मैट्रिक्स फिलिंग की सॉल्वेबिलिटी

Question

मैट्रिक्स में आयाम । हम भरना चाहते हैं के बीच पूर्णांकों का उपयोग कर और , समावेशी।$A$$n \times n(n-1)$$A$$1$$n$

आवश्यकताएँ:

1. का प्रत्येक स्तंभ का क्रमचय है ।$A$$1, \dots, n$
2. की दो पंक्तियों द्वारा गठित किसी भी सबमेट्रिक्स में समान कॉलम नहीं हो सकते हैं।$A$

सवाल:

क्या आवश्यकताओं को पूरा करने वाले मैट्रिक्स को भरना संभव है?

क्रिप्टोग्राफी से संबंध:

प्रत्येक पंक्ति संख्या एक समतल से मेल खाती है। प्रत्येक स्तंभ एक कुंजी से मेल खाता है। चूंकि एक कुंजी एक इंजेक्शन को परिभाषित करती है, प्रत्येक कॉलम को क्रमचय होना चाहिए। दूसरी आवश्यकता दो संदेशों के लिए पूर्ण गोपनीयता के लिए है।

Comments

यह देखते हुए कि आपने इसे क्रिप्टोकरंसी-सिक्योरिटी के साथ टैग किया है, यह प्रश्न को बेहतर बनाता है कि क्या आप बता सकते हैं कि यह क्रिप्टो या सुरक्षा से कैसे संबंधित है।

— डेव क्लार्क

सरल अवलोकन: ऐसे मैट्रिक्स n obs4 के लिए मौजूद हैं। N For3 के लिए, सभी क्रमपरिवर्तन लें। N = 4 के लिए, केवल समाधान सभी क्रमपरिवर्तन या सभी विषम क्रमपरिवर्तन ले रहे हैं।

— १२:१३

धन्यवाद, इतो। वास्तव में मैं जवाब के साथ आया जब हाथ से। लेकिन चीजें बहुत अधिक कठिन हो जाती हैं जब । घातीय विस्फोट होता है। n ≥ $n \leq 4$$n \geq 5$

— साइकर

(1) मुझे लगता है कि समस्या कोडिंग सिद्धांत से संबंधित है और इसे एक टैग के रूप में जोड़ा गया है। (२) एक और अवलोकन: समस्या को निम्नानुसार भी कहा जा सकता है। एक मैट्रिक्स बी आकार n × (n ^ 2) का पता लगाएं, जैसे कि B के पहले n कॉलम में से प्रत्येक समान संख्या का दोहराव है और ऐसा B प्रश्न में स्थिति 2 को संतुष्ट करता है। यदि ऐसा बी मौजूद है, तो बी के अंतिम एन (एन columns 1) कॉलम में से प्रत्येक को क्रमपरिवर्तन होना चाहिए। इसके विपरीत, कोई भी मैट्रिक्स A, 1 और 2 की शर्तों को पूरा करने वाले ए को मैट्रिक्स बी में परिवर्तित किया जा सकता है, जो N के बचे हुए कॉलम को A के बाएं से जोड़कर बदल सकता है

— Tsuyoshi Ito

Answer 1

त्सुयोशी, आपकी टिप्पणी में महान अवलोकन! मुझे लगता है कि यह समस्या को हल करता है।

निम्नलिखित दो प्रश्नों पर विचार करें

1. क्या वहाँ लंबाई n ( n - 1 ) की पंक्तियाँ मौजूद हैं ताकि कोई संख्या किसी भी कॉलम में दो बार दिखाई न दे, और प्रत्येक जोड़ी की पंक्तियों के लिए सभी कॉलमों द्वारा दिए गए जोड़े अलग-अलग हैं?$k$$n(n-1)$
2. वहाँ मौजूद है लंबाई की पंक्तियों एन 2 तो पंक्तियों की एक जोड़ी के लिए, स्तंभों द्वारा दिए गए सभी आदेश दिया जोड़े अलग हैं?$k$$n^2$

