पी बनाम एनपी को तय करने में रुकावट पैदा करने वाली पी की अवांछनीय विशेषताएं हैं? (उत्तर: शायद)

Question

पांच जुड़े हुए प्रश्न पूछे जाते हैं, और एक एकीकृत उत्तर के लिए आशा की जाती है:

• Q1: क्या वहाँ मौजूद भाषाओं कि मान्यता प्राप्त हैं पूरी तरह में उन लोगों के ट्यूरिंग मशीन द्वारा  जिसका क्रम एक्स्पोनेंट्स अनिर्णनीय हैं ?$L$$P$
• Q2: क्या इन ट्यूरिंग मशीनों के उदाहरणों का निर्माण किया जा सकता है?
• क्यू 3: क्या इन ट्यूरिंग मशीनों को तुरंत चालू किया जा सकता है? ( उदाहरण के लिए , oracles कि "अनुमान" के बजाय उन्हें सूक्ष्मता से निर्माण करते हैं)।
• Q4: P के कौन से अन्य गुण (रनटाइम एक्सपोर्टर के अलावा) वर्तमान में अनिर्दिष्ट हैं? के किन गुणों के लिए यह प्रश्न खुला है?$P$
• Q5: की अनिर्णनीय गुण क्या के लिए एक बाधा पैदा की decidability ?पी ≠ एन पी$P$$P \ne NP$

ध्यान से Q1 में "पूरी तरह से" शब्द (जो लांस फोर्टवे के सुझाए गए उत्तर को छोड़कर)।

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निष्कर्ष और सामुदायिक विकी में रूपांतरण

• प्रश्न पूछा गया, "क्या P की अवांछनीय विशेषताएँ P बनाम NP को तय करने में रुकावट पैदा करती हैं?", खुला और माना जाता है कि मुश्किल है, क्योंकि कई विशिष्ट प्रश्न (जैसे Q1–4 ऊपर) हैं जो स्वाभाविक रूप से इससे जुड़े हैं।

• ज्यूरिस हार्टमैनिस '1978 मोनोग्राफ फ़िज़ेबल कंप्यूटेशंस और प्रोवेबल कॉम्प्लेक्सिटी प्रॉपर्टीज़ साहित्य में एक अच्छा प्रवेश प्रदान करती है और (जाहिर है) हार्टमैनिस के बाद से कोई समीक्षा प्रकाशित नहीं हुई है।

• सवालों का यह वर्ग पर्याप्त रूप से अस्पष्टीकृत है कि कठोर प्रमाण खोजने की चुनौती को अच्छी शुरुआत परिभाषाओं को चुनने की चुनौती के साथ गहन रूप से स्वीकार किया जाता है।

• ट्रैविस सर्विस और एलेक्स टेन ब्रिंक द्वारा प्रदान किए गए विचारशील टिप्पणी और व्यावहारिक सबूत स्केच को स्वीकार किया जाता है और सराहना की जाती है।

क्योंकि यह प्रश्न खुला है, और क्योंकि यह कई गणितीय वेबलॉग थ्रेड्स ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) पर चर्चा की जा रही है, इसलिए इस प्रश्न को सामुदायिक विकी में रूपांतरित करने के लिए ध्वजांकित किया गया है।

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अपडेट II और सारांश

मुझे यह ज्ञात हो गया है कि ज्यूरिस हरमनिस की 1978 मोनोग्राफ फिजिबल कम्प्यूटेशंस और प्रोवेबल कॉम्प्लेक्सिटी प्रॉपर्टीज़ को Q1-5 की गहन प्रतिक्रिया के रूप में पढ़ा जा सकता है । इसके अलावा, (उत्कृष्ट) Q1 और Q4 प्रूफ स्केच ट्रैविस सर्विस द्वारा और एलेक्स दस ब्रिंक द्वारा नीचे प्रदान किए गए हैं, जो हार्टमैनिस के समग्र निष्कर्षों का एक आधुनिक पुष्टि और विस्तार प्रदान करते हैं:

गणनाओं की जटिलता के बारे में परिणाम काफी मौलिक रूप से बदलते हैं यदि हम केवल गणनाओं के गुणों पर विचार करते हैं जो औपचारिक रूप से सिद्ध हो सकते हैं (हार्टमैनिस द्वारा जोर) ...

इस प्रकार हमें यह उम्मीद करनी चाहिए कि दिए गए प्रोग्राम के समान फ़ंक्शन की गणना करने वाले सभी कार्यक्रमों की इष्टतमता के परिणाम सभी कार्यक्रमों के बारे में इष्टतम परिणामों से भिन्न होंगे जो औपचारिक रूप से दिए गए प्रोग्राम के बराबर साबित हो सकते हैं। ...

