स्थायी और मैट्रिक्स के निर्धारकों से स्थायी

Question

चलो एक हो या एक के साथ मैट्रिक्स प्रविष्टियों । क्या कोई मुझे एक मैट्रिक्स प्रदान कर सकता है ताकि ? सबसे छोटा स्पष्ट बी क्या है जो इस तरह से जाना जाता है कि \ operatorname {per} (A) = \ det (B) ? स्पष्ट उदाहरणों के साथ इस पर कोई संदर्भ?$A$$3 \times 3$$4 \times 4$$a_{ij}$$B$$\operatorname{per}(A) = \det(B)$$B$$\operatorname{per}(A) = \det(B)$

कुछ प्रतिबंध निम्नलिखित मामले हो सकते हैं:

केस (1) बी की$(1)$ प्रविष्टियों के रूप में केवल रैखिक कार्यात्मकता की अनुमति है ।$B$

केस $(2)$ गैर-रेखीय क्रियाकलापों की अनुमति है बशर्ते कि प्रत्येक शब्द में अधिकतम $O(log(n))$ डिग्री हो (डिग्री वेरिएबल्स की डिग्री का योग है) जहाँ $n$ मैट्रिक्स का आकार शामिल है। हमारे मामले में, 2 डिग्री तक $2$।

Comments

@vs B पर क्या प्रतिबंध हैं $B$? यदि कोई नहीं हैं, तो $$B = \begin{pmatrix} \operatorname{per}(A)\end{pmatrix}$$ एक $1 \times 1$ मैट्रिक्स with $\det(B) = \operatorname{per}(A)$ , लेकिन मैं यह अनुमान लगा रहा हूं कि आपके मन में ऐसा नहीं है। आम तौर पर A में चर के रैखिक कार्यों को B की प्रविष्टियां $B$दी जा सकती हैं । $A$

— टायसन विलियम्स

Answer 1

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1. स्थिरता के लिए, मैंने $c(n)$ से dc (n) तक के नोटिफिकेशन बदले$dc(n)$ ।
2. यह टिप्पणियों में बनाम द्वारा पूछा गया था कि क्या मेरा उत्तर उच्च आयामों के लिए सामान्य है। यह किसी भी क्षेत्र में एक ऊपरी सीमा देता है: इस पर मेरा मसौदा देखें: स्थायी बनाम निर्धारक समस्या के लिए एक ऊपरी सीमा । $$dc(n)\le 2^n-1.$$

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[एक पक्ष टिप्पणी: मुझे लगता है कि आप नया बनाने के बजाय अपने पिछले प्रश्न को संपादित कर सकते हैं।]

मेरे पास आपके लिए निम्नलिखित उत्तर हैं:

$$\operatorname{per}\begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}= \det\begin{pmatrix} 0 & a & d & g & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & i & f & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & c & i \\ 0 & 0 & 0 & 1 & c & 0 & f \\ e & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ h & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ b & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

ध्यान दें कि स्पष्ट उदाहरणों के बारे में ऐसे संदर्भों की तलाश में, मुझे कोई भी नहीं मिल सकता है और इस प्रकार जो उदाहरण मैं आपको देता हूं वह एक उदाहरण है जिसे मैंने बनाया है।

यह प्रश्न जो आप पूछ रहे हैं, उसे आमतौर पर "स्थायी बनाम निर्धारक समस्या" कहा जाता है। मान लीजिए कि हमें एक दिया जाता है मैट्रिक्स है, और हम सबसे छोटी मैट्रिक्स चाहते ऐसी है कि । आइए हम के सबसे छोटे ऐसे के आयामों को दर्शाते हैं । यहाँ ऐतिहासिक परिणाम हैं:$(n\times n)$$A$$B$$\operatorname{per} A=\det B$$dc(n)$$B$

• [सजेगॉ १ ९ १३]$dc(n)\ge n+1$
• [वॉन ज़ुर गाथेन १ ९ G६]$dc(n)\ge n\sqrt 2-6\sqrt n$
• [कै १ ९९ ०]$dc(n)\ge n\sqrt 2$
• [मिग्नॉन एंड रेसेरे 2004] 2/2 में विशेषता$dc(n)\ge n^2/2$$0$
• [कै, चेन और ली 2008] में विशेषता ।$dc(n)\ge n^2/2$$\neq 2$

इससे पता चलता है कि (ऊपरी सीमा ऊपर दी गई मैट्रिक्स है)।$5\le dc(3)\le 7$

जैसा कि मैं आलसी हूं, मैं आपको केवल एक संदर्भ देता हूं जहां आप दूसरे को पा सकते हैं। यह कै, चेन और ली द्वारा उद्धृत सबसे हालिया पेपर है: किसी भी विशेषता से अधिक स्थायी और निर्धारक समस्या के लिए एक द्विघात कम है$\neq 2$ ।

यदि आप फ्रेंच पढ़ते हैं, तो आप इस विषय पर मेरी स्लाइड्स पर भी नज़र डाल सकते हैं: स्थायी बनाम निडर ।

Comments

आपका बहुत बहुत धन्यवाद। मैं यह बताना भूल गया कि मैं रैखिक और द्विघात निचले सीमा से परिचित था। आपका उदाहरण मेरे लिए नया है और मैं आपके फ्रांसीसी स्लाइड्स पर गौर करूंगा :)

— बनाम

एक सूत्र को एक निर्धारक में बदलने के लिए, यह 1979 में वैलेंट द्वारा एक शास्त्रीय (शास्त्रीय?) परिणाम है। हम इस परिणाम को धारा 2.1 (cf [ arxiv.org/abs/1007.3804] ) में अपने पेपर में समझाते हैं ।

— ब्रूनो

के लिए , नोट वहाँ हे में एक निरंतर (एन 2 ^ n) ताकि 24 सही मूल्य नहीं है कि। फिर भी मुझे लगता है कि मेरा उदाहरण केवल Ryser के सूत्र + Valiant के निर्माण को लागू करने से बेहतर है। यह काफी सामान्य है क्योंकि कोई कल्पना कर सकता है कि स्थायी से एक सूत्र में जाना और फिर एक निर्धारक के लिए वापस करना सबसे अच्छा तरीका नहीं है। मैं यह नहीं कहूंगा कि मेरा उदाहरण "रायसेर से बेहतर" है क्योंकि लक्ष्य समान नहीं हैं। यह भी ध्यान दें कि Glynn'sor Ryser के सूत्र लिए तुच्छ सूत्र के रूप में अच्छे नहीं हैं , उन्होंने इसे केवल asymptotically हराया। $n=3$$n=3$

— ब्रूनो

जे वाई कै के पेपर पर मेरी एक नई नज़र थी। प्रमेय 3 एक बेहतर बाध्यता देता है: । $c(n)\le O(2^n)$

— ब्रूनो

@ ब्रूनो: उत्कृष्ट जवाब!

— दाई ले