उसकी टिप्पणी शो में त्सुयोशी के अवलोकन है कि अगर आप कुछ मूल्य प्राप्त कर सकते हैं प्रश्न (1) के लिए, आप एक ही मूल्य प्राप्त कर सकते हैं कश्मीर प्रश्न (2) के लिए। अब हम दिखाते हैं कि यदि हम प्रश्न के लिए कुछ मान k (2) प्राप्त कर सकते हैं, तो हम प्रश्न 1 (1) के लिए मान k - 1 प्राप्त कर सकते हैं । इस प्रकार, इन दोनों प्रश्नों का उत्तर लगभग एक ही है।$k$$k$$k$$k-1$

निर्माण के रूप में इस प्रकार है: पहली पंक्ति पर ध्यान न दें, को छोड़कर डाल सभी 'पहली में एस एन पदों। अब आप प्रत्येक k - 1 शेष पंक्तियों के मानों { 1 , 2 , … , n } के क्रमबद्धता को लागू कर सकते हैं ताकि, पहली प्रविष्टि को छोड़कर, प्रत्येक पहले n कॉलम में समान मान हों, और Tsuyoshi के अवलोकन द्वारा टिप्पणी में, यह आपको k - 1 पंक्तियों का एक सेट देता है जो आपकी स्थिति को संतुष्ट करता है।$1$$n$$\lbrace 1, 2, \ldots, n \rbrace$$k-1$$n$$k-1$

अब, यदि आपके पास प्रत्येक स्तंभ में सभी आदेशित जोड़े वाली पंक्तियों की प्रत्येक पंक्तियों के साथ लंबाई n 2 की पंक्तियों का एक सेट है , तो यह k - 2 orthogonal लैटिन वर्गों के एक सेट के बराबर है । पंक्तियों में से प्रत्येक 3 , 4 , … , k एक लैटिन वर्ग देता है। लैटिन पंक्ति से संबद्ध वर्ग प्राप्त करने के लिए जे , में मूल्य डाल मैं 'पंक्ति का वें स्तंभ जे सेल जिसका निर्देशांक में आदेशित युग्म द्वारा दिया जाता है में मैं पहले दो पंक्तियों में वें स्तंभ'।$k$$n^2$$k-2$ $3$$4$$\ldots$$k$$j$$i$$j$$i$

यदि एक मुख्य शक्ति नहीं है, तो आदेश n मौजूद कितने पारस्परिक ऑर्थोगोनल लैटिन वर्ग एक प्रसिद्ध खुली समस्या है, और मुझे विश्वास नहीं है कि n - 2 ऑर्थोगोनल लैटिन वर्गों के किसी भी सेट के लिए जाना जाता है n एक प्रमुख शक्ति नहीं है। आम सहमति यह है कि ऐसे सेट मौजूद नहीं हैं। अब तक सिद्ध एकमात्र परिणाम यह है कि ऐसा सेट n = 6 के लिए मौजूद नहीं है । क्या ज्ञात है कि संख्या है कश्मीर संभव पंक्तियों की कम से कम के रूप में बढ़ता है कश्मीर = Ω ( एन सी ) कुछ के लिए $n$$n$$n-2$$n$$n=6$$k$$k=\Omega(n^c)$$c$। मेरा मानना ​​है कि क्या आदेश 10 के 8 ऑर्थोगोनल लैटिन वर्ग अभी भी खुले हैं। (यह ज्ञात है कि 9 नहीं हैं, लेकिन दो प्रश्नों के उत्तर में के संभावित अंतर के कारण, यह हमें मूल समस्या के बारे में कुछ भी नहीं बताता है।)$1$

के लिए , अधिकतम कश्मीर आप प्राप्त कर सकते हैं 3 है, और यह बदल जाता है आप किसी भी समस्या को देखकर (1) के लिए तीन पंक्तियों प्राप्त कर सकते हैं बाहर 6 × 6 एक अनुप्रस्थ, के साथ लैटिन वर्ग जिनमें से कई गैर-बराबर उदाहरण हैं । के लिए n = 10 , वहाँ दो orthogonal लैटिन वर्गों देने के निर्माण में जाना जाता है। यदि इन वर्गों में एक सामान्य ट्रांसवर्सल है, तो आप समस्या के लिए k = 4 प्राप्त कर सकते हैं (1)।$n=6$$k$$6\times 6$$n=10$$k=4$

