समस्याओं की गणना के लिए आश्चर्यजनक एल्गोरिदम

Question

गिनती की कुछ समस्याएं हैं, जिसमें बहुत सी चीजों (इनपुट के आकार के सापेक्ष) की गणना शामिल है, और अभी तक आश्चर्यजनक बहुपद-समय सटीक, निर्धारक एल्गोरिदम हैं। उदाहरणों में शामिल:

• एक प्लानर ग्राफ ( एफकेटी एल्गोरिथ्म ) में सही मिलान की गिनती , जो होलोग्राफिक एल्गोरिदम कैसे काम करता है, इसका आधार है ।
• एक ग्राफ में पेड़ों की फैली हुई गिनती ( Kirchhoff के मैट्रिक्स ट्री प्रमेय के माध्यम से )।

इन दोनों उदाहरणों में एक महत्वपूर्ण कदम एक निश्चित मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने के लिए गिनती की समस्या को कम करना है। एक निर्धारक स्वयं है, निश्चित रूप से, घातीय रूप से कई चीजों का योग, फिर भी आश्चर्यजनक रूप से बहुपद समय में गणना की जा सकती है।

मेरा सवाल है: क्या कोई "आश्चर्यजनक रूप से कुशल" सटीक और निर्धारक एल्गोरिदम हैं जो समस्याओं की गणना के लिए जाना जाता है जो एक निर्धारक की गणना करने के लिए कम नहीं करते हैं ?

Comments

BTW, कई और अधिक गणना समस्याएं निर्धारक की गणना को कम करती हैं। इंटेगर निर्धारक वर्ग गैपएल के लिए पूर्ण है, जिसमें # एल शामिल है।

— ५५०१

Answer 1

मुझे नहीं पता कि निम्नलिखित समस्याएं कम करने या नहीं करने के लिए निर्धारक की गणना करती हैं, लेकिन मैं वैसे भी सूचीबद्ध करूंगा:

1) एक नोड से नोड V f के लिए DAG में पथों की संख्या की गणना करना । लेकिन यह आश्चर्य की बात नहीं है। बस यह निर्धारित करना कि क्या v f v 0 से पहुंच योग्य है, NL में है, और इस प्रकार डीईटी में । मुझे मतगणना संस्करण के बारे में कोई जानकारी नहीं है।$v_0$$v_f$$v_f$$v_0$

2) बाउंड ट्री चौड़ाई की संरचनाओं में एमएसओ-लॉजिक में निश्चित रूप से समस्याओं के समाधान की संख्या की गणना करना। उदाहरण के लिए देखें पेपर जो कोर्टसेल, अर्नबॉर्ग और अन्य के कार्यों पर खरीदता है ।

$f:\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}$$x$$f(x)=1$$U_f$$|x\rangle|0\rangle$$|x\rangle|f(x)\rangle$$|1\rangle$$U_fH^{\otimes n}|0\rangle|0\rangle$

Comments

धन्यवाद - आइटम (2) और (3) दिलचस्प हैं, लेकिन किसी भी तरह काफी नहीं है जो मैं देख रहा था; बाउंडेड ट्री-चौड़ाई के साथ समस्याओं की गणना अधिक विशेष मामलों की तरह लगती है, जहां आप जिस संरचना के साथ काम कर रहे हैं, वह वास्तव में बहुपद है। मुझे उन मामलों में अधिक दिलचस्पी थी जहां गणना करने के लिए "वास्तव में" घातीय रूप से कई ऑब्जेक्ट हैं, लेकिन वे किसी तरह जादुई रूप से बहुपद समय में गिने जा सकते हैं।

— एशले मोंट्रो

क्या इसका मतलब यह नहीं होगा कि यदि आप एक एकीकृत एन्कोडिंग का उपयोग करते हैं, तो एल्गोरिथ्म को केवल संख्या लिखने के लिए घातीय समय की आवश्यकता है? क्या यह संभव है कि द्विआधारी एन्कोडिंग का उपयोग करके इस समस्या को दूर किया जाता है, लेकिन यह मेरे लिए सकारात्मक लगता है।

— एंटोनियो वेलेरियो माइकेली-बैरोन

@ Miceli-Barone, आप जो कहते हैं, वह किसी भी पॉली टाइम एल्गोरिथम पर लागू होता है जो एक नंबर को आउटपुट करता है। निर्धारक स्वयं सबसे बड़ा होता है बल्कि सबसे खराब स्थिति में होता है।

— राफेल

$\frac{(n + 1)^{\frac{n+1}{2}}}{2^n}$

Answer 2

अलेक्जेंडर बार्विनोक के कारण बहुपद समय में एक तर्कसंगत पॉलीटॉप (जब आयाम स्थिर है) में जाली बिंदुओं की संख्या की गिनती ।

Comments

मुख्य तकनीक क्या है?

— सुरेश वेंकट

एक छोटा उत्पादक कार्य। निम्नलिखित प्रदर्शनी लेख हमें अधिक विचार देगा। arxiv.org/abs/math/0506466

— योशियो ओकामोटो

Answer 3

होलेंट फ्रेमवर्क में, कई ऐसे मामले हैं जो प्लैनेरेबल (गैर-तुच्छ) कारणों से होते हैं, जो प्लानर ग्राफ में माचिस की तीली के अलावा होते हैं।

1) फाइबोनैचि गेट्स

2) एफाइन हस्ताक्षर का कोई भी सेट ।

3) गैर-नकारात्मक भारित #CSP

...कुछ नाम है।

इसके अलावा, BEST प्रमेय एक निर्देशित ग्राफ में यूलरियन सर्किट की संख्या की गिनती के लिए एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म देता है, हालांकि एल्गोरिथ्म का हिस्सा एक निर्धारक गणना का उपयोग करता है।