क्या कोई 'चित्रमय' बीजगणित है जो रेखांकन के 'आकार' का वर्णन कर सकता है?


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ग्राफ एन्यूमरेशन में मुख्य समस्याओं में से एक ग्राफ का 'आकार' निर्धारित करना है, जैसे किसी विशेष ग्राफ का आइसोमॉर्फिज्म वर्ग। मुझे पूरी जानकारी है कि हर ग्राफ को एक सममित मैट्रिक्स के रूप में दर्शाया जा सकता है। हालांकि, इसे आकार देने के लिए, आपको पंक्ति / स्तंभ क्रमपरिवर्तन का एक संग्रह चाहिए, जो मैट्रिक्स को थोड़ा कम अनुकूल बनाता है। एक बार ग्राफ को 'देखना' भी थोड़ा कठिन होता है।

मेरा प्रश्न है: क्या कोई 'चित्रमय' बीजगणित है जो रेखांकन के 'आकार' का वर्णन कर सकता है?

मैं क्या सोच रहा हूँ कि बीजीय टोपोलॉजिस्ट किस प्रकार की औपचारिक प्रणाली के साथ आते हैं। विशेष रूप से, गाँठ आक्रमणकारियों के लिए बीजगणित, या ऑपरैड या पॉलीग्राफ जैसी नोटेशनल सिस्टम जैसी चीजें । इस तरह के 'डूडल अलजेब्रा' लगभग विकसित नहीं होते हैं, इसलिए शायद यह मानने का एक कारण है कि रेखांकन के लिए ऐसा कोई बीजगणित मौजूद नहीं है, लेकिन मैं अन्यथा ग्रहण करने से पहले पूछूंगा।

अपडेट करें:

मेरा प्रश्न शायद बहुत ही संकीर्ण है और 'हां' के साथ तुरंत जवाबदेह नहीं है, इसलिए यदि मध्यस्थों को कोई आपत्ति नहीं है, तो मैं यह पूछकर इसे व्यापक करूंगा:

क्या कोई मौजूदा सिस्टम (जिस तरह का मैं ऊपर वर्णन करता हूं) ऐसी प्रणाली बनाने के लिए अनुकूलित (आसानी से या अन्यथा) किया जा सकता है? यदि एक से अधिक हैं, तो उन सभी का उल्लेख करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें। और पहले से ही वर्णित के रूप में अच्छी तरह से फेंक देते हैं।

प्रेरणा

ऐसे प्रश्न के लिए मेरी प्रेरणा वास्तव में असममित रेखांकन को वर्गीकृत करने के बारे में है। मैं केवल एक अंडरग्रेजुएट हूं, इसलिए बीजगणितीय ग्राफ सिद्धांत की वर्तमान स्थिति की मेरी समीक्षा बहुत पतली है। लेकिन मुझे अभी तक बहुत कुछ देखना है, यदि कोई हो, तो बीजगणितीय तरीके से सभी रेखांकन को व्यवस्थित रूप से वर्णन करने की कोशिश में काम करते हैं, और विशेष रूप से, वह जो प्रतीकात्मक लोगों पर दृश्य रूपकों का उपयोग करता है।

व्यावहारिक उदाहरण जहां इस तरह की प्रणाली उपयोगी होगी

मान लीजिए कि एक प्रमाण का वर्णन करना चाहता है कि सभी Eulerian रेखांकन में भी डिग्री के कोने होने चाहिए। एक मानक प्रमाण आमतौर पर उपयोग किए गए वास्तविक किनारों का उल्लेख किए बिना, सम और विषम डिग्री के बारे में तर्क का उपयोग करता है। एक विशिष्ट छात्र को पहली बार ऐसा कोई प्रमाण मिलेगा, और संभवत: वह ग्राफ़ को चित्रित करना शुरू कर देगा, जो खुद को तर्क से समझाने का प्रयास करेगा। लेकिन शायद शुद्ध 'तार्किक' तर्क से बेहतर उपकरण यह दिखाना होगा कि ऐसी भाषा से 'प्रतीकों' का कोई भी संग्रह कुछ 'पूर्णता' की स्थिति को संतुष्ट नहीं कर सकता है।

हाँ, मुझे पता है, मैं इस आखिरी भाग में हाथ से लहरा रहा हूँ .. अगर मैं नहीं था, हालांकि मैं शायद खुद ही ऐसी प्रणाली बनाना शुरू कर दूंगा!

