पी में 2SAT क्यों है?

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मैं बहुपद एल्गोरिथ्म में आया हूं जो 2SAT को हल करता है। मुझे पता चला है कि 2SAT P में है जहां SAT उदाहरणों के सभी (या कई अन्य) NP-Complete हैं। इस समस्या को क्या अलग बनाता है? क्या यह इतना आसान बनाता है (एनएल-पूर्ण - पी से भी आसान)?

— लड़का
स्रोत

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लोगों को ऐसा बुरा सवाल क्यों लगता है?

— पीटर शोर

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एक दिलचस्प पहलू यह है कि यदि आप एक 2SAT अभिव्यक्ति (यानी Max2SAT) में एक साथ संतोषजनक क्लॉस की अधिकतम संख्या जानना चाहते हैं तो आप फिर से एनपी-पूर्ण पर वापस आ जाते हैं।

— शॉन हरकर

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यह या तो एक भयानक प्रश्न है, क्योंकि इसका कोई उपयोगी उत्तर या शानदार प्रश्न नहीं है, क्योंकि एकमात्र सही उत्तर "कोई नहीं जानता" है।

— जेफ

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कृपया पेपर "संतोषप्रद समस्याओं की जटिलता: रिफाइनिंग स्फेफर प्रमेय" पढ़ें।

— डिएगो डे एस्ट्राडा

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प्रिय लड़का, तथ्य यह है कि 2SAT P में है, लगभग हर मानक जटिलता पाठ्यपुस्तक में शामिल है, इसलिए जब आप कहते हैं कि आपने अभी-अभी इस तथ्य पर ध्यान दिया है तो यह प्रश्न ऐसा लगता है जैसे आपने किसी मानक पाठ्यपुस्तक को जटिलता में नहीं पढ़ा है।

— केव

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यहाँ MGwynne के उत्तर की तर्ज पर एक और सहज और स्पष्ट व्याख्या है।

एसएटी के साथ , आप केवल , जहां और शाब्दिक हैं , फॉर्म के निहितार्थ को व्यक्त कर सकते हैं। दरअसल, हर -clause : प्रभाव की एक जोड़ी के रूप में समझा जा सकता है और । आप सेट करते हैं सच करने के लिए, के रूप में अच्छी तरह से सच होना चाहिए। आप सेट करते हैं झूठी, करने के लिए $2$ $a \Rightarrow b$ $a$ $b$ $2$ $l_1 \lor l_2$ $\lnot l_1 \Rightarrow l_2$ $\lnot l_2 \Rightarrow l_1$ $a$ $b$ $b$ $a$ साथ ही झूठा होना चाहिए। इस तरह के निहितार्थ सीधे हैं: कोई विकल्प नहीं है, आपके पास केवल संभावना है, केस-गुणा के लिए कोई जगह नहीं है। तुम बस हर संभव निहितार्थ श्रृंखला का पालन कर सकते हैं, और अगर आप कभी भी निकाले जाते हैं को देखने के दोनों से और से : क्या आप कुछ के लिए करते हैं $1$ $\lnot l$ $l$ $l$ $\lnot l$ $l$ , तो 2-सैट सूत्र unsatisfiable है, अन्यथा यह संतुष्टि योग्य है। यह मामला है कि संभावित निहितार्थ श्रृंखलाओं की संख्या बहुपद रूप से इनपुट सूत्र के आकार में बंधी है।

साथ -SAT, आप प्रपत्र के निहितार्थ व्यक्त कर सकते हैं , जहां , और शाब्दिक हैं। अब आप मुसीबत में हैं: यदि आप को सही करते हैं, तो या तो या को सच होना चाहिए, लेकिन कौन सा? आपको एक विकल्प बनाना है: आपके पास 2 संभावनाएं हैं। यहां वह जगह है जहां केस-गुणा संभव हो जाता है, और जहां कॉम्बिनेटरियल विस्फोट होता है। $3$ $a \Rightarrow b \lor c$ $a$ $b$ $c$ $a$ $b$ $c$

दूसरे शब्दों में, -SAT एक से अधिक संभावनाओं की उपस्थिति को व्यक्त करने में सक्षम है, जबकि -SAT में ऐसी क्षमता नहीं है। यह ठीक एक से अधिक संभावना है (इस तरह के उपस्थिति है के मामले में संभावनाओं -SAT, के मामले में संभावनाओं कि एन पी-सम्पूर्ण समस्याओं के ठेठ मिश्रित विस्फोट का कारण बनता -SAT)। $3$ $2$ $2$ $3$ $k-1$ $k$

— जियोर्जियो कैमरानी
स्रोत

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काश मैं इसे और बढ़ा सकता! एक बेहतर जवाब!

