सामयिक गुणों की जटिलता।

मैं एक कंप्यूटर साइंटिस्ट हूं जो टोपोलॉजी पर एक कोर्स कर रहा है (बिंदु-सेट टोपोलॉजी का एक छिड़काव निरंतरता सिद्धांत के साथ भारी स्वाद)। मैं टोपोलॉजिकल गुणों के लिए अंतरिक्ष के विवरण (सरलताओं द्वारा) का परीक्षण करने में निर्णय की समस्याओं में दिलचस्पी ले रहा हूं; जो होमियोमॉर्फिज़्म तक संरक्षित हैं।

यह ज्ञात है, उदाहरण के लिए, एक गाँठ के जीन का निर्धारण PSPACE में है और NP-Hard है। (एगोल 2006; हस, लैगरियास, पिप्पेंगर 1999)

ए.ए. मार्कोव (के पुत्र: अन्य परिणाम अधिक एक अधिक सामान्य लग रहा है मार्कोव) 1958 में पता चला है कि आयामों में एक होमियोमॉर्फिज़्म के लिए दो रिक्त स्थान का परीक्षण या उच्चतर अनिर्णनीय (4 manifolds के लिए undecidability दिखा कर)। दुर्भाग्य से, यह अंतिम उदाहरण मेरे प्रश्न का एक आदर्श उदाहरण नहीं है, क्योंकि यह होमियोमॉर्फिज्म के तहत संरक्षित गुणों के बजाय होमियोमॉर्फी समस्या से खुद को निपटता है। $5$

"कम आयामी टोपोलॉजी" में बड़ी मात्रा में काम प्रतीत होता है: गाँठ और ग्राफ सिद्धांत। मुझे निश्चित रूप से कम आयामी टोपोलॉजी के परिणामों में दिलचस्पी है, लेकिन सामान्यीकृत परिणामों में अधिक दिलचस्पी है (ये दुर्लभ प्रतीत होते हैं)।

मैं उन समस्याओं में सबसे अधिक दिलचस्पी रखता हूं जो औसतन एनपी-हार्ड हैं, लेकिन ऐसा न होने के लिए समस्याओं को सूचीबद्ध करने के लिए प्रोत्साहित महसूस करें।

टोपोलॉजिकल गुणों की कम्प्यूटेशनल जटिलता के बारे में क्या परिणाम ज्ञात हैं?

cc.complexity-theory big-list topology

— रॉस स्नाइडर
स्रोत

क्या आप एक विशिष्ट प्रश्न को फ्रेम कर सकते हैं?

— सुरेश वेंकट

इससे पहले कि कोई व्यक्ति आपत्ति उठाता है, मुझे इस बात का बचाव करने दें कि मेरा मानना है कि यह प्रश्न विशिष्ट है: मैंने सामान्य साहित्य खोज की और मेरे प्रश्न का अपेक्षाकृत कम पता लगाया। इसलिए, प्रश्न के उत्तर में एक निश्चित स्तर की विशेषज्ञता शामिल है। इसके अलावा, कम्प्यूटेशनल टोपोलॉजी निर्विवाद रूप से इस टीसीएस एसई में विषय पर है।

— रॉस स्नाइडर

चूंकि परिणाम एक सूची हो सकती है, क्या यह सीडब्ल्यू होना चाहिए?

— सुरेश वेंकट

मुझे लगता है कि यह एक महान प्रश्न है। टोपोलॉजी समस्याओं की कम्प्यूटेशनल जटिलता के बारे में बहुत कम जाना जाता है, और मुझे विश्वास नहीं है कि यह एक ही स्थान पर एकत्र किया गया है (यदि यह है, तो एक उत्तर पर्याप्त होगा, और सवाल सीडब्ल्यू नहीं होना चाहिए)।

— पीटर शोर

क्या आपने S.Matveev द्वारा "एल्गोरिथम टोपोलॉजी और 3-मैनिफोल्ड्स का वर्गीकरण" पर विचार किया है? ( Springer.com/mathematics/geometry/book/978-3-540-45898-2 मुफ्त डाउनलोड के लिए उपलब्ध सामग्री तालिका)

— आर्टेम Pelenitsyn

जवाबों:

कम्प्यूटेशनल टोपोलॉजी अनुसंधान के एक विशाल शरीर को शामिल करती है। हर जटिलता के परिणाम का एक पूरा सारांश असंभव होगा। लेकिन आपको एक छोटा सा स्वाद देने के लिए, मुझे अपने उदाहरण पर विस्तार करने दें।

$O(n)$

1950 में, ट्यूरिंग ने यह साबित कर दिया कि हेलींग प्रॉब्लम (आश्चर्य, आश्चर्य) से कम करके, शब्द को बारी-बारी से प्रस्तुत किए गए सिमीग्रुप्स में शब्द अनिर्दिष्ट है।

