ग्राफ से हाइपरग्राफ तक जाने में मूल कठिनाइयाँ क्या हैं?

Question

कॉम्बीनेटरिक्स और कंप्यूटर विज्ञान में कई उदाहरण हैं जहां हम एक ग्राफ-सिद्धांत समस्या का विश्लेषण कर सकते हैं लेकिन समस्या के हाइपरग्राफ एनालॉग के लिए, हमारे उपकरणों की कमी है। आपको क्यों लगता है कि समस्याएँ 2-समान ग्राफ़ की तुलना में 3-समान हाइपरग्राफ की तुलना में अक्सर अधिक कठिन हो जाती हैं? जड़ कठिनाइयाँ क्या हैं?

एक मुद्दा यह है कि हम अभी तक वर्णक्रमीय हाइपरग्राफ सिद्धांत की संतोषजनक समझ नहीं रखते हैं। कृपया इस मुद्दे पर अधिक प्रकाश डालने के लिए स्वतंत्र महसूस करें। लेकिन मैं अन्य कारणों की भी तलाश कर रहा हूं जो हाइपरग्राफ को अधिक कठिन वस्तु बनाते हैं।

Comments

मुझे आश्चर्य है कि यह 2 डी से 3 डी तक जाने वाली ज्यामितीय समस्याओं की जटिलता ( cstheory.stackexchange.com/questions/5251/… ) के बारे में हाल की चर्चा से संबंधित है । मेरे कहने का कारण यह है कि आप किनारों को 2-समान ग्राफ़ में 2 डी जाली पर स्थानों के साथ जोड़ सकते हैं, जबकि 3-समान हाइपरग्राफ के बाद 3 डी जाली में स्थानों के अनुरूप हाइपरजेस होगा।

— जो फिट्जसिमोंस

@ जो फित्ज़िमन्स: अच्छी बात है। लेकिन ऐसी अवधारणाएं और तकनीकें जो (हाइपर) ग्राफ सेटिंग में स्वाभाविक हैं, जैसे कि सबग्राफ, रंग, विभाजन, आदि, ज्यामितीय सेटिंग में यह स्वाभाविक नहीं हो सकता है। इसके अलावा, मैं आपसे सहमत हूं कि कई क्षेत्रों में "टू-थ्री" संक्रमण है।

— अर्नब

आपका प्रश्न कठिन है क्योंकि संतोषजनक उत्तर पी बनाम एनपी समस्या को हल करेगा। ध्यान दें कि 2-समान ग्राफ़ के लिए सही मिलान आसान है जबकि 3-समान हाइपरग्राफ के लिए यह कठिन है।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

क्या हाइपरग्राफ एक अच्छी तरह से परिभाषित अवधारणा है? (एक बात के लिए इस साइट वर्तनी जाँचक को इसके बारे में पता नहीं है :-) क्या यह निश्चित या परिवर्तनीय धमनी का संबंध है?

— तेगिरी नेनाशी

ठीक है, विकिपीडिया पर जाने के बाद, मैं देखता हूं कि यह वास्तव में एक संबंध नहीं है, लेकिन सेटों का परिवार है। क्या मुख्यधारा की गणित इस "हाइपरग्राफ" अवधारणा को गंभीरता से लेती है?

— तेगिरी नेनाशी

Answer 1

इस प्रश्न में मैं समझता हूं कि "कठिनाई" का अर्थ "गणना करने में कठिन", लेकिन "अध्ययन करने में कठिन" नहीं है।

ग्राफ़ की समस्याएं आसान हैं (कम से कम मेरे लिए) अध्ययन करने के लिए क्योंकि कुछ अवधारणाएं समकक्ष होती हैं। दूसरे शब्दों में, यदि आप हाइपरग्राफ के लिए ग्राफ़ के लिए प्रश्नों को सामान्यीकृत करना चाहते हैं, तो आपको "सही" सामान्यीकरण पर ध्यान देने की आवश्यकता है ताकि वांछित परिणाम प्राप्त किया जा सके।

उदाहरण के लिए, एक पेड़ पर विचार करें। रेखांकन के लिए, एक ग्राफ एक पेड़ है अगर यह जुड़ा हुआ है और इसमें कोई चक्र नहीं है। यह जुड़ा होने और एन -1 किनारों (जहां एन कोने की संख्या है) के बराबर है, और यह भी बिना किसी चक्र के समतुल्य है और एन -1 किनारों वाले हैं। हालाँकि, 3-समान हाइपरग्राफ के लिए, मान लें कि 3-समान हाइपरग्राफ एक पेड़ है यदि यह जुड़ा हुआ है और इसमें कोई चक्र नहीं है। लेकिन, यह जुड़ा होने और एन -1 हाइपरेजेज होने के बराबर नहीं है, न ही कोई चक्र होने और एन -1 हाइपरेजेज होने के बराबर नहीं है।

