कंप्यूटर के लिए कुछ साबित करना इतना मुश्किल क्यों है?

Question

यह एक मूर्खतापूर्ण प्रश्न माना जा सकता है। मैं एक कंप्यूटर साइंस मेजर नहीं हूं (और मैं अभी तक कोई बड़ी गणित नहीं हूं, या तो), इसलिए कृपया मुझे क्षमा करें यदि आपको लगता है कि निम्नलिखित प्रश्न कुछ बड़ी गलत धारणाएं प्रदर्शित करते हैं।

जबकि Fermat के अंतिम प्रमेय को औपचारिक रूप देने की योजना है (इस प्रस्तुति को देखें ), मैंने कभी नहीं पढ़ा या सुना है कि एक कंप्यूटर भी पाइथागोरस की तरह एक "सरल" प्रमेय साबित कर सकता है।

क्यों नहीं? कंप्यूटर द्वारा पूरी तरह से स्वायत्त प्रमाण स्थापित करने के पीछे (/) मुख्य कठिनाई (/ ies) क्या है, केवल कुछ "निर्मित स्वयंसिद्ध" द्वारा सहायता प्राप्त है?

एक दूसरा प्रश्न जो मैं पूछना चाहता हूं वह निम्नलिखित है: हम कई सबूतों को औपचारिक रूप देने में सक्षम क्यों हैं, जबकि कंप्यूटर के लिए अपने आप को एक प्रमेय साबित करना वर्तमान में असंभव है? वह "कठिन" क्यों है?

Comments

दो मुख्य कठिनाइयाँ। अपूर्णता (देखें गोडल की प्रमेय) और खोज स्थान का विशाल आकार (दिलचस्प लोगों की तुलना में बहुत अधिक निर्बाध प्रमेय हैं)। प्रमाण सहायकों (कोक, इसाबेल, एजडा, आदि) का उपयोग करके उल्लेखनीय प्रगति की गई है। इन के साथ गणितज्ञ प्रमेय और नींबू लिखता है और प्रमाण सहायक प्रमाण खोजने में मदद करता है और यह सुनिश्चित करता है कि प्रमाण तार्किक रूप से मान्य हैं।

— डेव क्लार्क

ठीक है, तो वास्तव में आप का कहना है कि एक कंप्यूटर: @Dave क्लार्क है / उसे / यह एक प्रमेय किसी भी मूल्य नहीं है या दिलचस्प है कि लिखने के लिए साबित करना (नया) प्रमेयों करने में सक्षम है, लेकिन संभव खोजों के विशाल मात्रा में उसके लिए कठिन बनाता है क्या मैं सही हू? क्या आप बता सकते हैं कि गोडेल की प्रमेय और "अपूर्णता" यहां क्यों प्रासंगिक है? इसके अलावा, क्या आपके पास एक शोध पत्र या सर्वेक्षण लेख का संदर्भ है जिसमें यह दर्शाया गया है कि कंप्यूटर वास्तव में एक प्रमेय साबित होता है? अंत में, क्या कंप्यूटर को प्रमेय साबित करने की कोशिश में काफी शोध चल रहा है? इस अनुसंधान क्षेत्र को क्या कहा जाता है (cont'nd ...)

— मैक्स मूलर

और क्या आप इस पर अच्छी परिचयात्मक सामग्री जानते हैं? वास्तव में इस सामग्री को समझने के लिए गणित में विशेष रूप से कंप्यूटर विज्ञान दोनों में क्या शर्तें हैं?

— मैक्स मुलर

आपको डोरियन ज़िलबर्गर के कुछ कामों में दिलचस्पी हो सकती है, जैसे " टीचिंग द कंप्यूटर हाउ टू डिस्कवर (?) और फिर साबित (!) (सभी अपने आप से !!! (!!!)) एनालॉग्स ऑफ कॉलजेट के कुख्यात 3x + 1 अनुमान " ( math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/collatz.html )। ज़ेलेबर्गर का लगातार कॉउथोर, शालोश बी। एकाद, एक कंप्यूटर है।

— रोब सिमंस

निम्नलिखित प्रश्न भी प्रमेयों को सिद्ध करने में मदद करने वाले कंप्यूटरों के कई अच्छे उदाहरण देते हैं: cstheory.stackexchange.com/questions/82/…

— मुगीज़ी रिवाबंगिरा

Answer 1

जबकि Fermat के अंतिम प्रमेय को औपचारिक रूप देने की योजना है (इस प्रस्तुति को देखें), मैंने कभी नहीं पढ़ा या सुना है कि एक कंप्यूटर भी पाइथागोरस की तरह एक "सरल" प्रमेय साबित कर सकता है।

1949 में टार्स्की ने यह साबित कर दिया कि द एलिमेंट्स का लगभग सब कुछ तर्क के एक विखंडनीय टुकड़े के भीतर है, जब उन्होंने वास्तविक बंद क्षेत्रों के पहले-क्रम सिद्धांत की निर्णायकता दिखाई। तो विशेष रूप से पाइथागोरस प्रमेय के बारे में ज्यादा बात नहीं की जाती है क्योंकि यह विशेष रूप से कठिन नहीं है।

