क्या मैं एक सेट की कार्डिनैलिटी को बाध्य कर सकता हूं यदि सदस्यता के लिए परीक्षण एनपी-पूर्ण होने के लिए जाना जाता है?

Question

मैं कोने के साथ यूनिट डिस्क ग्राफ़ के सेट की कार्डिनैलिटी पर एक बाध्य होना चाहूंगा । यह ज्ञात है कि यह जाँचना कि क्या एक ग्राफ इस सेट का सदस्य है एनपी-हार्ड है। क्या यह P NP को मानते हुए, पर किसी निचले स्तर तक ले जाता है ?$N$$\neq$

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि वर्टिस के साथ सभी ग्राफ़ पर ऑर्डर करना है । क्या एनपी-कठोरता तब स्पष्ट रूप से कार्डिनैलिटी से अधिक हो जाती है , अन्यथा आप सेट के माध्यम से बाइनरी खोज करके बहुपद समय में सदस्यता के लिए परीक्षण कर सकते हैं? मुझे लगता है कि यह मान लिया जाएगा कि आपने किसी तरह मेमोरी में सेट जमा कर लिया है ... क्या इसकी अनुमति है?$N$$2^N$

विक्षेपण: एक ग्राफ एक इकाई डिस्क ग्राफ है यदि प्रत्येक शीर्ष को विमान में एक इकाई डिस्क के साथ जोड़ा जा सकता है, जैसे कि जब भी उनके डिस्क को काटना होता है तो कोने जुड़े होते हैं।

यहां इकाई डिस्क ग्राफ़ के लिए सदस्यता परीक्षण की एनपी-कठोरता पर एक संदर्भ दिया गया है: http://disco.ethz.ch/members/pascal/refs/pos_1998_breu.pdf

Comments

मैं सोच रहा हूं, क्या कोई उदाहरण है जहां यह तकनीक कुछ सेट के आकार पर सबसे अच्छी ज्ञात निचली सीमा प्रदान करती है? यह जटिलता सिद्धांत का एक शांत अप्रत्यक्ष दहनशील अनुप्रयोग होगा।

— साशो निकोलेव

आपकी सहायता के लिए धन्यवाद। दोनों उत्तर सहायक और व्यावहारिक थे; मैं दूसरे की अनुपस्थिति में या तो स्वीकार कर लेता।

— डेविड चोई

Answer 1

मुझे यकीन नहीं है कि यदि आप इस प्रश्न को तकनीक के लिए या उत्तर के लिए पूछ रहे हैं, लेकिन मैकडर्मिड और म्यूलर द्वारा हाल ही में एक पेपर है, जहां वे यूनिट (डिस्क) यूनिट-डिस्क ग्राफ़ की संख्या दिखाते हैं $n$ वर्टिस है $2^{(2 + o(1))n}$; http://homepages.cwi.nl/~mueller/Papers/countingDGs.pdf देखें ।

Answer 2

महाने के प्रमेय में कहा गया है कि एनपी-पूर्ण सेट विरल होते हैं, यदि पी = एनपी मौजूद है। इसलिए मान लिया$P \neq NP$ तात्पर्य आकार के उदाहरणों की संख्या पर बंधी एक सुपर-बहुपद कम $n$ में $NP$अपूर्ण सेट, असीम रूप से कई के लिए $n$। वह है, अगर$P \neq NP$, फिर कोई भी $NP$-अपूर्ण सेट में कुछ होना चाहिए $\epsilon \gt 0$ ऐसे कि असीम रूप से-कई पूर्णांकों के लिए $n\ge 0$सेट में कम से कम शामिल है $2^{n^{\epsilon}}$ लंबाई के तार $n$।

एच। बर्मन और जेएम हिचकॉक ने निचली सीमा को साबित किया ($2^{n^{\epsilon}}$) तंग है, जब तक बहुपद पदानुक्रम ढह नहीं जाता।

[१] एच। बुहरमैन और जेएम हिचकॉक, एनपी-हार्ड सेट्स एक्सपोनेंशियलली अनसेंसर्ड coNP N एनपी / पॉली, कम्प्यूटेशनल कॉम्प्लेक्सिटी पर IEEE सम्मेलन में, पृष्ठ १-,, २०० 2008

[२] एरिक एलेंडर, पी वर्सस एनपी प्रश्न पर एक स्थिति रिपोर्ट, कंप्यूटर में अग्रिम, खंड,, २०० ९, पृष्ठ ११ All-१४ender

Comments

[मह Ma२] एसआर महाने। एनपी के लिए विरल पूर्ण सेट: बर्मन और हार्टमैनिस , कंप्यूटर एंड सिस्टम साइंसेज 25: 130-143, 1982 द्वारा एक अनुमान का समाधान ।

— डी बियासी

प्रत्येक एनपी-पूर्ण सेट में अनगिनत कार्डिनैलिटी होती है। आप शायद मतलब है कि पी ≠ एनपी आकार के उदाहरणों की संख्या पर बाध्य एक सुपर-बहुपद कम है$n$, असीम रूप से कई के लिए $n$। उस पर भी ध्यान दें$2^{(\log n)^2}$आपके द्वारा दिए गए फॉर्म के बिना सुपर-बहुपद है।

— एंड्रस सलामोन

धन्यवाद एंड्रस, आपकी टिप्पणी उत्तर में शामिल है।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

@ मोहम्मद: निचली सीमा बनाओ $2^{\omega(\log n)}$, या $n^{\omega(1)}$: यही सुपरपोलिनोमियल का मतलब है।

— साशो निकोलेव

@ साशो, एच। बुहरमैन और जेएम हिचकॉक ने निचले बाउंड को साबित किया ($2^{n^{\epsilon}}$) मैंने अपने उत्तर में उल्लेख किया है, जब तक कि बहुपद पदानुक्रम का पतन नहीं होता है। एच। बर्मन और जेएम हिचकॉक, एनपी-हार्ड सेट्स एक्सपोनेंशियलली अनसेंसर्ड सीओएनपी In एनपी / पॉली हैं, कम्प्यूटेशनल कॉम्प्लेक्सिटी पर आईईईई कॉन्फ्रेंस में, पेज 1-7, 2008

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी