

दरअसल, इस बिंदु पर सामग्री / संदर्भ और इस तरह की कोई भी टिप्पणी / आलोचक बहुत महत्वपूर्ण हैं। वर्तमान संस्करण यहाँ है । उपयोगकर्ता: दोस्त पासवर्ड: catchthecat

— Stasys

धन्यवाद :) मैं प्रोपोजल प्रूफ जटिलता के बारे में अंतिम अध्याय पढ़ने जा रहा हूं।

— कावेह

उत्तर के लिए बहुत बहुत धन्यवाद! आप में एक समारोह के बारे में सोच रहे हैं तो कि आप अनुमान एक की आवश्यकता है Ω ( एन 2 ) सूत्र आकार, मुझे पता है कि दिलचस्पी होगी। $AC^0$$\Omega(n^2)$

— रॉबिन कोठारी

Answer 2

प्रूफ जटिलता पर अध्यायों को देखने के लिए धन्यवाद, केवह!

रॉबिन के प्रश्न के संबंध में, पहला यह है कि नोट शामिल आकार के फार्मूले (और यहां तक सर्किट) की आवश्यकता होती है कार्यों n कश्मीर किसी भी निरंतर के लिए कश्मीर । यह एक साधारण तथ्य से इस प्रकार है कि, A C 0 में सभी DNF होते हैं, जिसमें लगातार लंबे मोनोमियल होते हैं। इस प्रकार, A C 0 में किसी भी k के लिए कम से कम EXP ( n k ) अलग-अलग कार्य होते हैं । दूसरी ओर, हमारे पास exp ( t log n ) कार्यों के बारे में है, जो आकार t के सूत्रों द्वारा गणना योग्य हैं$AC^0$ $n^k$$k$$AC^0$$AC^0$$\exp(n^k)$$k$$\exp(t\log n)$$t$।

मैंने जल्द ही इगोर सर्गेव (मॉस्को विश्वविद्यालय से) के साथ n 2 या उससे कम की स्पष्ट सीमा प्राप्त करने के मुद्दे पर चर्चा की । एक संभावना एंड्रीव की विधि का उपयोग करने की हो सकती है, लेकिन पैरिटी के बजाय कुछ अन्य, आसान कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन पर लागू होती है। यह है कि फॉर्म F ( X ) = f ( g ( X 1 ) , … , g ( X b ) ) के n वेरिएबल के एक फंक्शन पर विचार करें जहां b = log n और g A में एक फंक्शन है।$n^2$$n$$F(X)=f(g(X_1),\ldots,g(X_b))$$b=\log n$$g$N / b चरका C 0 ; f , b वेरिएबल्सका कुछ सबसे जटिल कार्य है( f कामात्र अस्तित्व हीपर्याप्त है)। हम केवल कि समारोह की जरूरत है जी सकते हैं "मार डाला" नहीं किया जा निम्नलिखित अर्थ में: अगर हम सब लेकिन ठीक कश्मीर में चर एक्स , तो यह संभव सब ठीक करने के लिए, लेकिन होना चाहिए की शेष चर में से एक ग्राम ताकि की प्राप्त subfunction जी एक एकल चर है। तब एंड्रीव के तर्क लागू करने और Hastad के परिणाम का उपयोग कर कि सिकुड़ते लगातार कम से कम है 2 (न केवल 3 /$AC^0$$n/b$$f$$b$$f$$g$$k$$X$$g$$g$$2$$3/2$जैसा कि पहले सिब्बोटोव्स्काया द्वारा दिखाया गया था), लिए परिणामी निचली सीमा एन 3 / के 2 के बारे में होगी । बेशक, हम जानते हैं कि हर समारोह एक सी 0 कर सकते हैं सभी लेकिन फिक्सिंग द्वारा मारा जा एन 1 / घ चर, कुछ निरंतर के लिए घ ≥ 2 । लेकिन एक पाने के लिए एन 2 कम बाध्य उस में एक स्पष्ट समारोह को खोजने के लिए पर्याप्त होगा एक सी 0 जो सभी फिक्सिंग लेकिन कहते हैं, द्वारा मारा नहीं जा सकता, एन 1 /$F(X)$$n^3/k^2$$AC^0$ $n^{1/d}$$d\geq 2$$n^2$$AC^0$$n^{1/2}$चर। किसी को दो से अधिक गहराई में इस तरह के फ़ंक्शन की खोज करनी चाहिए।

वास्तव में, उपरोक्त के रूप में फ़ंक्शन लिए , कोई सरल लालची तर्क के माध्यम से एन 2 / लॉग एन के बारे में कम सीमाएं प्राप्त कर सकता है , कोई नेचिपोरुक, कोई सुब्बतोवस्काया और कोई यादृच्छिक प्रतिबंध नहीं! इसके लिए, यह केवल इतना है कि "आंतरिक फ़ंक्शन" जी (वाई) गैर-तुच्छ है (इसके सभी एन / बी चर पर निर्भर करता है )। इसके अलावा, बाउंड फ़ैनिन-गेट्स के किसी भी आधार के लिए है, न कि केवल डी मॉर्गन फ़ार्मुलों के लिए।$F(X)$$n^2/\log n$$n/b$

सबूत: के लिए एक सूत्र को देखते हुए के साथ रों पत्ते, प्रत्येक ब्लॉक में चयन एक्स मैं एक चर जो प्रकट होता है सबसे छोटी एक पत्ता के रूप में समय की संख्या। फिर सभी शेष चर को संगत स्थिरांक पर सेट करें ताकि प्रत्येक g ( X i ) एक चर या इसके निषेध में बदल जाए। प्राप्त सूत्र तब मूल सूत्र से कम से कम n / b गुना छोटा होगा। इस प्रकार, s कम से कम n / b = n / log $F(X)$$s$$X_i$$g(X_i)$$n/b$$s$$n/b=n/\log n$बार सूत्र आकार के च , कि है, एस ≥ एन 2 - ओ ( 1 ) । QED$2^b/\log b=n/\log\log n$$f$$s\geq n^{2-o(1)}$

या अधिक प्राप्त करने के लिए , किसी को यादृच्छिक प्रतिबंधों के तहत Subbotovskaya-Hastad सिकुड़ते प्रभाव को शामिल करना होगा। एक संभावित उम्मीदवार हैस्टर्ड द्वारा Sipser के फ़ंक्शन का कुछ संस्करण हो सकता है ताकि यह दिखाया जा सके कि गहराई ( d + 1 ) सर्किट गहराई d की तुलना में अधिक शक्तिशाली हैं ।$n^2$$(d+1)$$d$