हमें इस संभावना पर विचार करना चाहिए कि यह प्रसिद्ध समस्या [ ] एक औपचारिक गणितीय सिद्धांत, जैसे कि निर्धारित सिद्धांत में हल नहीं हो सकती है।$P\overset{?}{=}NP$

आखिरकार मैं उम्मीद करता हूं कि एक औपचारिक TCS StackExchange "उत्तर" के रूप में, हर्टमैनिस के और उद्धरण (उल्लेखनीय रूप से दूरदर्शी) मोनोग्राफ से।

यह हार्टमैनिस के मोनोग्राफ और ट्रैविस और एलेक्स द्वारा प्रदान किए गए उत्तरों से स्पष्ट है, कि Q1-5 जटिलता सिद्धांत में वर्तमान अत्याधुनिक से परे हैं। इसके अलावा ये प्रश्न / उत्तर स्पष्ट रूप से सूक्ष्म रूप से सूक्ष्म हैं क्योंकि इनमें सावधानीपूर्वक समायोजन की आवश्यकता होती है और मोनोग्राफ-लंबाई के विस्तार को उचित ठहराया जाता है ... जो मुझे आशा है कि आगे के उत्तर पोस्ट करने से लोगों को हतोत्साहित नहीं करेगा। :)

आगे की तकनीकी चर्चा के लिए, जोएल डेविड हैम्किंस का जवाब MathOverflow पर देखें। क्या कोई समस्या एक साथ बहुपद समय और अविवेकी हो सकती है? (एलेक्स दस ब्रिंक द्वारा अनुशंसित)।

अगर हार्टमैनिस के मोनोग्राफ में "कार्यों की गणना" के लिए एक विकल्प "वाक्यांश" गतिकी का अनुकरण "है, तो परिणाम को सिस्टम इंजीनियरिंग की जटिलता-सिद्धांत संबंधी सीमाओं पर एक ग्रंथ के रूप में पढ़ा जा सकता है ... यही व्यावहारिक कारण है कि हम इनकी देखभाल क्यों करते हैं मुद्दे।

हार्टमैनिस की एक विपरीत राय हाल ही में ओकेड गोदरिख द्वारा CACM के संपादक को लिखे पत्र में "कम्प्यूटेशनल कॉम्प्लेक्सिटी" शीर्षक से दी गई थी :

दुर्भाग्य से, हमारे पास वर्तमान में कुशल गणना के संबंध में अधिकांश प्राकृतिक प्रश्नों के लिए अच्छे सैद्धांतिक उत्तरों की कमी है। यह मामला ऐसा नहीं है क्योंकि हम गलत प्रश्न पूछते हैं, बल्कि इसलिए क्योंकि ये प्रश्न बहुत कठिन हैं।

यह (निश्चित रूप से) पूरी तरह से बोधगम्य है कि हार्टमैनिस और गोदरेज दोनों की राय सही साबित होगी, उदाहरण के लिए, PvsNP की पृथक्करण की अवांछनीयता का एक औपचारिक प्रमाण दोनों बिंदुओं को देखने के लिए वैध रूप से माना जा सकता है।

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अपडेट I

ट्रैविस सर्विस और एलेक्स टेन ब्रिंक द्वारा सुविचारित टिप्पणियाँ (नीचे) बताती हैं कि Q1 में वाक्यांश "असंदिग्ध" "पर्यायवाची रूप से निर्णायक नहीं" का पर्याय है और Q2-5 के उत्तर इस भेद पर निर्भर हो सकते हैं। यह बिल्कुल स्पष्ट नहीं है (मेरे लिए) जो निश्चित विकल्प सबसे मजबूत प्रमेयों की ओर ले जाएगा, और साथ ही, इस प्रश्न को संबोधित करने वाले वर्ग पी। उत्तर और टिप्पणियों के हमारे अंतर्ज्ञान को सर्वश्रेष्ठ रूप से पकड़ेंगे।

फेलिक्स क्लेन की एक टिप्पणी में उनके गणित में एक उन्नत दृष्टिकोण से: ज्यामिति (1939) ध्यान में आती है:

एक अवधारणा का एक और उदाहरण जो अंतरिक्ष की भोली धारणा में अधिक या कम परिशुद्धता के साथ होता है, जिसे हमें हमारी ज्यामिति की प्रणाली के पूरक के रूप में जोड़ना चाहिए, एक (मनमाना) वक्र की धारणा है । प्रत्येक व्यक्ति का मानना ​​है कि वह जानता है कि जब तक वह इतना गणित नहीं सीख लेता है कि अनगिनत संभावित असामान्यताएं उन्हें भ्रमित करती हैं।

जैसा कि घटता है, इसलिए में ट्यूरिंग मशीनों द्वारा स्वीकार की जाने वाली भाषाओं के साथ  ... क्या एक बार (मुझे लगता है) सभी जटिलता वर्गों में से सबसे सरल और सबसे स्वाभाविक की तरह अब मुझे (अनगिनत?) अपने सदस्यों के अविवेकी और / या अनिर्दिष्ट विशेषताओं द्वारा भ्रमित करता है? । Q1-5 पूछने में व्यापक प्रेरणा इस भ्रामक थरथाने के माध्यम से एक रास्ता खोजना था, लेकिन अब तक दिए गए जवाब (ट्रैविस सर्विस और एलेक्स दस ब्रिंक द्वारा) ने भ्रम के लिए और अधिक आधार प्रदान किया है!$P$

गणितज्ञों की क्लेन की पीढ़ी ने वक्रता और सेट सिद्धांत, ज्यामिति और विश्लेषण के अन्य मूलभूत तत्वों के लिए अच्छी परिभाषाएं खोजने के लिए दृढ़ता से श्रम किया। प्राथमिक स्तर का अवलोकन अलेक्जेंडर हॉर्नड क्षेत्र के विकिपीडिया चर्चा में पाया जा सकता है