मैंने सुना है कि मुख्य हाइपरग्राफ के लिए नियमितता लेम्मा साबित करने के लिए एक मुख्य कठिनाई थी नियमितता और संबंधित अवधारणाओं की सही परिभाषा के साथ आना।

जब आप "वर्णक्रमीय हाइपरग्राफ सिद्धांत" पर विचार करना चाहते हैं, तो आप टेनर्स में या होमोलॉजी में देखने की कोशिश कर सकते हैं यदि आप एक के-यूनिफॉर्म हाइपरग्राफ को (k-1) -डिमेंक्शनल सिंपल कॉम्प्लेक्स के रूप में देखते हैं, जिसमें से रेखीय बीजगणित स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है। मुझे नहीं पता कि आपके उद्देश्य के लिए "सही" सामान्यीकरण है, या यह संभव है कि न तो सही है।

Answer 2

मुझे लगता है कि यह लॉलर की "रहस्यमय शक्ति की ट्वीनस" के कारण बड़े हिस्से में है (यह अवलोकन कि पैरामी 2 के लिए पी और = 2 के लिए एनपी-पूर्ण में कई पैरामीटर वाली समस्याएं हैं)। एक ग्राफ़ एक ऐसी चीज़ है जो 2-टुपल्स को कोने से जोड़ती है, और एक हाइपरग्राफ एक ऐसी चीज़ है जो k-3 के लिए k-tuples को कोने से जोड़ती है।

तो, उदाहरण के लिए, 2-SAT पी में है, और अनिवार्य रूप से एक ग्राफ समस्या है, जबकि 3-एसएटी 3-समान हाइपरग्राफ पर एक समस्या है और एनपी-पूर्ण है।

Comments

अधिक सटीक होने के लिए, मेरा मतलब था कि यदि कोई व्यक्ति ग्राफ़िक्स-सिद्धांत संबंधी तकनीकों को तोड़ता है, तो कुछ मूलभूत कारणों की पहचान कर सकता है। उदाहरण के लिए, हमारे पास वास्तव में हाइपरग्राफ के लिए रैखिक-बीजीय विधियां नहीं हैं क्योंकि टेंसर रैंक अच्छी तरह से समझ में नहीं आती है (उदाहरण के लिए, यह गणना करने के लिए एनपी-कठिन है)।

— अर्नब

मेरे उत्तर की मंशा इतनी अधिक नहीं थी "इन समस्याओं को हल करने के लिए कंप्यूटर के लिए कठिन हैं" बल्कि यह है कि पी / एनपीसी के बीच एक मजबूत सहसंबंध है और अच्छा गणितीय लक्षण होने / नहीं होने के बीच। इसलिए समस्याएँ कठिन हो जाती हैं कि एनडीएम बनने के साथ ही उन्हें अध्ययन करना पड़ता है।

— डेविड एप्पस्टीन

इस संदर्भ में, हाल ही में पोस्ट किया गया सवाल cstheory.stackexchange.com/questions/14950/… काफी दिलचस्प है: 2-हाइपरग्राफ की लाइन ग्राफ को पहचानना, यानी, (मल्टी ग्राफ) के लाइन ग्राफ, पी में है, जबकि लाइन ग्राफ को पहचानना 3-हाइपरग्राफ एक खुली समस्या लगती है। यह भी ध्यान दें कि 3-हाइपरग्राफ (निषिद्ध प्रेरित उपसमूहों द्वारा) के लिए लक्षण वर्णन समस्या अभी भी खुली है, जबकि (बहु) रेखांकन के रेखांकन इस तरह के कई वर्णनों को स्वीकार करते हैं।

— vb le

Answer 3

एक और कारण यह होगा कि हमें बाइनरी संबंधों में 2 से अधिक एन के लिए किसी भी अन्य एन-आर्य संबंधों की तुलना में अधिक ज्ञान है ।

स्वाभाविक रूप से हम वस्तुओं के बीच के द्विआधारी संबंधों पर विचार करते हैं, जैसे आसन्न, गैर रिक्त चौराहा, तुल्यता, आदि। इसलिए हम द्विआधारी संबंधों के संदर्भ में रेखांकन को परिभाषित कर सकते हैं, और यहां तक ​​कि किसी अन्य ग्राफ पर द्विआधारी संबंध के आधार पर ग्राफ को परिभाषित कर सकते हैं। (उदाहरण के लिए, रेखा रेखांकन, गुच्छेदार वृक्ष, वृक्षों का विघटन ...)

