संख्या विभाजन के एक विशेष मामले की एनपी-कठोरता

Question

निम्नलिखित समस्या पर विचार करें,

• पॉजिटिव संख्याओं के एक सेट को देखते हुए जिसमें एक स्थिरांक है, हम सेट को आकार सबसेट में विभाजित करना चाहते हैं ताकि प्रत्येक के योग का उत्पाद सबसेट अधिकतम है।$n = k m$$\{ a_1, \dots, a_n \}$$k \ge 3$$m$$k$

समस्या अच्छी तरह से ज्ञात मार्ग संख्या विभाजन के समान है, सिवाय इसके कि हम प्रत्येक विभाजन में संख्याओं की संख्या पर सीमा रखते हैं। के लिए निम्नलिखित सरल बहुपद एल्गोरिथ्म प्रस्तावित किया जा सकता,$m$$k = 2$

• मान लें कि संख्याएँ क्रमबद्ध हैं, अर्थात । फिर, के लिए असाइन सबसेट के लिए , के लिए , यह सबसेट को असाइन ।$a_1<a_2<...<a_n$$i≤m$$a_i$$i$$i>m$$n−i+1$

यह देखना मुश्किल नहीं है कि एल्गोरिथ्म क्यों काम करता है। बस दो मनमाने डिब्बे उठाओ। संख्या में कोई भी स्वैप उत्पाद की मात्रा में वृद्धि नहीं करेगा।

लेकिन बड़े लिए , मुझे आश्चर्य है कि क्या समस्या को बहुपद समय में हल किया जा सकता है या नहीं? अगर कोई इसे np- कठोरता दिखा सकता है तो मैं भी आभारी रहूँगा।$k$

नोट: जब मैं वायरलेस नेटवर्क में शेड्यूलिंग समस्या पर काम कर रहा था तो मुझे समस्या का सामना करना पड़ा। मुझे समस्या को हल करने के लिए एक अच्छा अनुमानी एल्गोरिथ्म मिला। लेकिन थोड़ी देर बाद मुझे लगा कि समस्या सैद्धांतिक रूप से दिलचस्प हो सकती है।

Comments

हम्म। मैं लिए आपकी साधारण बहुपद एल्गोरिथ्म देखने के लिए इच्छुक हूं । $k=2$

— mjqxxxx

@ मोहसिन, धन्यवाद। मेरा सुझाव है कि आप इन टिप्पणियों को प्रेरणा, पृष्ठभूमि और प्रश्न में k = 2 मामले के बारे में क्या जानते हैं, शामिल हैं। यह शायद दूसरों के लिए इसे और अधिक दिलचस्प बना देगा।

— केव

मेरा अंतर्ज्ञान यह है कि प्रत्येक उपसमुच्चय के उत्पाद को अधिकतम किया जाता है जब रकम बराबर होती है या अधिकतम जोड़ीदार अंतर न्यूनतम होता है। इस धारणा के तहत, हमें 3-विभाजन से आसान कमी मिलती है जो एनपी-पूर्ण (k = 3 के लिए) है।

— मोहम्मद अल-तुर्किस्तानी

(मैंने उन दो टिप्पणियों को हटा दिया, जिन्हें मैंने कुछ घंटे पहले पोस्ट किया था, उन्हें अधिक सटीक रूप से फिर से लिखने के लिए।) जैसा कि टर्कीस्टनी ने सुझाव दिया, k- विभाजन की समस्या इस समस्या के प्रति reducible है, और इसलिए यह समस्या प्रत्येक निरंतर k≥3 के लिए NP-hard है। एकमात्र प्रासंगिक संपत्ति यह है कि रकम के उत्पाद का अधिकतम कम से कम (ia_i / k) ^ m होता है और केवल अगर संख्याओं को m सेट में विभाजित किया जा सकता है, तो प्रत्येक का आकार k के साथ होता है, जिनके sums सभी समान होते हैं। उत्पाद को हमेशा विभाजन द्वारा अधिकतम नहीं किया जाता है जो अधिकतम जोड़ीदार अंतर को कम करता है, लेकिन यह तब तक अप्रासंगिक है जब तक हम सटीक समस्या पर विचार करते हैं। (अधिक)

— त्सुयोशी इटो

(cont'd) यदि आपको मल्टीसेट के बजाय सेट होने के लिए इनपुट की आवश्यकता होती है , तो यह कमी अभी भी काम करती है क्योंकि k- विभाजन की समस्या एक सेट के साथ भी NP-पूर्ण रहती है, लेकिन सावधान रहें क्योंकि NP-पूर्णता के मानक प्रमाण 3-विभाजन की समस्या तभी काम करती है जब इनपुट को एक ही पूर्णांक को एक से अधिक बार समाहित करने की अनुमति हो। अलग-अलग संख्याओं के साथ 3-विभाजन की समस्या की कम्प्यूटेशनल जटिलता देखें (सावधानी: आत्म-प्रचार)।

— त्सुयोशी इटो

Answer 1

(यह सवाल पर मेरी टिप्पणियों का थोड़ा और विस्तृत संस्करण है।)

Turkistany प्रश्न पर एक टिप्पणी में सुझाव के रूप में, इस समस्या को हर निरंतर के लिए एनपी कठिन है कश्मीर ≥3 से कमी के कश्मीर -partition समस्या। कमी बिल्कुल भी उदाहरणों को नहीं बदलती है: बस ध्यान दें कि रकम का अधिकतम उत्पाद कम से कम ( k a _i / k ) ^{m है} यदि और केवल संख्याओं को m सेट में विभाजित किया जा सकता है तो प्रत्येक का आकार k है जिनके sums हैं सभी बराबर।

ध्यान दें कि k -partition समस्या के इनपुट को आमतौर पर किमी संख्याओं के रूप में परिभाषित किया जाता है जो सभी विशिष्ट नहीं हो सकते हैं , और यह इसकी एनपी-पूर्णता के मानक प्रमाण में आवश्यक है (जैसे कि गैरी और जॉनसन में एक )। इसलिए, ऊपर की कमी वर्तमान समस्या की थोड़ी सी सामान्यीकरण की एनपी-कठोरता साबित करती है जहां इनपुट को सेट के बजाय मल्टीसेट होने की अनुमति है। हालाँकि, इस अंतर को भरा जा सकता है क्योंकि k- प्रपंच की समस्या एनपी-पूर्ण बनी रहती है, भले ही इनपुट में संख्याएँ सभी विशिष्ट हों; k = 3 के मामले के लिए [HWW08] देखें ( सर्ज गैस्पर्स का जवाब भी देखेंदूसरे प्रश्न के लिए), जिसे k के बड़े मूल्यों के लिए आसानी से संशोधित किया जा सकता है ।

इसके अलावा, यहां बताई गई सभी चीजें एनपी-पूर्ण / एनपी-हार्ड तब भी रहती हैं, जब इनपुट में नंबर एकतरफा में दिए गए हों।

[HWW08] हीथर ह्यूलेट, टॉड जी विल, गेरहार्ड जे। वाउजिंगर। डिग्री अनुक्रमों के मल्टीग्राफ अहसास: अधिकतमकरण आसान है, न्यूनतम करना कठिन है। संचालन अनुसंधान पत्र , 36 (5): 594-596, सितंबर 2008. http://dx.doi.org/10.1016/j.orl.2008.05.004