एक साधारण (?) मजेदार जुझारू समस्या!

हम $0<E<1$ और पूर्णांक $t>0$ ।

किसी भी $n$ और किसी वेक्टर ऐसा $\bar{c} \in [0,1]^n$ $\sum_{i\in [n]} c_i \geq E \times n$

$A_{\bar{c}} :=|\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E \times t \}| \geq \binom{ E \times n}{ t }$

मैं नहीं जानता कि क्या प्रतिमा सत्य है ओ झूठी है। मुझे लगता है कि यह सच है।

मेरा अंतर्ज्ञान अवलोकन से आया है कि वैक्टर $\bar{c} \in \{0,1\}^n$ (योग के बारे में संपत्ति के साथ) हमारे पास $A_{\bar{c}}= \binom{ E \times n}{t}$ ; इस स्थिति में हम सेट से केवल सबसेट का चयन कर सकते हैं $\{ i ~|~ c_i = 1 \}$ ।

दूसरों के मामले में हम अच्छा उपसमुच्चय बना सकते हैं (st योग अधिक है तो $E \times t$ ) निर्देशांक का उपयोग करके $\{ i ~|~ c_i > E \}$ लेकिन यह भी, शायद, सेट से कुछ समन्वय का उपयोग करके। $\{ i ~|~ c_i \leq E \}$ हम अन्य अच्छे सेट बना सकते हैं!

तो, इसे साबित करें या बग खोजें! उम्मीद है कि यह आप के लिए एक मजेदार खेल हो सकता है!

प्रश्न का अभिप्रेरण :

मान लें कि आपके पास एक यादृच्छिक चर है , " में कितनी यादृच्छिकता है" का एक विशिष्ट माप है -मिनट-एन्ट्रॉपी $X\in \{0,1\}^n$ $X$

$H_{\infty}(X) = min_{x} \{ -log(Pr[X = x]) \}$

कुछ सहज अर्थों में मिन-एन्ट्रॉपी प्रसिद्ध शैनन एंट्रोपी का सबसे खराब मामला है (यह औसत मामला है )।

हम रैंडम वेरिएबल के मिन-एंट्रॉपी को कम करने के इच्छुक हैं, जहां को सेट पर समान रूप से वितरित किया जाता है । $(Z=X \wedge Y| Y)$ $Y$ $\{ y ~|~ \sum_i y_i = t\}$

धीरे से बोलना अगर हम भाग्यशाली हैं तो हम के बिट्स को पकड़ सकते हैं जिसमें "अच्छा एन्ट्रॉपी" है और इसलिए हम अगर तो $X$ $H_{\infty}(X)\geq En$ $H_{\infty}(Z|Y)\geq Et$

क्या संभावना है कि हम भाग्यशाली हैं?

समस्या का अच्छी तरह से अध्ययन किया गया है और इसमें बहुत सारे साहित्य मौजूद हैं, उदाहरण के लिए लेम्मा A.3 देखें। लीकेज-रेजिलिएंट पब्लिक-की क्रिप्टोग्राफी इन बाउंडेड-रिट्रीवल मॉडल

co.combinatorics it.information-theory

— AntonioFa
स्रोत

मुझे शब्द से उलझन है । के रूप में जरूरी नहीं कि एक पूर्णांक है, इसे कैसे परिभाषित किया गया है?

(\binom{E \times n}{t})

$E\times n \choose t$

E \times n

$E\times n$

— डेव क्लार्क

प्रेरणा क्या है?

— एंथनी लबर्रे

@ क्लार्क, मानक दृष्टिकोण इसे गामा फ़ंक्शन (या उस को पूर्णांक) के रूप में परिभाषित करने के लिए हैं जैसे कि।

t

$t$

\prod_{k = 0}^{t - 1} (E n - k) / t!

$\prod_{k=0}^{t-1}(En-k) / t!$

— पीटर टेलर

द्विपद गुणांक को गैर-अभिन्न तर्कों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है (विकिपीडिया पृष्ठ काफी कुछ विवरण प्रदान करता है)। यह इस मामले में आवश्यक नहीं हो सकता है, हालांकि: ध्यान दें कि यह चरम मामले में यह साबित करने के लिए पर्याप्त है जहां का योग (यानी उनका अर्थ है) के बराबर है।

c_{i}

$c_i$

E \times n

$E\times n$

E

$E$

— क्लॉस ड्रेगर

@Dave: मैं अपने अशुद्धि के लिए माफी चाहता हूँ, देखने की मेरी बात से आप चुन सकते

।

⌊ E n ⌋

$\lfloor En \rfloor$

— एंटोनियोना

पोस्ट में अनुमान नहीं है, लेकिन टिप्पणियों में उल्लिखित कमजोर अनुमान (मंजिल के संबंध में) पकड़ है। वास्तव में, कुछ मजबूत पकड़ है।