      
      R3 में एक गोले का एम्बेडिंग

20 वीं शताब्दी के दौरान, अलेक्जेंडर क्षेत्र की तरह "जंगली मैनिफोल्ड्स" के विश्लेषण ने टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स, पीसवाइज़-निरंतर मैनिफ़ेस्ट्स और डिफरेंशियल मैनिफ़ॉल्ड्स के बीच के अंतरों को स्पष्ट करने में मदद की। इसी तरह 21 वीं सदी में, शायद से जुड़ी परिभाषाओं के शोधन से की जंगली भाषाओं और जंगली ट्यूरिंग मशीनों को मदद मिलेगी ... हालांकि उपयुक्त शोधन को निर्दिष्ट करना कोई आसान काम नहीं होगा।$P$$P$

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पृष्ठभूमि

ये लिंक किए गए सवाल MathOverflow सामुदायिक विकी सवालों से उठते हैं " गणित में सबसे आकर्षक ट्यूरिंग असंदिग्ध समस्याएँ क्या हैं? " और " क्या धारणाएं उपयोग की जाती हैं लेकिन आधुनिक गणित में स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं हैं? " विशेष रूप से, कॉलिन टैन ने अनुरोध किया कि प्रश्न ऊपर कहा जाए? एक अलग प्रश्न के रूप में पोस्ट किया गया।

तकनीकी पृष्ठभूमि के लिए, TCS StackExchange प्रश्न " क्या पी समय में सीमा हैं? ", विशेष रूप से इमानुएल वायोला के संक्षिप्त प्रमाण में कि उत्तर "नहीं" है। यह भी ध्यान दें कि इसी तरह के परिणाम ज्यूरिस हार्टमैनिस ने अपने मोनोग्राफ व्यवहार्य संगणना और सिद्ध जटिलता गुण (1978) में साबित किए हैं ।

इस सप्ताह के लांस फॉर्टनो / विधेयक GASARCH वेबलॉग कम्प्यूटेशनल जटिलता उनके दशकीय चुनाव होस्ट कर रहा है " क्या या नहीं?$P=NP$ " - पांचवें और अंतिम सवाल Fortnow / GASARCH सवाल पर आमंत्रित करता कमेंटरी के लिए कहा।

Comments

जैसा कि @ एलेक्स दस ब्रिंक बताते हैं, Q1 में आप जिन ट्यूरिंग मशीनों की बात करते हैं, वे अच्छी तरह से परिभाषित नहीं हैं। मैं तुम्हारे बारे में सोचने की जरूरत लगता है की और 'के रूप में वियोला के सबूत के विपरीत आपके सवाल में है। $\forall$$\exists$

— साशो निकोलेव

@ शशो, धन्यवाद ... एलेक्स के अंक (और ट्रैविस सर्विस के अंक) का एक पावती और सारांश भी पूछे गए सवाल में जोड़ा गया है।

— जॉन सिडल्स ने

ध्यान दें कि Emanuele Viola का प्रमाण समस्याओं की एक बहुत व्यापक श्रेणी पर लागू होता है: एक सामान्यीकृत संस्करण किसी भी समय-रचनात्मक कार्यों के लिए साबित होता है साथ और कि यह एक TM के लिए असंभव है, जिसके लिए यह वादा किया जाता है कि यह समय में और यह भी कि , यह तय करने के लिए कि और । मैं वास्तव में बनाम का लिंक यहाँ नहीं देखता । च ( एन ) = ω ( एन लॉग इन करें n ) जी ( एन ) = ω ( च ( एन ) ) टी ( एन ) टी ( एन ) = हे ( च ( एन ) ) टी ( एन ) = ω ( च ( n ) ) t ( n ) = O $f, g$$f(n) = \omega(n \log n)$$g(n) = \omega(f(n))$$t(n)$$t(n)=O(f(n))$$t(n) = \omega(f(n))$पी एन $t(n)=O(g(n))$$P$$NP$

— एलेक्स टेन ब्रिंक

मेरे लिए, पी बनाम एनपी की लिंक ज्यामिति के अनुरूप है। सातत्य की धारणा को औपचारिक रूप देने वाली परिभाषाएँ काहलर मैनिफोल्ड्स से लेकर रिमैनन मैनिफोल्ड्स से लेकर कई गुना टॉपोलॉजिकल स्ट्रेंफोल्ड टू पॉइंट सेट्स (आगे के कई भेदों) के साथ व्यापक रूप से स्तरीकृत हैं, और इन भेदों को औपचारिक रूप देना गणित में प्रगति के लिए आवश्यक था। इसी तरह, पी में ट्यूरिंग मशीनों का सेट, और इन मशीनों को स्वीकार करने वाली भाषाओं का सेट, प्रतीत होता है कि "जंगली" एल्गोरिदम शामिल हैं जिनकी जटिलता सिद्धांत में भूमिका (शायद?) मोटे तौर पर ज्यामिति और टोपोलॉजी में "विदेशी" बिंदु सेट के अनुरूप है।

— बजे जॉन सिडल्स

@ जॉन, मैंने आपके (विभिन्न पहले .. शायद बहुत पहले) ब्लॉग टिप्पणियों में इन विचारों के संकेत देखे हैं, और मुझे यह देखकर बहुत खुशी हुई है कि आपने इसके साथ कितनी दूर तक प्रगति की है। ठंडा!