लेकिन एक पल के लिए मेरी अस्पष्टता को नजरअंदाज करते हुए, मुझे यह समझ में आता है कि ग्राफ सिद्धांत में कई पुराने और प्रसिद्ध सिद्धांत कठिन नहीं हैं, लेकिन कुछ अवधारणा की आवश्यकता होती है जो वास्तव में अच्छा ढांचा एक एकीकृत दृश्य में 'पैकेज' और 'पैकेज' कर सकते हैं।


मुझे ऐसा लगता है जैसे कि यह प्रश्न, हालांकि यह ग्राफ आइसोमोर्फिज्म समस्या से संबंधित है, गणित या गणित के लिए बेहतर अनुकूल हो सकता है।
bbejot

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हालांकि यह संभव है कि आपको mathoverflow पर बेहतर उत्तर मिलें, हमारे यहाँ ग्राफ निरूपण पर चर्चा होती है, और मुझे इसे स्थानांतरित करने का कोई कारण नहीं दिखता है।
सुरेश वेंकट

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क्या आप कॉक्सोटर-डाइनकिन आरेख जैसी कुछ चीज़ों की तलाश कर रहे हैं लेकिन ग्राफ़ के लिए?
Artem Kaznatcheev

फिर से जांच करने पर, मेरा प्रश्न वास्तव में बहुत संकीर्ण है, और मैं शर्त लगाने को तैयार हूं कि इस समय 'हां' के साथ जवाबदेह नहीं है, हालांकि शायद बहुत सी चीजें हैं जो मैं कल्पना कर रहा हूं। मैं उसके लिए अपने प्रश्न को फिर से अनुकूलित करूँगा।
रॉबिनहोड

@Artem हाँ, यह वास्तव में मैं क्या सोच रहा हूँ के बहुत करीब है।
रॉबिनहोड

जवाबों:


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कई लोगों ने एक ग्राफ के आकार का वर्णन करने के लिए एक बीजीय भाषा खोजने की कोशिश की है। यह प्रश्न अनिवार्य रूप से एक है जो संरचनात्मक ग्राफ सिद्धांत को प्रेरित करता है

असतत गणित के इस क्षेत्र के केंद्र में ग्राफ डिकम्पोजिशन का अध्ययन है। इस क्षेत्र में काम करने वाले लोगों में से कुछ नील रॉबर्टसन, पॉल सीमोर, रॉबिन थॉमस, मारिया चुडनोव्स्की, क्रिस्टीना वुकोकोविक और उनके सहयोगी हैं, हालांकि यह सूची मेरे स्वयं के अनुसंधान हितों द्वारा पक्षपाती है।

विशेष रूप से ग्राफ़ डेकोम्पोज़िशन में ग्राफ़ सिद्धांत में सबसे सामान्य परिणाम सामने आए हैं। उदाहरण के लिए, ग्राफ नाबालिगों के प्रोजेक्ट के लिए विकसित मुख्य तकनीकी उपकरणों में से एक, जो रॉबर्टसन-सीमोर प्रमेय के लिए नेतृत्व किया , ग्राफ संरचना प्रमेय है । इससे पता चलता है कि कुछ मामूली को छोड़कर ग्राफ के वर्ग को सरल रेखांकन से बनाया जा सकता है।

स्ट्रॉन्ग परफेक्ट ग्राफ प्रमेय के प्रमाण में कुछ अलग अपघटन का उपयोग किया गया था। मुख्य परिणाम है: प्रत्येक बराज ग्राफ के लिएG, या तो G बुनियादी है, या एक है G,G¯ एक उचित 2 में शामिल हों, या G एक संतुलित तिरछा विभाजन स्वीकार करता है।

तिथि करने के लिए अध्ययन किए गए डिकम्पोजिशन कुछ अर्थ गैर-बीजीय हैं। मेरा व्यक्तिगत अंतर्ज्ञान यह है कि ऐसे संकेत हैं कि कोई "अच्छा" सिस्टम नहीं है जैसे कि आप चाहते हैं। इस स्पष्ट कथन को सटीक बनाने के लिए परिमित मॉडल सिद्धांत में एक nontrivial एंटरप्राइज़ की आवश्यकता होगी, लेकिन मुझे संदेह है कि यह ग्राफ थ्योरी (चाहे सफल हो या न हो) में दिलचस्प नए परिणाम ला सकता है।


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कार्यात्मक प्रोग्रामिंग में यह सवाल महत्वपूर्ण है क्योंकि रेखांकन का सामान्य प्रतिनिधित्व विशुद्ध रूप से कार्यात्मक भाषाओं में प्रयोग करने में अक्षम और अक्षम है।

पिछले साल ICFP में एक अच्छा दृष्टिकोण प्रस्तुत किया गया था: एंड्री गोखोव द्वारा "बीजीय रेखांकन वर्ग के साथ (कार्यात्मक मोती)"

मुझे नहीं पता कि यह आपकी आवश्यकताओं का पूरी तरह से जवाब देता है, लेकिन यह अलग-अलग प्रकार के विभिन्न प्रकार के निर्देशित और अप्रत्यक्ष रेखांकन का प्रतिनिधित्व कर सकता है।

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