ट्यूरिंग के परिणाम पर निर्माण, मार्कोव ने 1951 में साबित कर दिया कि परिमित रूप से प्रस्तुत अर्धवृत्तों की प्रत्येक गैर-संपत्ति अपरिहार्य है। यदि कुछ समूह के पास संपत्ति है और कुछ अन्य समूह के पास नहीं है, तो समूहों की एक संपत्ति अनौपचारिक है। सैद्धांतिक कंप्यूटर वैज्ञानिक आंशिक कार्यों के बारे में इसी तरह के परिणाम को "राइस के प्रमेय" के रूप में जानते हैं।

1952 में, नोविकोव ने साबित किया कि बारीक रूप से प्रस्तुत समूहों में शब्द समस्या अनिर्णायक है, जिससे यह साबित होता है कि देहान का अंतर्ज्ञान सही था। 1954 में बूऑन और 1958 में ब्रिटन द्वारा एक ही परिणाम स्वतंत्र रूप से साबित हुआ।

1955 में, अदनान ने साबित कर दिया कि वित्त-प्रस्तुत समूहों के प्रत्येक गैर-संपत्ति को अनिर्दिष्ट है। 1956 में राबिन द्वारा स्वतंत्र रूप से एक ही परिणाम साबित किया गया। (हाँ, वह राबिन है।)

अंत में, 1958 में, मार्कोव ने एल्गोरिथम को किसी भी वांछित मौलिक समूह के साथ 2-आयामी सेल कॉम्प्लेक्स और 4-आयामी कई गुना का निर्माण करने के लिए वर्णित किया, समूह प्रस्तुति को इनपुट के रूप में दिया। इस परिणाम का तात्पर्य यह है कि बड़ी संख्या में टोपोलॉजिकल समस्याएं अनिर्दिष्ट हैं, जिनमें निम्न शामिल हैं:

क्या किसी दिए गए 2-आयामी जटिल अनुबंध में एक चक्र दिया गया है? (यह शब्द समस्या है।)
क्या एक दिया गया 2-कॉम्प्लेक्स बस जुड़ा हुआ है? ("क्या यह समूह तुच्छ है?")
क्या किसी दिए गए चक्र में दिए गए 4-गुना गुना है?
क्या दिया गया 4-गुना कई गुना है?
क्या किसी दिए गए 4-गुना होम्योमोर्फिक को किसी विशेष 4-मैनिफोल्ड (मार्कोव द्वारा निर्मित) किया जाता है?
5-गोले के लिए दिए गए 5-गुना कई गुना होम्योमोर्फिक (या आपके द्वारा चुना गया कोई अन्य 5-गुना) है?
क्या दिए गए 6-जटिल कई गुना है?

$G$ $G$ $\pi_1(S^3)$ $G$ $G$

— Jeffε
स्रोत

जेफ। धन्यवाद। यह वास्तव में अच्छा सामान है, और अविश्वसनीय रूप से दूसरे उदाहरण का विस्तार करता है।

— रॉस स्नाइडर

मैंने इस सवाल का जवाब नहीं दिया है क्योंकि यह उत्तर आश्चर्यजनक नहीं है, बल्कि इसलिए कि मैं और अधिक उत्तर देने के लिए देख रहा हूँ (विशेषकर मेरे पहले उदाहरण की तरह)। एक बार फिर धन्यवाद।

— रोस स्नाइडर

3-कई गुना समूह होने की अनिर्वायता के लिए आपका तर्क मुझे थोड़ा अस्थिर लगता है। यह आपको 3-समूह का निर्माण करने में सक्षम होने से रोकता है जिसके लिए G समूह है, लेकिन हो सकता है कि कई गुना उत्तर देने के बिना हां या ना में जवाब देने का कोई तरीका हो? तब Perelman पर जाने के लिए कुछ भी नहीं होगा।

— डेविड एपपस्टीन

हेनरी विल्टन द्वारा अधिक सावधानीपूर्वक व्याख्या यहाँ दी गई है: ldtopology.wordpress.com/2010/01/26/…

— जेफε

@ जेफ़े - मुझे यकीन नहीं है कि आपने मेरी पिछली टिप्पणी को अनदेखा क्यों किया। वहाँ है अगर एक (जुड़ा बंद) तीन गुना की मौलिक समूह तुच्छ है तय करने के लिए एक exp समय एल्गोरिथ्म। यह कहना कि "इस एल्गोरिथम की जटिलता पर कोई सीमा नहीं है" गलत है ... है ना? मुझे किसकी याद आ रही है? क्या मैं आपको समझाने के लिए कह सकता हूं?

— सैम नेड

रयान बुडनी ने MathOverFlow में इसी तरह की चर्चा शुरू की है:

/mathpro/35946/how-expensive-is-knowledge-knots-links-3-and-4-manifold-algorithms

/mathpro/144158/what-is-the-state-of-the-art-for-algorithmic-knot-simplification/145927

और विकिपीडिया पर:

http://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Computational_topology

— सैम नेड
स्रोत