— MGwynne

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@MGwynne: आपकी बहुत अच्छी टिप्पणी के लिए धन्यवाद। आपका स्वागत है, और आपका उत्तर वास्तव में बहुत अच्छा है!

— जियोर्जियो कैमरानी

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यह एक अच्छे प्रश्न (IMHO) का एक अच्छा उत्तर है। जैसा कि मैक लेन ने लिखा है: "प्रभावी या मुश्किल औपचारिक जोड़तोड़ गणितज्ञों द्वारा पेश किए जाते हैं, जो निस्संदेह एक मार्गदर्शक विचार रखते हैं --- लेकिन शब्दों में विचार तैयार करने की तुलना में जोड़तोड़ बताना आसान है। ... एक टुकड़ा का एक शानदार प्रदर्शन। गणित के विचारों में हेरफेर के प्रदर्शन के माध्यम से चमकने देता है। " इस विशेष सवाल-जवाब ने "विचारों को चमकने में मदद की" (मेरे लिए)। धन्यवाद! :)

— जॉन सिड

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@ जॉन: आपका बहुत स्वागत है! ;-) आपके महान और उदार टिप्पणी के लिए बहुत धन्यवाद, मैंने वास्तव में इसकी सराहना की है। मैं मैक लेन शब्दों से अधिक सहमत नहीं हो सका।

— जियोर्जियो कैमरानी

जियोर्जियो कैमरानी के उत्तर के अनुसार यह किसी भी एनपी समस्या को कम करने के लिए 3SAT के लिए सार्थक नहीं है यदि आप अधिक डमी बूलियन चर पेश करते हैं, अधिक खंड होते हैं और न तो लाभ होता है और न ही लाभ होता है, लेकिन इसे कम करने के लिए अधिक पसंद किया जाता है CNF SAT या बूलियन संतोषजनक या इसके बजाय सर्किट सैट, क्योंकि इन समस्याओं में आपके पास बूलियन वैरिएबल और कम क्लॉज हैं और इसका मतलब है कि ब्रूट फोर्स भोले एल्गोरिदम, कार्नुघ मैप्स और क्वीन-मैकलुस्की एल्गोरिदम में बेहतर जटिलता है: डी।

— विदाई स्टैक एक्सचेंज

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2-SAT फॉर्मूला पर रिज़ॉल्यूशन पर विचार करें। किसी भी विश्लेषक (ध्यान दें कि अधिक से अधिक 2 आकार की है यदि लंबाई के खंड के लिए और resp)। आकार 2 के खंडों की संख्या चर की संख्या में द्विघात है। इसलिए, संकल्प एल्गोरिथ्म पी में है। $n + m -2 \le 2$ $n, m \le 2$ $n$ $m$

एक बार जब आप 3-सैट में आते हैं तो आप बड़े और बड़े रिजोल्वेंट प्राप्त कर सकते हैं, इसलिए यह सब नाशपाती के आकार का हो जाता है :)।

2-SAT में समस्या का अनुवाद करने का प्रयास करें। जैसा कि आपके पास आकार 3 के खंड नहीं हो सकते हैं, आप (सामान्य रूप से) 3 चर या अधिक शामिल होने के निहितार्थ को नहीं समझ सकते हैं, उदाहरण के लिए कि एक चर दो अन्य पर बाइनरी ऑपरेशन का परिणाम है। यह एक बहुत बड़ा प्रतिबंध है।

— MGwynne
स्रोत

3

"आप निहितार्थ जैसी चीज़ों को एनकोड नहीं कर सकते हैं" - IMP-SAT भी P में है (और मुझे लगता है कि NL)

— अधिकतम

8

बस है

।

p \to q

$p \to q$

\neg p \lor q

$\lnot p \lor q$

— केव

1

Kaveh, अच्छी बात है, अब तय है।

— MGwynne

जैसा कि मैंने पहले ही कहा था जब आपने अपनी मनमानी एनपी समस्या को या तो बूलियन संतुष्टि या सर्किट सैट या सीएनएफ सैट से कम कर दिया है , तो समस्या को 3SAT तक कम न करें , क्योंकि समस्या अधिक बूलियन वैरिएबल और क्लॉज के साथ और भी कठिन और जटिल हो जाती है। यहां तक कि संकल्प एल्गोरिथ्म नई समस्या में कम कुशल हो जाता है!