लेकिन अन्य एन-आर्य संबंधों के लिए, हमारे पास ज्यादा समझ नहीं है। उदाहरण के लिए, एक दिलचस्प टर्नरी संबंध के साथ आने में कुछ समय लगता है; (ठीक है, आंशिक रूप से मेरी अज्ञानता के कारण) गुण कमजोर हैं और औज़ार संबंधों के अध्ययन में उपकरण बहुत कम हैं। (हम सममित या सकर्मक टर्नरी संबंधों को कैसे परिभाषित करते हैं ? दोनों सबसे महत्वपूर्ण संबंधों में से एक हैं जो अध्ययन कर सकते हैं।)

लेकिन फिर भी मुझे नहीं पता कि बाइनरी और टर्नरी संबंधों के बीच ऐसा क्यों होता है। शायद जैसा कि टर्कीस्टनी ने कहा कि यह प्रश्न कठिन है और पी / एनपी समस्या की समझ से संबंधित हो सकता है।

Comments

[बेलनाकार और बहुपद बीजगणित के बावजूद] एन-आर्य संबंधों के लिए कोई सम्मोहक बीजगणित नहीं है। बहस को उस स्तर पर भी उतारा जा सकता है जब एक तर्क स्थिति बनाम संबंध विशेषताओं के लिए दृष्टिकोण का नाम दिया जाता है।

— तेगिरी नेनाशी

Answer 4

मैं पहली बार गलत प्रश्न का उत्तर देने जा रहा था: "समस्याओं का कौन सा उदाहरण ग्राफ़िक्स की तुलना में हाइपरग्राफ में बहुत कठिन है"। मैं विशेष रूप से रेखांकन में अधिकतम मिलान समस्या से निपटने में अंतर से प्रभावित था, और हाइपरग्राफ (जोड़ीदार नापसंद किनारों का एक सेट) के साथ ही, जो बहुत आसानी से रंग, अधिकतम स्वतंत्र सेट, अधिकतम क्लिक मॉडल कर सकता है ...

तब मैंने देखा कि यह आपका सवाल नहीं था: "दोनों के बीच मूल कठिनाइयाँ क्या हैं?"।

खैर, उस एक के लिए मैं जवाब दूंगा कि अब तक मैंने ग्राफ़ और हाइपरग्राफ के बीच बहुत सामान्य बिंदु नहीं देखे हैं। नाम को छोड़कर। और यह तथ्य कि बहुत से लोग पहले से दूसरे तक परिणामों को "विस्तारित" करने की कोशिश कर रहे हैं।

मेरे पास बर्ज के "हाइपरग्राफ" और बोलोबास के "सेट सिस्टम" के पृष्ठों को पलटने का अवसर था: उनमें कई स्वादिष्ट परिणाम हैं, और जिन लोगों ने मुझे सबसे दिलचस्प पाया, उनमें ग्राफ़ के बारे में कुछ कहना था। उदाहरण के लिए बरनई की प्रमेय (जुकना की पुस्तक में एक अच्छा प्रमाण है)।

मैं उनमें से बहुत कुछ नहीं जानता, लेकिन मैं अभी एक हाइपरग्राफ समस्या के बारे में सोच रहा हूं और मैं इसके बारे में केवल इतना कह सकता हूं कि मुझे कोई भी ग्राफ कहीं भी नहीं लगता है। शायद हम उन्हें "मुश्किल" मानते हैं क्योंकि हम उन्हें गलत उपकरणों के साथ अध्ययन करने की कोशिश कर रहे हैं। मुझे उम्मीद नहीं है कि मैं नंबर की थ्योरी (भले ही ऐसा कभी-कभी हो) का उपयोग करके ग्राफ़ की समस्याओं को तुरंत गायब कर रहा हूं।

ओह, और कुछ और। वे शायद अध्ययन के लिए कठिन हैं क्योंकि वे बहुत अधिक हैं .... अधिक!

"उन सभी को आज़माएं और देखें कि यह कब काम करता है" कभी-कभी रेखांकन के लिए एक अच्छा विचार है, लेकिन हाइपरग्राफ के साथ यह जल्दी से संख्याओं द्वारा विनम्र हो जाता है। :-)