— डैनियल अपॉन

Answer 1

प्रश्न 1 के लिए उत्तर नहीं है। चलो में एक भाषा और जाने किसी भी बहुपद समय ट्यूरिंग मशीन पहचानने हो (जिसका क्रम माना जाता है अनिर्णनीय होने के लिए)। प्रत्येक को ट्यूरिंग मशीन होने दें जो कि चरणों के लिए लंबाई पहले छोरों के इनपुट पर हो, फिर लिए को चरणों पर चलाता है और स्वीकार करता है यदि स्वीकार करता है (भीतर वे चरण) और अन्यथा अस्वीकार करते हैं। का रनटाइम हैपी एम एल कश्मीर ∈ एन एम कश्मीर एक्स एन एन k एम x n k + कश्मीर एम एक्स एन कश्मीर + k एम कश्मीर Θ ( n कश्मीर ) $L$$P$$M$$L$$k \in \mathbb{N}$$M_k$$x$$n$$n^k$$M$$x$$n^k + k$$M$$x$$n^k + k$$M_k$$\Theta(n^k)$ प्रत्येक के लिए ।$k$

चूंकि बहुपद के समय में चलता है, इसलिए कुछ जैसे कि , में चलता है (भले ही हमें पता न हो कि क्या है) और इसलिए सभी काफी बड़ा पहचानता है और एक निर्णायक रनटाइम है।कश्मीर ' ∈ एन एम ओ ( n कश्मीर ' ) कश्मीर ' कश्मीर एम कश्मीर$M$$k' \in \mathbb{N}$$M$$O(n^{k'})$$k'$$k$$M_k$$L$

संपादित करें

मुझे लगता है कि मूल उत्तर ने प्रश्न 1 के साथ क्या किया था, की भावना में निम्नलिखित उत्तर अधिक है।

प्रमेय: वहाँ एक भाषा मौजूद है जैसे कि यदि कोई ट्यूरिंग मशीन है जो तय करती है तो निम्न में से कम से कम एक सत्य है:एन $L \in P$$N$$L$

1) एक सबूत मौजूद नहीं है कि स्वीकार करता है , या$N$$L$

2) ऐसा कोई प्रमाण मौजूद नहीं है कि रु स्टेप्स (किसी फंक्शन ) के लिए है।एफ ( एन ) एफ ( एन $N$$f(n)$$f(n)$

सबूत स्केच: Let होना एक ट्यूरिंग मशीन है कि खाली टेप पर रोक नहीं है और जिसके लिए वहाँ का सबूत है कि अस्तित्व में नहीं है इस तरह के एक Hartmanis और Hopcroft शो से कंप्यूटर विज्ञान में स्वतंत्रता परिणाम खाली टेप पर रोक नहीं करता है ( कर सकते हैं प्रभावी ढंग से पाया जाता है)।एम $M$$M$$M$

बता दें कि ।$L = \{ n : \exists n' \geq n \mbox{ s.t. } M \mbox{ halts in } n' \mbox{ steps when run blank tape}\}$

चूंकि रुकता नहीं है, वास्तव में खाली भाषा है लेकिन इसका कोई प्रमाण नहीं है (जैसा कि यह साबित होगा कि रुका नहीं है)।एल $M$$L$$M$

बता दें कि कोई भी ट्यूरिंग मशीन है। यदि कोई प्रमाण मौजूद है कि निर्धारित करता है और एक प्रमाण जो , चरणों में चलता है तो इनपुट पर चलने पर का निष्पादन या तो एक प्रमाण प्रदान करता है कि हाल्ट (अर्थात, यदि स्वीकार करता है) या वह करता है रुका नहीं (यानी, यदि खारिज करता है)। इस प्रकार, यदि provably का फैसला करता है तो के क्रम नहीं डिसाइडेबल और इसके विपरीत है।$N$एल $N$$L$$N$एन 1 एम एन एम एन एन एल $f(n)$$N$$1$$M$$N$$M$$N$$N$$L$$N$

Comments

ट्रैविस ने रीफ़्रेश किए गए प्रश्न का उत्तर दिया है, लेकिन यह एक अजीब स्थिति है जहां एक साबित करने योग्य प्रतिपादक है लेकिन केवल उन मशीनों के लिए जो आप साबित नहीं कर सकते हैं समस्या हल करती है।

— लांस फोर्टेन

यह Q1 के लिए एक अच्छा उत्तर है ... और मैं लांस से पूरी तरह सहमत हूं कि यह एल्गोरिथ्म कक्षा पी का एक बहुत ही अजीब सदस्य है। प्रश्न की प्रेरणा का एक हिस्सा अंतर्ज्ञान (परिभाषाओं के माध्यम से जो प्रमेय-साबित करने के लिए अच्छा है) पर कब्जा करना था ) कि पी में एल्गोरिदम कि हम "के बारे में परवाह" (कुछ अर्थों में) एल्गोरिदम हैं जिनके प्रदर्शन को हम (कुछ अर्थ में) "सत्यापित" कर सकते हैं ... यह उदाहरण उस उद्देश्य को पूरी तरह से हरा देता है! अच्छा उत्तर! :)

