एक ग्राफ में अधिकतम असंतुलन?

आज्ञा देना $G$ एक जुड़ा ग्राफ $G = (V,E)$ नोड्स $V = 1 \dots n$ और किनारों $E$ । चलो $w_i$ ग्राफ के (पूर्णांक) वजन निरूपित $G$ के साथ, $\sum_i w_i = m$ ग्राफ में कुल वजन। औसत वजन प्रति नोड तो है $\bar w = m/n$ । चलो $e_i = w_i - \bar w$ निरूपित नोड का विचलन $i$ मतलब से । हम बुलाते हैंनोड $|e_i|$ काअसंतुलन $i$ ।

मान लीजिए कि किसी भी दोनों के बीच वजन आसन्न नोड्स ज्यादा से ज्यादा से अलग कर सकते हैं $1$ , यानी,

w_{i} - w_{j} \leq 1 \forall (i, j) \in E .

$w_i - w_j \le 1\; \forall (i,j) \in E.$

प्रश्न : $n$ और संदर्भ में नेटवर्क का सबसे बड़ा संभव असंतुलन क्या हो सकता है $m$ ? अधिक सटीक होने के लिए, वेक्टर $\vec{e} = (e_1, \dots, e_n)$ । मैं विषय में परिणाम के साथ समान रूप से सामग्री होगी $||\vec{e}||_1$ या $||\vec{e}||_2$ ।

के लिए $||\vec{e}||_\infty$ , ग्राफ व्यास के संदर्भ में एक सरल बाध्य पाया जा सकता है: चूंकि सभी $e_i$ को शून्य के लिए योग करना चाहिए, अगर कोई बड़ा सकारात्मक $e_i$ , तो कहीं न कहीं नकारात्मक होना चाहिए $e_j$ । इसलिए उनका अंतर $|e_i - e_j|$ कम से कम है $|e_i|$ , लेकिन यह अंतर नोड्स $i$ और बीच सबसे कम दूरी पर हो सकता है $j$ , जो बदले में ज्यादातर ग्राफ व्यास पर हो सकता है।

मैं मजबूत सीमा में दिलचस्पी रखता हूं, अधिमानतः $1$ या $2$ नोर्म के लिए। मुझे लगता है कि ग्राफ की कनेक्टिविटी को प्रतिबिंबित करने के लिए इसमें कुछ वर्णक्रमीय ग्राफ़ सिद्धांत शामिल होना चाहिए। मैंने बिना किसी लाभ के इसे अधिकतम-प्रवाह समस्या के रूप में व्यक्त करने की कोशिश की।

संपादित करें: अधिक स्पष्टीकरण। मुझे $1$ - या - में दिलचस्पी है, $2$ क्योंकि वे अधिक असंतुलन को सही ढंग से दर्शाते हैं। से एक तुच्छ रिश्ता प्राप्त होगा $||\vec{e}||_1 \leq n|||\vec{e}||_\infty$ , और । हालाँकि, मैं उम्मीद करता हूं कि ग्राफ के जुड़ाव और मेरे अवरोध के कारण आसन्न नोड्स के बीच भार के अंतर में, कि- और-नॉर्म बहुत छोटे होने चाहिए। $||\vec{e}||_2 \leq \sqrt{n}||\vec{e}||_\infty$ $1$ $2$

उदाहरण: हाइपरक्यूब ऑफ डाइमेंशन d, । इसका व्यास । तब अधिकतम असंतुलन अधिकतम पर होता है । यह -norm लिए ऊपरी बाउंड के रूप में सुझाव देता है । अब तक, मैं एक स्थिति है जहाँ यह वास्तव में प्राप्त किया जाता है का निर्माण करने में असमर्थ रहे हैं, सबसे अच्छा मैं कर सकता हूँ की तर्ज पर कुछ है $n = 2^d$ $d = \log_2(n)$ $d$ $1$ $nd = n\log_2(n)$ $||\vec{e}||_1 = n/2$ , जहां मैं हाइपरक्यूब में एक चक्र को एम्बेड करता हूं और नोड्स में , , , आदि असंतुलन होता है , इसलिए, यहां बाउंड एक कारक द्वारा बंद है , जिसे मैं पहले से ही बहुत अधिक मानता हूं, जैसा कि मैं मैं (asymptotically) तंग सीमा के लिए देख रहा हूँ। $0$ $1$ $0$ $-1$ $\log(n)$

graph-theory co.combinatorics spectral-graph-theory

— Lagerbaer
स्रोत

दिलचस्प सवाल। क्या कोई विशेष अनुप्रयोग है?