सामान्य तौर पर, जो चीज प्रमेय को कठिन साबित करती है वह प्रेरण है। इंडक्शन के बिना फर्स्ट-ऑर्डर लॉजिक के पास एक बहुत ही उपयोगी प्रॉपर्टी होती है जिसे सबफॉर्मूला प्रॉपर्टी कहा जाता है: ट्रू फॉर्मूला में केवल ए के सबटर्म्स को शामिल करने के सबूत होते हैं । इसका मतलब यह है कि यह प्रमेय साबित करने के लिए संभव है जो यह तय कर सकता है कि प्रमेय के विश्लेषण के आधार पर उन्हें क्या साबित करने का निर्देश दिया गया है। (क्वांटिफायर इंस्टेंटेशन, सबफॉर्मुला की सही धारणा को थोड़ा और सूक्ष्म बना सकता है, लेकिन हमारे पास इससे निपटने के लिए उचित तकनीक है।)$A$$A$

हालाँकि, axioms के लिए प्रेरण स्कीमा का जोड़ इस गुण को तोड़ता है। एक सच्चे सूत्र एकमात्र प्रमाण को एक प्रमाण B करने की आवश्यकता हो सकती है जो कि वाक्यगत रूप से A का उप-भाग नहीं है । जब हम एक पेपर प्रूफ में इसे चलाते हैं, तो हम कहते हैं कि हमें "इंडक्शन परिकल्पना को मजबूत करना है"। यह एक कंप्यूटर के लिए काफी कठिन है, क्योंकि उपयुक्त सुदृढ़ीकरण के लिए महत्वपूर्ण डोमेन-विशिष्ट जानकारी दोनों की आवश्यकता हो सकती है, और यह समझने की आवश्यकता है कि आप एक विशेष प्रमेय क्यों साबित कर रहे हैं। इस जानकारी के बिना, वास्तव में प्रासंगिक सामान्यीकरण अप्रासंगिक लोगों के जंगल में खो सकते हैं।$A$$B$$A$

Answer 2

दो मुख्य कठिनाइयाँ। अपूर्णता (देखें गोडेल की अपूर्णता सिद्धांत) और खोज स्थान का विशाल आकार (दिलचस्प लोगों की तुलना में बहुत अधिक गहन प्रमेय हैं)। प्रमाण सहायकों ( कोक , इसाबेल, एजडा, आदि) का उपयोग करके उल्लेखनीय प्रगति की गई है । इन के साथ गणितज्ञ प्रमेय और नींबू लिखता है और प्रमाण सहायक प्रमाण खोजने में मदद करता है और यह सुनिश्चित करता है कि प्रमाण तार्किक रूप से मान्य हैं।

$P$$Q$$P\wedge Q$

इस पत्र में बताया गया है कि चार रंग प्रमेय को सिद्ध करने के लिए प्रूफ सहायक कोक का उपयोग कैसे किया जाता है। मशीनीकृत गणित ( अवलोकन ) टीसीएस का एक क्षेत्र है जो (अर्ध) को स्वचालित रूप से प्रमेयों को साबित करता है (और सामान्य रूप से गणितज्ञों की मदद करने के लिए कंप्यूटर का उपयोग करके)।

एक क्षेत्र जहां स्वचालित प्रमेय साबित हो रहा है (एक प्रकार का) प्रभाव बना रहा है, मॉडल की जाँच और मॉडल खोज में है। मॉडल की जाँच यह निर्धारित करने से संबंधित है कि क्या दी गई प्रणाली किसी दी गई संपत्ति को संतुष्ट करती है, जबकि मॉडल खोजने से किसी संपत्तियों के संग्रह को संतुष्ट करने की प्रणाली मिल जाती है। उपकरण मिश्र धातु मॉडल की जाँच करता है और अच्छे प्रभाव के लिए मॉडल खोजता है, और यह काफी प्रयोग करने योग्य है।

Comments

मैं इन दोनों उत्तरों के बीच चयन नहीं कर सका, क्योंकि वे दोनों महान हैं। मुझे यह तय करने के लिए एक सिक्का उछाला गया कि किसे चुनना है। मुझे खेद है कि मैंने तुम्हारा चयन नहीं किया! वैसे भी बहुत धन्यवाद।

— मैक्स मुलर

तुम कुछ जीतते हो तो कुछ हारते हो।

— डेव क्लार्क

चार कलर प्रूफ का एक कम तकनीकी, अधिक गणितीय खाता और इसका महत्व हाल ही में एएमएस नोटिस जारी किया गया था (ओपी के सवाल में रुचि रखने वाले लोगों के लिए पूरे मुद्दे को पढ़ने की सलाह दी जा सकती है)।

— फ्रेंकोइस जी