— जॉन सिडल्स

फेलिक्स क्लेन की टिप्पणी को ध्यान में रखते हुए यह ठीक टिप्पणी (जिसे मैं अभी भी सोच रहा हूं) को कहा जाता है "एक अवधारणा जो अंतरिक्ष की भोली धारणा में अधिक या कम सटीकता के साथ होती है, जिसे हमें हमारी ज्यामिति की प्रणाली के पूरक के रूप में जोड़ना होगा, यह धारणा है एक (मनमाना) वक्र । प्रत्येक व्यक्ति का मानना ​​है कि वह जानता है कि एक वक्र क्या है जब तक उसने इतना गणित नहीं सीखा है कि अनगिनत संभावित असामान्यताएं उन्हें भ्रमित करती हैं। " मुद्दा यह है कि पी बनाम एनपी पर प्रगति करने के लिए, संभवतः "अनगिनत संभावित असामान्यताएं" को बाहर करने के लिए पी की परिभाषा को परिष्कृत करना एक महत्वपूर्ण कदम है।

— जॉन सिडल्स

आपका जवाब बहुत दिलचस्प है। हालांकि, विधेय 1 को अधिक सटीक रूप से वर्णित किया जा सकता है क्योंकि 'एक प्रमाण मौजूद नहीं है कि नीचे परिभाषा से शुरू होने वाले स्वीकार करता है ।', क्योंकि मैं आसानी से टीएम तय करने वाली (जो कि खाली भाषा है) का निर्माण कर सकता हूं , और इसे हमेशा साबित कर सकता हूं। खाली भाषा को हल करता है और तय करता है। मैंने फिर से कुछ अच्छा सीखा, और मैं आपके द्वारा बताए गए उस संदर्भ पर जाँच करने जा रहा हूँ: Dएल $N$$L$$L$

— एलेक्स दस ब्रिंक

ट्रैविस के पहले से ही अच्छे जवाब के बारे में सोचने के लिए और भी अधिक प्रदान करता है । चूंकि यह प्रक्रिया थोड़ी देर (मेरे लिए) होगी, मैं ट्रैविस (सेवा) और एलेक्स (दस ब्रिंक) दोनों के लिए अपनी प्रशंसा और धन्यवाद (और बाद में तकनीकी टिप्पणी) व्यक्त करना चाहूंगा। हालांकि वे छात्र हैं, उनकी टिप्पणी (IMHO) परिपक्व और दिलचस्प रही है। यह अच्छी तरह से ज्ञात है कि एलन ट्यूरिंग ने अपने 21 वें और 23 वें वर्ष के बीच अपने " ऑन कंप्यूटेबल नंबर्स, एक एप्लीकेशन के साथ एन्सेचिडुंगस्प्रोल्म " की कल्पना की ; इस प्रकार छात्रों ने सफलता के साथ इसी तरह की समस्याओं पर हमला किया है ... हम एलेक्स और ट्रैविस के लिए भी यही उम्मीद कर सकते हैं।

— जॉन सिडल्स

Answer 2

हाँ, आप एक ऐसी मशीन बना सकते हैं जिसमें DTIME ( ) -DTIME ( ) समय लगता है जहाँ एक विशिष्ट ट्यूरिंग मशीन द्वारा खाली टेप पर रुकने के लिए उठाए गए कदमों की संख्या है। निर्माण के लिए आसान और इसी तरह के निर्माण पी के किसी भी गैर-तुच्छ पहलू के बारे में बताते हैं कि पी वी एनपी या नहीं: इसके बारे में बहुत कम बताता है: समान मुद्दों के बावजूद पी EXP साबित करने में कोई समस्या नहीं है । n मैं मैं $n^{i+1}$$n^i$$i$$\neq$

Comments

हां ... वह चाल एमन्यूले वायोलाज और ज्यूरिस हर्मनिस के पी के रनटाइम अनडिसीडेबिलिटी (उदाहरण के लिए) का प्रमाण है। दूसरी ओर, यह तुच्छता मामले कि ट्यूरिंग मशीन है कि इस चाल से निर्माण कर रहे हैं सभी को पहचान भाषाओं एल कि कर रहे हैं भी पी जिसका runtimes में ट्यूरिंग मशीन द्वारा मान्यता प्राप्त हैं डिसाइडेबल। यही कारण है कि Q1 को ट्यूरिंग मशीनों के बजाय भाषाओं के बारे में एक प्रश्न के रूप में (सावधानी से!) कहा जाता है ... हर्टमैनिस / वायोला निर्माण को बाहर करने के लिए ठीक है ... बिना बाधा के (आपकी टिप्पणी के अनुसार) मौजूदा प्रमाण जो कि P \ ne हैं। ऍक्स्प।

— जॉन सिडल्स

... और सिर्फ उल्लेख करने के लिए, उन भाषा L जिन्हें पूरी तरह से ट्यूरिंग मशीनों द्वारा मान्यता प्राप्त है, जिनके रनटाइम एक्सपोज़र अपरिहार्य थे, एक जटिलता-सिद्धांत (और क्रिप्टोग्राफ़िक) बिंदु-से-देखने के लिए दिलचस्प भाषाएं हैं ... वे एक गोडेल में मौजूद हैं। एल्गोरिथ्म कंप्रेसिबल (लेकिन निश्चित रूप से ऐसा नहीं है परिभाषा के बीच) और "असंगत" (और अभी तक उस वर्ग में नहीं परिभाषा द्वारा) के बीच "ग्रे क्षेत्र"।

— जॉन सिडल्स

Answer 3

विषय पर अधिक सोचने के बाद, मुझे लगता है कि मुझे आपके Q4 के लिए (संभव) उत्तर मिल गया ।

