एन-टर्म मोनोटोन सीएनएफ के लिए सबसे छोटा सूत्र

Question

N वैरिएबल ( ) पर m शब्दों वाला एक मोनोटोन CNF फॉर्मूला फॉर्म f ( x 1 , … , x n ) = i C i का एक सूत्र है , जहाँ प्रत्येक C i कुछ उपसमूह का एक OR है। की चर x 1 , ... , x n , और मैं से लेकर 1 को मीटर ।$x_1,\ldots,x_n$$f(x_1,\ldots,x_n) = \bigwedge C_i$$C_i$$x_1,\ldots,x_n$$i$$1$$m$

उदाहरण के लिए, एक लय CNF 4 चर पर 2 शर्तों से सूत्र है।$(x_1 \vee x_3 \vee x_4) \wedge (x_2 \vee x_4)$

मैं सबसे छोटे फार्मूले की तलाश कर रहा हूं (जरूरी नहीं कि मोनोटोन, जरूरी नहीं कि CNF, कोई भी फॉर्मूला हो!) वैरिएबल्स के एक ही सेट पर, जो एन फ़ंक्शन के साथ एन वेरिएबल्स पर दिए गए मोनोटोन CNF फॉर्मूला के समान फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है। (ध्यान दें कि शब्द और चर की संख्या समान है।)

सूत्र बनाने का एक स्पष्ट तरीका यह है कि दी गई CNF परिभाषा का विस्तार किया जाए, जो हमें आकार का सूत्र प्रदान करेगी । (चलो एक सूत्र के आकार को सूत्र की लंबाई के रूप में परिभाषित करते हैं जब इसे एक स्ट्रिंग के रूप में लिखा जाता है।) मैं जानना चाहता हूं कि क्या यह सबसे कुशल सामान्य निर्माण है या यदि प्रत्येक एन-टर्म मोनोटोन सीएनएफ के लिए एक सूत्र मौजूद है का आकार o ( n 2 ) ।$O(n^2)$$o(n^2)$

मैं सिर्फ यह जानना चाहता हूं कि क्या यह संभव है, मैं वास्तव में एक एल्गोरिथ्म में दिलचस्पी नहीं रखता हूं। यदि यह संभव नहीं है, तो एक फ़ंक्शन जो काउंटरएक्सप्ले के रूप में कार्य करता है वह बहुत अच्छा होगा। जहाँ मुझे साहित्य में उत्तर मिल सकता है, उसकी ओर भी इशारा किया जाता है।

संपादित करें: मैं एक उदाहरण जोड़ रहा हूं ताकि thins को स्पष्ट किया जा सके।

$f = (x_1 \vee x_2) \wedge (x_1 \vee x_3) \wedge \ldots \wedge (x_1 \vee x_n)$$x_1 \vee (x_2 \wedge x_3 \wedge \ldots \wedge x_n)$

Answer 1

$\Omega(n^2/\log n)$$exp(n^2)$ $n$$n$$exp(s \log s)$$s$

$\log n$$O(n^2/\log n)$

Comments

बहुत बहुत धन्यवाद! लॉग एन फैक्टर वास्तव में मेरे लिए उतना महत्वपूर्ण नहीं है, इसलिए यह मेरे सवाल का पूरी तरह से जवाब देता है।

— रॉबिन कोठारी

Answer 2

इस बात पर विचार करें कि किसी भी CNF के लिए आप प्रस्ताव के तहत क्लोजर लेकर और प्राइमरी एलिमिनेशन को लागू करके प्राइम इम्पीकेट्स के सेट की गणना कर सकते हैं (जिनमें से कोई भी न्यूनतम सब्स्क्रिप्शन होना चाहिए)।

$F$$F$$F$

बेशक, मैं मान रहा हूँ कि आप नए चर पेश नहीं करना चाहते हैं।

$n$$f$$n$

Comments

अच्छा, मुझे ये पसंद है। (निधन के मामले में, मोनोटोन DNF मामला सामने आता है, @ रॉबिन, मेरा मानना ​​है कि यह दिलचस्प हो सकता है: citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.19.471616 )

— डैनियल

मुझे यकीन नहीं कि मैं समझा हूँ। न्यूनतम आकार CNF एक मोनोटोन CNF सूत्र हो सकता है जो मेरे पास पहले से है, लेकिन मैं किसी भी प्रकार के सबसे छोटे लंबाई के फार्मूले की तलाश में हूं। इसमें CNF या मोनोटोन होना जरूरी नहीं है। मैं इस प्रश्न को स्पष्ट करने के लिए अपने प्रश्न का संपादन करूँगा।

— रोबिन कोठारी

ओह समझा। खैर, मैं क्या कह रहा था कवर अगर यह CNF होना चाहिए। यदि यह एक मनमाना प्रस्ताव सूत्र हो सकता है, तो मुझे और अधिक सोचने की आवश्यकता है।

— MGwynne