— सुरेश वेंकट

@ एंड्रस सलामोन: संपादन के लिए धन्यवाद। @ सुरेश वेंकट: मान लीजिए कि वज़न समान आकार के एजेंटों की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, जो अपने अनुभवी भार को कम करना चाहते हैं। वे

से

ओर बढ़ना चाहते हैं यदि

। अगर कोई नहीं चलना चाहता है, तो हम इसे नैश संतुलन कहते हैं। प्रश्न: एक नैश संतुलन में हम सबसे बड़ा कुल असंतुलन क्या हो सकता है?

i

$i$

j

$j$

w_{i} > w_{i}

$w_i > w_i$

— लाजबेर

क्या आपके पास एक ग्राफ का उदाहरण है जहां आपका सरल व्यास बहुत अधिक ढीला है?

— mhum

खैर, मैं तुच्छ रूप से अन्य दो मानदंडों का उपयोग करके बाध्य कर सकता हूँ

। मैं

- या

में दिलचस्पी रहा हूँ, क्योंकि वे अधिक सटीक रूप से "कुल" असंतुलन को पकड़ते हैं। मैंने अपने प्रश्न के लिए एक उदाहरण जोड़ा है।

| | \vec{e} | |_{1} \leq n | | \vec{e} | |_{\infty}

$||\vec{e}||_1 \leq n||\vec{e}||_\infty$

1

$1$

2

$2$

— लैगबेर

हाइपरक्यूब के लिए, क्या होगा यदि हम अपने हेमिंग के वजन से शीर्षों को तौलते हैं? मुझे

जैसा कुछ मिलता है

के लिए

, और मुझे लगता है कि

आदेश की हो जाएगा

।

\sqrt{d (n - 2)} / 2

$\sqrt{d(n - 2)}/2$

l_{2}

$l_2$

l_{1}

$l_1$

n d

$nd$

— Artem Kaznatcheev

जवाबों:

चूंकि द्वारा व्यास घिरा है , आदर्श तुच्छता से घिरा होने जा रही है , वैसे ही के लिए आदर्श, के अलावा $|e_i|$ $d$ $\ell_1$ $nd$ $\ell_2$ (वास्तव मेंआदर्श से घिरा है)। $\sqrt{n}d$ $\ell_p$ $n^{1/p}d$

मामला पता चला है विश्लेषण करने के लिए आश्चर्यजनक रूप से आसान हो सकता है। $\ell_1$

एक पथ के लिए, यह देखने के लिए इतना आसान है है , तो आप किसी भी बेहतर नहीं कर सकता से । $\|\vec e\|_1$ $O(n^2)$ $O(nd)$

एक पूर्ण के लिए -ary पेड़, आप रूट पर आधे में विभाजित कर सकते हैं, की स्थापना , एक तरफ आरोही और अन्य उतरते जब तक पत्ते है , फिर से रहा है। $k$ $w_{\text{root}} = 0$ $|e_i| = |w_i| = \log_k n$ $O(n\log_k n) = O(nd)$

एक गुत्थी के लिए यह वास्तव में मायने नहीं रखता कि आप कैसे वज़न वितरित करते हैं, क्योंकि वे सभी एक-दूसरे के के भीतर होंगे , और इससे फिर से प्राप्त होगा। $1$ $O(n) = O(nd)$

जब आपको पता चलता है कि हम यहां किस बारे में बात कर रहे हैं, तो एक फ़ंक्शन , और फिर हम इसका ले रहे हैं मानदंड, जब तक आप मनमाने ढंग समान रूप से वज़न वितरित कर सकते हैं समान रूप से सीमा । $e : \mathbb{Z} \to [-d/2,d/2] \subset \mathbb{R}$ $\ell_1$ $e_i \in [-d/2,d/2]$ $O(nd)$

इसे बदलने का एकमात्र तरीका जन के साथ खेल खेलना है। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास आवश्यक रूप से संतुलित बिंदुओं पर कई विशालकाय गुटके हैं, जैसे कि एक विशाल गुच्छी जिसमें से समान लंबाई के दो रास्ते निकलते हैं, तो आप केवल (उदाहरण के लिए) सीमा पर भरोसा कर सकते हैं । $O(d^2)$

यह विस्तारकों के लिए कुछ हद तक सही हो सकता है, लेकिन मुझे यकीन नहीं है। मैं एक ऐसे मामले की कल्पना कर सकता हूं जहां आप एक नियमित ग्राफ में सेट और फिर प्रत्येक हॉप से मूल्यों को बाद में बढ़ने देते हैं। ऐसा लगता है कि इसका मतलब संभवतः सबसे अधिक द्रव्यमान हो सकता है, लेकिन मुझे नहीं पता कि क्या यह बाध्य को प्रभावित करने के लिए पर्याप्त होगा। $w_1 = 0$

मुझे लगता है कि आप इसी तरह बारे में तर्क दे सकते हैं । $\ell_2$

संपादित करें:

टिप्पणी में हम एक (ढीला) पता लगा के लिए बाध्य समस्या की कमी और कुछ बुनियादी वर्णक्रमीय ग्राफ सिद्धांत का उपयोग कर। $\ell_2$ $O(|E|/\lambda_2(L))$