• Q4: कौन से अन्य गुण (रनटाइम एक्सपोर्टर के अलावा) वर्तमान में अनिर्दिष्ट हैं? के किन गुणों के लिए यह प्रश्न खुला है?$P$$P$

मैंने राइस के प्रमेय पर एक भिन्नता सिद्ध की जो आपके गुणों के लिए आपके प्रश्न का उत्तर देती है। मैं इस बार अपने आप को स्पष्ट करने की कोशिश करूँगा (ट्रैविस सेवा का उत्तर मेरे पिछले उत्तर की तुलना में अधिक स्पष्ट और सामान्य था)।

प्रमेय: डिसाइडेबल अनंत भाषाओं में से कुछ अरिक्त समुच्च्य पर किसी भी संपत्ति के आयोजन के लिए (लेकिन कोई निश्चित भाषाओं पर), यह अनिर्णनीय हैं कि कोई ट्यूरिंग मशीन है है कि संपत्ति वाली भाषा का निर्णय लेता है जब वादा किया था कि ई हमेशा में हाल्ट हे ( च ( n ) ) समय है, जहां च ( एन ) = Ω ( एन लॉग इन करें n ) और च ( एन ) = Ω ( जी ( एन ) ) है, जहां ग्राम ( $E$$E$$O(f(n))$$f(n)=\Omega(n \log n)$$f(n)=\Omega(g(n))$ कुछ ट्यूरिंग मशीन के लिए उस संपत्ति के साथ कुछ भाषा तय करने का समय चल रहा है।$g(n)$

याद रखें कि ट्यूरिंग मशीन (अभी से टीएम) एक भाषा का फैसला करती है अगर वह भाषा के सभी तार को स्वीकार कर लेती है और भाषा के बाहर के सभी तार को खारिज कर देती है। ध्यान दें कि हम बहुपद के अलावा कुछ और होने के लिए ले सकते हैं , इसलिए प्रमेय सिर्फ P से अधिक सामान्य है ।$f(n)$$P$

हम एक 'संपत्ति' की धारणा को औपचारिक रूप से उस संपत्ति के साथ भाषाओं ' ' के कुछ स्वतंत्र रूप से चयन योग्य सेट के रूप में देखते हैं । यह तय करना कि किसी भाषा के पास संपत्ति है या नहीं, यह तय करने के बराबर है कि भाषा सदस्य है या नहीं । राइस के प्रमेय की तरह, हम जांच करते हैं कि क्या हम यह तय कर सकते हैं कि इनपुट टीएम द्वारा तय की गई भाषा में निर्दिष्ट संपत्ति है, और इसलिए । ध्यान दें कि हमें आवश्यकता है , अर्थात, में केवल पर्णपाती भाषाएँ हैं।एस एस एस ⊆ आर $S$$S$$S$$S \subseteq R$$S$

कृपया ध्यान दें कि हम टीएम की नहीं, भाषाओं के गुणों के बारे में बात कर रहे हैं । रनटाइम घातांक के बारे में आपका प्रश्न इस प्रमेय का विशेष मामला नहीं है। की, कहते हैं, गुण , लेने के द्वारा studyable , आप बहुपद समय में चल रहा टीएमएस के गुणों की तुलना में अधिक रुचि हो सकती है। आप टीएम के सभी प्रकार के क्रूर सामान कर सकते हैं, जबकि इसकी शुद्धता और समय को बनाए रखते हुए, लेकिन आप भाषाओं के लिए ऐसा नहीं कर सकते।$P$$S \subseteq P$

में सभी भाषाओं को अनंत होने की आवश्यकता प्रमाण के लिए आवश्यक तकनीकी है, लेकिन चूँकि सभी परिमित भाषाएं निरंतर समय में निर्णायक होती हैं और इसलिए आमतौर पर वे निर्बाध होती हैं, मुझे नहीं लगता कि यह एक प्रमुख है। मैं सामान्यीकृत संस्करण की अपेक्षा करता हूं जो परिमित भाषाओं को भी सही होने की अनुमति देता है।$S$

प्रमेय का प्रमाण । मान लें कि हमें टीएम साथ कुछ टीएम को पैरामीटर के रूप में दिया जाता है, जैसे कि हमेशा रुकता है और स्वीकार करता है यदि कुछ भाषा में तय करती है , और जहां को हमेशा ऊपर के रूप में चलने के साथ रोकने का वादा किया जाता है। लेट हाल्टिंग प्रॉब्लम के लिए एक उदाहरण है, , एक टीएम है और लिए इनपुट है , और हम अब यह तय करना चाहते हैं कि क्या पर ।$P(E)$$E$$P$$E$$S$$E$$(A, i)$$A$$i$$A$$A$$i$

चूँकि हमने माना था कि गैर-रिक्त था, इसलिए हमारे पास कुछ । के बाद से केवल डिसाइडेबल भाषाएँ शामिल हैं, वहाँ कुछ टीएम मौजूद निर्णय लेने से । विशेष रूप से, हम को प्रमेय मानकर चल रहे समय साथ चुनते हैं । अब हम निम्नलिखित टीएम पर विचार करते हैं:$S$$s \in S$$S$$C$$s$$C$$g(n)$

function H(x)
h := simulate A on i for |X| steps and return whether it halted
if h == 'halted' then
    reject
else
    if C(x) accepts then
        accept
    else
        reject
    fi
fi