Comments

विस्तृत विश्लेषण के लिए धन्यवाद, प्रो। शोर! इसलिए इस तर्क से, 1) यदि MOLS का कोई सेट मौजूद नहीं है , तो हम दावा कर सकते हैं कि मूल समस्या n के लिए संभव नहीं है । 2) यदि n - 1 मोल्स का एक सेट मौजूद है , तो हम मूल समस्या को हल कर सकते हैं n के लिए संभव है । चूंकि n एक प्रमुख शक्ति है, इसलिए n - 1 MOLS का एक सेट मौजूद है , यह इटो के आंशिक समाधान का एक वैकल्पिक दृश्य देता है। और हमने पाया है कि मूल समस्या n = 6 होने पर संभव नहीं है । वास्तव में सराहनीय है! $n - 2$$n$$n - 1$$n$$n$$n - 1$$n = 6$

— साइकर

यह एक बहुत अच्छा कनेक्शन है। जवाब के लिए धन्यवाद! एक मामूली बात: विकिपीडिया के अनुसार, यह ज्ञात है कि n for 1 ऑर्थोगोनल लैटिन वर्ग n प्रधानमंत्री के लिए मौजूद है, न केवल n प्रधानमंत्री के लिए।

— त्सुयोशी इतो

@ त्सुयोशी - उफ़। मैं जानता था कि; मैंने इसे गलत कहा। निर्माण परिमित क्षेत्रों से आता है। सुधारों के लिए धन्यवाद। अब इसे ठीक कर रहे हैं।

— पीटर शोर

मैंने यही अंदाज़ लगाया था। :)

— त्सुयोशी इटो

Answer 2

यह एक आंशिक समाधान है। ऐसी मैट्रिक्स मौजूद है यदि n एक प्रमुख शक्ति है।

आज्ञा देना एफ परिमित क्षेत्र के आदेश n । हम एक n × n ( n )1) मैट्रिक्स का निर्माण करते हैं, जिनकी पंक्तियों को F द्वारा लेबल किया जाता है , जिनके कॉलम ( F × {0}) × F द्वारा लेबल किए जाते हैं , और जिनकी प्रविष्टियाँ F के अनुसार होती हैं: i -th row लेबल वाले कॉलम ( एक , ख ) द्वारा दिया जाता है ऐ + ख । शब्दों में, प्रत्येक स्तंभ एफ में एक डिग्री-एक बहुपद से मेल खाता है । फिर प्रत्येक कॉलम में F का प्रत्येक तत्व होता है एक बार में, और किसी भी दो कॉलम में एक से अधिक पंक्ति में समान प्रविष्टियाँ नहीं होती हैं क्योंकि दो अलग-अलग डिग्री-एक बहुपद के मान एक बिंदु पर सबसे अधिक मेल खाते हैं।

(यदि आप एक मैट्रिक्स जिसकी प्रविष्टियों में हैं चाहते हैं {1, ..., n } बजाय में की एफ , के तत्वों की जगह एफ के साथ {1, ..., n } मनमाने ढंग से।)

Comments

यह MUBs जैसा दिखता है। मुझे लगता है कि आपके निर्माण का उपयोग MUB के निर्माण के लिए किया जा सकता है , MUBs विकिपीडिया लेख पर "Galois फ़ील्ड्स का उपयोग करने के लिए एकात्मक ऑपरेटर विधि" के समान । क्या इस सवाल और MUBs के बीच गहरा संबंध है? $n + 1$

— Artem Kaznatcheev

@ आर्टेम: इस प्रश्न को विशेष रूप से ऑर्थोगोनल लैटिन वर्गों से जोड़ने वाला पीटर का उत्तर हो सकता है। (डिस्क्लेमर: मेरे गैर-विशेषज्ञ दृष्टिकोण में, ऑर्थोगोनल लैटिन वर्ग, एमयूबी, कॉम्बिनेटरियल डिजाइन, एकात्मक डिजाइन और एसआईसी-पीओवीएम लगभग अप्रभेद्य हैं।)

— त्सुयोशी इटो

बहुत धन्यवाद, इतो! यह डिजाइन वास्तव में सुंदर लग रहा है!

— साइकर