आज्ञा देना एक जुड़ा ग्राफ नोड्स और किनारों । चलो ग्राफ के (पूर्णांक) वजन निरूपित के साथ, ग्राफ में कुल वजन। औसत वजन प्रति नोड तो है । चलो निरूपित नोड का विचलन मतलब से हूँ । हम बुलाते हैंनोडकाअसंतुलन ।
मान लीजिए कि किसी भी दोनों के बीच वजन आसन्न नोड्स ज्यादा से ज्यादा से अलग कर सकते हैं , यानी,
प्रश्न : और संदर्भ में नेटवर्क का सबसे बड़ा संभव असंतुलन क्या हो सकता है ? अधिक सटीक होने के लिए, वेक्टर । मैं विषय में परिणाम के साथ समान रूप से सामग्री होगी या ।
के लिए , ग्राफ व्यास के संदर्भ में एक सरल बाध्य पाया जा सकता है: चूंकि सभी को शून्य के लिए योग करना चाहिए, अगर कोई बड़ा सकारात्मक , तो कहीं न कहीं नकारात्मक होना चाहिए । इसलिए उनका अंतर कम से कम है , लेकिन यह अंतर नोड्स और बीच सबसे कम दूरी पर हो सकता है , जो बदले में ज्यादातर ग्राफ व्यास पर हो सकता है।
मैं मजबूत सीमा में दिलचस्पी रखता हूं, अधिमानतः या नोर्म के लिए। मुझे लगता है कि ग्राफ की कनेक्टिविटी को प्रतिबिंबित करने के लिए इसमें कुछ वर्णक्रमीय ग्राफ़ सिद्धांत शामिल होना चाहिए। मैंने बिना किसी लाभ के इसे अधिकतम-प्रवाह समस्या के रूप में व्यक्त करने की कोशिश की।
संपादित करें: अधिक स्पष्टीकरण। मुझे - या - में दिलचस्पी है, क्योंकि वे अधिक असंतुलन को सही ढंग से दर्शाते हैं। से एक तुच्छ रिश्ता प्राप्त होगा , और । हालाँकि, मैं उम्मीद करता हूं कि ग्राफ के जुड़ाव और मेरे अवरोध के कारण आसन्न नोड्स के बीच भार के अंतर में, कि1- और2-नॉर्म बहुत छोटे होने चाहिए।
उदाहरण: हाइपरक्यूब ऑफ डाइमेंशन d, । इसका व्यास d = log 2 ( n ) है । तब अधिकतम असंतुलन अधिकतम d पर होता है । यह 1 -norm n d = n लॉग 2 ( n ) के लिए ऊपरी बाउंड के रूप में सुझाव देता है । अब तक, मैं एक स्थिति है जहाँ यह वास्तव में प्राप्त किया जाता है का निर्माण करने में असमर्थ रहे हैं, सबसे अच्छा मैं कर सकता हूँ की तर्ज पर कुछ है | | → ई | | 1 = एन / 2, जहां मैं हाइपरक्यूब में एक चक्र को एम्बेड करता हूं और नोड्स में , 1 , 0 , - 1 आदि असंतुलन होता है , इसलिए, यहां बाउंड लॉग ( एन ) के एक कारक द्वारा बंद है , जिसे मैं पहले से ही बहुत अधिक मानता हूं, जैसा कि मैं मैं (asymptotically) तंग सीमा के लिए देख रहा हूँ।