यह आसानी से देखा जाता है कि इस TM का रनिंग समय प्रमेय की आवश्यकताओं को पूरा करता है, क्योंकि TM को समय में सिम्युलेट किया जा सकता है ।$O(n \log n)$

हम दावा करते हैं कि रिटर्न नहीं iff पर हाल्ट । स्टेप्स के बाद पर पड़ाव मान लें । इसलिए किसी भी को साथ खारिज कर देता है । इसलिए हम अधिकांश परिमित भाषा में निर्णय लेते हैं, और इसलिए , और में कोई भाषा तय नहीं करता है इसलिए इसलिए नहीं लौटेगा ।$P(H)$$A$$i$$A$$i$$t$$H$$X$$|X| \geq t$$H$$S$$P(H)$

अब मान लें कि पर रुका नहीं है । तब वैरिएबल हाल्ट को 'रुका हुआ' मान कभी नहीं मिलेगा, इसलिए हम उसी भाषा को रूप में तय करते हैं , जो कि , इसलिए सही लौटेगा। यह साबित करता है कि हाल्टिंग समस्या को हल कर सकता है, जो बदले में प्रमेय साबित करता है।मैं सी रों ∈ एस पी ( एच ) पी ( एच $A$$i$$C$$s \in S$$P(H)$$P(H)$

Comments

यह एक बहुत ही शक्तिशाली और लचीला तर्क है, और मुझे इसे समझने में थोड़ी देर लगेगी ... मध्य अमरीका में किसानों के बीच एक कहावत है "मुझे लगता है कि सुअर को कलाई घड़ी दिखाई जा रही है!" ऐसा प्रतीत होता है (आपके तर्क से) कि पी काफी हद तक अनिर्दिष्ट विशेषताओं से संपन्न है; मुझे यह समझने में परेशानी हो रही है कि क्या L द्वारा पहचानी जाने वाली भाषाएं समान रूप से अशिष्ट विशेषताओं से संपन्न हैं ... प्राकृतिक अशिष्ट विशेषताओं वाली ठोस उदाहरण भाषाओं के निर्माण की कवायद विशेष रूप से निराशाजनक (मेरे लिए) है। एक उत्कृष्ट, विचारशील उत्तर के लिए धन्यवाद।

— जॉन सिडल्स ने

मुझे लगता है कि आप मानते हैं कि बहुपद के समय में टीएम का सेट है। यह परिभाषा नहीं है: कुछ बहुपद समय में चल रहे टीएम द्वारा निर्णायक भाषाओं का सेट है । $P$$P$

— एलेक्स टेन ब्रिंक

एलेक्स, मैं निश्चित रूप से भ्रमित होने के लिए स्वीकार करता हूं ... लेकिन इसके बारे में नहीं! मैं क्या निर्माण करना चाहूंगा, या (कम वांछनीय रूप से) अस्तित्व को साबित करता हूं / कोई नहीं, उदाहरण के लिए, पी में एक भाषा L होगी, जिसमें संपत्ति की प्रत्येक Turing मशीन जो L स्वीकार करती है, वह या तो P में मौखिक रूप से नहीं है या सत्यता नहीं है। L को स्वीकार करें। ये भाषाएँ L, P से "अलौकिक रूप से" हैं ... संभावना है कि P में विशुद्ध रूप से अलंकृत भाषाएं शामिल हैं, मेरे लिए भ्रामक है ... विशेषकर चूंकि यह बिल्कुल स्पष्ट नहीं है (मेरे लिए) ऐसी विशुद्ध रूप से अलौकिक भाषाएं कभी भी कैसे हो सकती हैं समवर्ती होना और प्रदर्शित होना।

— जॉन सिडल्स

ओह, हाँ ... और एनपी में दी गई भाषा L के लिए एंफ़्रेस (भी भ्रमित करने वाला) सवाल ... पूछना कि संभवतः ऑर्गेनिक ट्यूरिंग मशीनों द्वारा ही स्वीकार किया जाता है ... किस प्रूफ विधि से हम संभवतः यह स्थापित कर सकते हैं कि L को पहचाना नहीं गया है। पी के किसी भी द्वारा दैवीय ट्यूरिंग मशीन ... और एनपी से इस प्रकार अलग पी? या मान लें कि हमने एन में एक भाषा L के अस्तित्व को साबित कर दिया कि P में किसी भी ट्यूरिंग मशीन द्वारा मान्यता प्राप्त नहीं है ... इस प्रतिबंध के साथ कि L विशुद्ध रूप से अलौकिक था ... और हम उस भाषा का प्रदर्शन नहीं कर सकते थे ... क्या हमें संतुष्ट होना चाहिए वह P! = NP ये सवाल भ्रामक हैं!