— जोसफीन म्यूलर
स्रोत

मुझे आपका जवाब पसंद है। हालाँकि, मुझे एक समस्या है " जब तक आप मनमाने ढंग से समान सीमा में वजन वितरित कर सकते हैं "। क्या मैं ऐसी स्थिति की कल्पना नहीं कर सकता, जहाँ व्यास बंध मुझे कहीं पर वजन है, लेकिन फिर ग्राफ की संरचना ऐसी है कि मैं संभवतः इस बड़े सकारात्मक भार की भरपाई नहीं कर सकता? तो, जबकि निश्चित रूप से है एक ऊपरी बाध्य है, यह तंग सीमा प्राप्त करने के लिए संभव हो सकता है? आखिरकार दूसरे सबसे छोटे लाप्लासियन ईजेनवेल्यू या दूसरे सबसे बड़े आसन्न ईजेनवेल्यू (जैसा कि वे कनेक्टिविटी जानकारी को एन्कोड करते हैं) का उपयोग कर रहे हैं?

e_{i} = d / 2

$e_i = d/2$

O (n d)

$\mathcal{O}(nd)$

— लाजबेर 20

खैर आप नहीं रख रहे हैं , आप रख रहे हैं । इसलिए यदि आपके पास एक तिरछा , तो बड़ी संख्या में छोटे वज़न होने चाहिए जो कि इसका मतलब के दूसरी तरफ क्षतिपूर्ति करते हैं, या कुछ अन्य बड़े वजन वाले व्यास का विरोध करते हैं। एक ही रास्ता है कि आप तुलना में एक बाउंड छोटा पा सकते हैं , किसी भी तरह संरचना पर भरोसा करना है। और जैसा मैंने कहा, मुझे यकीन नहीं है कि इसका मतलब क्या होगा, एक विस्तारक कहते हैं। मुझे नहीं लगता कि आप इसे पूरी तरह से चालन के आधार पर कर सकते हैं, क्योंकि उन मामलों के कारण जो मैंने अपने उत्तर में दिए थे।

e_{i}

$e_i$

w_{i}

$w_i$

e_{i}

$e_i$

O (n d)

$O(nd)$

— जोसेफिन म्यूलर 20

एक और उदाहरण पेश करता हूं। दो समूहों के साथ एक डंबल ग्राफ में बहुत कम चालकता होती है, लेकिन इसका असंतुलन 2 से होता है

— जोसेफिन म्यूलर

एक बाउंड जो कि संरचना से संबंधित है, ऐसा कुछ होगा जिससे मैं पूरी तरह से खुश रहूंगा। यही कारण है कि मैंने eigenvalues का उल्लेख किया, क्योंकि वे कनेक्शन गुणों से संबंधित हैं। वहाँ हैं, उदाहरण के लिए, व्यास पर सीमाएं, माध्य पथ, इसोप्रिमेट्रिक संख्या आदि, जो ग्राफ के लाप्लासियन मैट्रिक्स के दूसरे सबसे छोटे आइजनवेक्टर के संदर्भ में है।

— Lagerbaer

2 / n

$2/n$

$|w_i - 1/n\sum_k w_k|$ $w_k$ $w_k - v_1 + v_1 - v_2 + v_2 - ... - v_k + v_k - w_i + w_i$ $w_k, v_1,...,v_k, w_i$ $w_i$ $w_k$ $w_{ki} = w_k - v_1 + v_1 - v_2 + v_2 - ... - v_k + v_k - w_i$

| w_{i} - 1 / n \sum_{k} w_{k} | = | w_{i} - 1 / n \sum_{k} (w_{k i} + w_{i}) | = | \sum_{k \neq i} \frac{w_{k i}}{n} |

$|w_i - 1/n\sum_k w_k| = |w_i - 1/n\sum_k (w_{ki} + w_i)| = |\sum_{k\neq i} \frac{w_{ki}}{n}|$

$w_{ki}$ $i$ $k$ $w_i - w_j \leq 1$ $i,j\in E$

| w_{i} - 1 / n \sum_{k} w_{k} | \leq \frac{(n - 1)}{n} D

$|w_i - 1/n\sum_k w_k| \leq \frac{(n-1)}{n} D$

$k$ $D+1$ $k$ $n$ $m$ $D+1$ $D$

— निकोलस राउजी
स्रोत

D < \infty

$D<\infty$

0

$0$

0

$0$

k

$k$

k (n - 1) / n

$k(n-1)/n$

k

$k$

n

$n$

k

$k$ वांछित के रूप में बड़े रूप में बनाया जा सकता है।

— एन्द्र दास सलामन

G

$G$

| | \vec{e} | |_{\infty}

$||\vec{e}||_\infty$