लेम्मा 1. पद में अनुमान नहीं है। अर्थात, दी गई मान्यताओं को संतुष्ट करने वाला एक उदाहरण है जहाँ

| {S \subseteq [n] : \sum_{i \in S} c_{i} \geq E t} | < (\binom{E n}{t}) .

$\big|\textstyle\big\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E \, t \big\}\big| < \binom{ E \, n}{ t }.$

सबूत। , , , और साथ उदाहरण पर विचार करें । फिर $n=3$ $c=(1, 1, 0.7)$ $E=2.7/3=0.9$ $t=2$ । बाईं ओर के लिए, हमारे पास क्योंकि किसी भी सबसेट कि अधिक से अधिक 1.7 करने के लिए दोनों 1 की रकम शामिल नहीं है, और केवल दो उप-समूहों (हैं और ) दोनों 1 के हैं। और दाहिने हाथ की ओर $E\, t = 1.8$

| {S \subseteq [3] : \sum_{i \in S} c_{i} \geq 1.8} | = 2

$\big|\textstyle\{ S \subseteq [3] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq 1.8 \}\big| = 2$

S

$S$

{1, 1}

$\{1,1\}$

{1, 1, 0.7}

$\{1,1,0.7\}$

(\binom{2.7}{2}) = 2.7 \cdot 1.7 / 2 = 2.295 > 2. ◻

$\binom{ 2.7}{ 2 } = 2.7\cdot 1.7\,/\, 2 = 2.295>2. ~~~\Box$

टिप्पणियों में सुझाए गए कमजोर अनुमान, अर्थात् बाध्य wrt मंजिल, , धारण करता है। वास्तव में कुछ मजबूत पकड़: $\lfloor E\, n \rfloor$

लेम्मा 2. फिक्स , पूर्णांकों , और वेक्टर के साथ $0<E<1$ $n,t>0$ $c \in [0,1]^n$ । तब $\sum_{i\in [n]} c_i \geq E\, n$

| {S \subseteq [n] : \sum_{i \in S} c_{i} \geq E t} | > (\binom{⌊ E n ⌋}{t}) + (\binom{⌊ E n ⌋}{t + 1}) + \dots + (\binom{⌊ E n ⌋}{⌊ E n ⌋}) .

$\big|\textstyle\big\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E\, t \big\}\big| \,>\, \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ t } + \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ t+1 } + \cdots + \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ \lfloor E\, n\rfloor }.$

सबूत। चलो । डब्ल्यूएलओजी मान लें कि $a=\lfloor E\, n\rfloor$ । (अन्यथा पैमाने पर और प्रत्येक नीचे एक समान पहलू से यह इतना बनाने के लिए। यह कहना है $a=E\,n$ $E$ $c_i$ और न तो बदलता है जो कम से कम लिए सबसेट है $\sum_i c_i \ge E\,n$ और न ही वांछित कम इस तरह के सबसेट की संख्या पर बाध्य।) मान लें wlog कि (अन्यथा दावा तुच्छता रखती है)। $E\,t$ $t\le a$

किसी भी सबसेट पर विचार कम से कम आकार के , जहां $S\subseteq [n]$ $n-d$ $d=a-\lceil a\,t/n\rceil \ge 0$ $\sum_{i\in[n]} c_i \ge a$ $S$ $d$ $\sum_{i\in S} c_i \ge a-d = \lceil a\,t/n\rceil = \lceil E\,t\rceil \ge E\,t$

$S$

${n\choose n-d} + {n \choose n-d+1} + \cdots + {n \choose n-1} + {n \choose n}$

$= {n\choose d} + {n \choose d-1} + \cdots + {n \choose 1} + {n \choose 0}$

$> {a\choose d} + {a \choose d-1} + \cdots + {a \choose 1} + {a \choose 0}~~~$ $n>a$

$= {a\choose a-d} + {a \choose a-d+1} + \cdots + {a \choose a-1} + {a \choose a}.$

$a-d = \lceil a\,t/n\rceil \le t$ $a/n = E < 1$ $~~\Box$

— नील जवान
स्रोत