— जॉन सिडल्स

Answer 4

मैं नकारात्मक में आपके Q1 का जवाब दे सकता हूं , जिससे नकारात्मक में भी Q2 और Q3 का उत्तर दिया जा सकता है । मैं क्यू 4 या क्यू 5 के बारे में निश्चित नहीं हूँ ।

• Q1: क्या वहाँ मौजूद भाषाओं कि मान्यता प्राप्त हैं पूरी तरह में उन लोगों के ट्यूरिंग मशीन द्वारा जिसका क्रम एक्स्पोनेंट्स अनिर्णनीय हैं ?$L$$P$

ऐसा लगता है कि आप गलत समझ गए हैं कि Emanuele Viola ने अपने शानदार सबूत को आप से जोड़ा था। उन्होंने दिखाया है कि वहाँ कोई एकल ट्यूरिंग मशीन की गणना के लिए क्रम प्रतिपादक करने में सक्षम किसी भी ट्यूरिंग मशीन के समक्ष प्रस्तुत भी वादा है कि के तहत, बहुपद समय में चलाता है।टी एम $M$$T$$M$$T$

हालाँकि, किसी भी ट्यूरिंग मशीन को बहुपद समय में चलाने के लिए, कुछ मौजूद है जैसे में का समय चल रहा है , और इसलिए Turing Machine वापस (और कुछ नहीं) को 'बताने में सक्षम है' 'चलाने का समय प्रतिपादक , यहां तक कि को देखने के लिए बिना ! इसलिए, एम (निरंतर समय में भी) का फैसला करता है क्या है इस दी ट्यूरिंग मशीन के लिए । हम नहीं जानते कि कौन सी ट्यूरिंग मशीन इसे तय करती है, लेकिन हम जानते हैं कि एक मौजूद है।के टी ओ ( एन के ) एम के टी टी के $T$$k$$T$$O(n^k)$$M$$k$$T$$T$$k$ $T$

अपने प्रश्न का वापस आ रहा है अगर हम एक भाषा दिए गए हैं में , तो वहाँ कुछ ट्यूरिंग मशीन है में चल कुछ के लिए कि फैसला करता है , और इसलिए वहाँ ट्यूरिंग मशीन है लौटने कि निर्णय लेता है लिए रनटाइम घातांक । यह आपके प्रश्न का उत्तर नकारात्मक में देता है।P T O ( n k ) k L M k $L$$P$$T$$O(n^k)$$k$$L$$M$$k$$T$

इसके बजाय आप किसी दिए गए भाषा में लिए एक अलग समस्या के बारे में सोच सकते हैं : Turing Machine को बहुपद में चलाने का वादा किया गया और को तय करने का वादा किया गया , क्या का रनटाइम घातांक खोजना निर्णायक है ?पी टी एल $L$$P$$T$$L$$T$

दुर्भाग्य से, यह भी अवांछनीय है। मान लीजिए कि हमें में एक भाषा और एक TM (ट्यूरिंग मशीन) दी गई है, जो कि दिए गए TM लिए निर्णय लेने में सक्षम है , जो कि बहुपद के समय में चलने का वादा करता है और को यह तय करने का वादा करता है , कि का रनटाइम घातांक क्या है। हम यह साबित कर सकते हैं कि Emanuele Viola ने जो कुछ किया है, उसी तरह से यह अयोग्य है: हम सटीक TM का उपयोग करते हैं, जिसे वह परिभाषित करता है, और इसे थोड़ा बदलता है: अब हम चाहते हैं कि यह TM तय करें ।पी एम टी एल एल टी $L$$P$$M$$T$$L$$T$$L$

चूंकि ,$L$$P$$L$$O(n^k)$$M$$n$$n^{k+1}$$n^{k+2}$$L$

$M$$P$$L$$L$$k$$M$

अनिश्चयता के बारे में इस तरह की सोच स्पष्ट रूप से आम है, मुझे याद है एक (ब्लॉग?) एक बहुत ही इसी तरह के मुद्दे के बारे में पोस्ट करता है: सवाल यह था कि "क्या यह निर्णायक है कि क्या पाई में 'अंतिम शून्य' है", इसलिए क्या पीआई अपने में शून्य होना बंद कर देता है दशमलव प्रतिनिधित्व यदि आप उस प्रतिनिधित्व से काफी नीचे चले जाते हैं। वर्तमान में हम नहीं जानते कि क्या यह मामला है। हम इसे साबित करने में भी सक्षम नहीं हो सकते हैं, कभी भी, या यह हमारे स्वयंसिद्ध प्रणालियों से भी स्वतंत्र हो सकता है (और इस तरह अप्राप्य)। लेकिन, चूंकि उत्तर या तो सच है या गलत है, एक टीएम रिटर्निंग ट्रू है और एक टीएम रिटर्निंग है या तो मामले को तय करता है और इसलिए समस्या विकट है।

मैं देखूंगा कि क्या मुझे वह पोस्ट कहीं इंटरनेट पर मिल सकती है।

संपादित करें:

मैंने इसे Mathoverflow पर पाया ।

Comments

आपकी टिप्पणी और ट्रैविस सेवा का खाता दोनों ही बेहतरीन हैं। ऐसा लगता है कि में Q1 वाक्यांश "अनिर्णनीय" है नहीं के साथ "पुष्टि डिसाइडेबल नहीं" का पर्याय बन गया ... और यह (मेरे लिए) सभी स्पष्ट नहीं है जो परिभाषा (क) सबसे अच्छा प्रमेयों और (ख) सबसे अच्छा कैप्चर हमारे लिए सुराग इस प्रश्न पर कक्षा पी। रिमार्क्स का अंतर्ज्ञान स्वागत योग्य है।

— जॉन सिडल्स

लिंक के लिए एलेक्स को धन्यवाद (MOF प्रश्न के लिए "क्या एक समस्या एक साथ बहुपद समय और अनिर्दिष्ट हो सकती है?") ... मैंने उस लिंक को शामिल करने के लिए मुख्य पोस्ट को संपादित किया है।

— जॉन सिड