— विदाई स्टैक एक्सचेंज

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जैसा कि वाल्टर कहते हैं, 2-सैट के क्लॉज का एक विशेष रूप है। इसका समाधान जल्दी खोजने के लिए किया जा सकता है।

वास्तव में SAT उदाहरणों के कई वर्ग हैं जिन्हें बहुपद समय में तय किया जा सकता है, और 2-SAT इन ट्रैक्टेबल वर्गों में से एक है । ट्रैक्टेबिलिटी के तीन व्यापक कारण हैं:

(स्ट्रक्चरल ट्रैक्टिबिलिटी) SAT के किसी भी वर्ग के उदाहरण जहां चर एक पेड़ की तरह फैशन में बातचीत करते हैं उन्हें बहुपद समय में हल किया जा सकता है। बहुपद की डिग्री वर्ग में उदाहरणों की अधिकतम चौड़ाई पर निर्भर करती है , जहां चौड़ाई मापती है कि एक पेड़ होने से कितनी दूर है। अधिक सटीक रूप से, मार्क्स ने दिखाया कि यदि उदाहरणों ने सबमॉड्यूलर चौड़ाई को बांधा है, तो बहुपद और विजयी दृष्टिकोण का उपयोग करके वर्ग को बहुपद समय में तय किया जा सकता है।
(भाषा ट्रैक्टिबिलिटी) SAT वर्ग का कोई भी वर्ग जहाँ सत्य-असत्य चर का पैटर्न "अच्छा" है, को बहुपदीय समय में हल किया जा सकता है। अधिक सटीक रूप से, शाब्दिक का पैटर्न संबंधों की एक भाषा को परिभाषित करता है, और शेफर ने छह भाषाओं को वर्गीकृत किया है जो ट्रैक्टेबिलिटी का नेतृत्व करते हैं, प्रत्येक का अपना एल्गोरिदम है। 2-सैट छह शैफर वर्गों में से एक बनता है।
(हाइब्रिड ट्रैक्टिबिलिटी) कुछ उदाहरणों के वर्ग भी हैं जो अन्य दो श्रेणियों में नहीं आते हैं, लेकिन जिन्हें अन्य कारणों से बहुपद में हल किया जा सकता है।
- डेनियल मार्क्स, बाधा संतोष और संयोजक प्रश्नों के लिए विनयशील hypergraph गुण , STOC 2010 ( डोई , प्रीप्रिंट )
- थॉमस जे। शेफर, संतोषजनक समस्याओं की जटिलता , STOC 1978। ( दोई )

— आंद्रस सलामन
स्रोत

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यादृच्छिक के-सैट साहित्य से समाधान स्थान की संरचना पर आधारित तर्क भी हैं जिनका उपयोग अंतर को समझाने के लिए किया जा सकता है।

— केव

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@Kaveh: हाइब्रिड ट्रैक्टिबिलिटी के बारे में मेरा वर्णन ऐसी बातों को शामिल करने के लिए पर्याप्त अस्पष्ट था। उदाहरण के लिए, बहुत ही विशेष प्रकार के उदाहरणों के लिए, लोवेज़ लोकल लेम्मा के आधार पर संतोषजनकता के लिए एक तर्क दिया जा सकता है। 1997 में पियर्सन और जेवन्स

— András Salamon

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यह भी ध्यान दें कि एसएटी बाधा संतुष्टि की समस्या का विशेष मामला है जहां प्रत्येक चर 2 मान ले सकता है। जब चर 3 मान ले सकते हैं, तो आंद्रेई बुलटोव द्वारा वर्गीकृत 10 ट्रैक्टेबल भाषा कक्षाएं हैं: cs.sfu.ca/~abulatov/papers/3-el-journal.ps हाइब्रिड कक्षाएं बड़े डोमेन के लिए भी अधिक दिलचस्प हैं।

— एंड्रस सलामन

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यदि आप 2SAT के लिए एल्गोरिथ्म को समझते हैं, तो आप पहले से ही जानते हैं कि यह पी में क्यों है - यह वही है जो एल्गोरिथ्म प्रदर्शित करता है। मुझे लगता है कि यह हास्य मेरी बात को दर्शाता है। जैसा कि आप पहले से ही जानते हैं कि 2SAT P में क्यों है, जो आप शायद जानना चाहते हैं कि 2SAT NP- हार्ड क्यों नहीं है।

यह समझने के लिए कि 2SAT NP-कठिन क्यों नहीं है, आपको यह विचार करना होगा कि NP की अन्य समस्याओं को कम करना कितना आसान है। इसकी सहज जानकारी प्राप्त करने के लिए, यह देखें कि SAT को 3SAT तक कैसे कम किया जा सकता है और SAT को 2SAT तक कम करने के लिए समान तकनीकों को लागू करने का प्रयास करें। 2SAT सिर्फ 3SAT और अन्य SAT वेरिएंट जितना एक्सप्रेसिव नहीं है।

— डेव
स्रोत