न्यूनतम पथ को कवर करने की समस्या

हम वितरित कंप्यूटरों में काम कर रहे हैं, और हम एक जटिलता समस्या के साथ आए हैं जो एक न्यूनतम पथ को कवर करने वाली समस्या को कम करता है। वर्तमान में हम यह नहीं जानते कि इसे कैसे हल किया जाए। समस्या निम्नलिखित है:

चलो कुछ पूर्णांक होना, और एक ग्राफ युक्त होना $k$ $Z_k$ कोने। हम एक जोड़े के साथ एक शिखर लेबलऐसी है कि। इसके बाद, हम उनके लेबल का उपयोग करके शीर्षकों का नाम देते हैं। में किनारों के सेटइस प्रकार परिभाषित किया गया है: । $\frac{k(k+1)}{2}$ $(i,j)$ $1 \leq i \leq j \leq k$ $Z_k$ $\{ ((i,j),(i',j')) | i' >i \land j' \geq i \}$

का न्यूनतम पथ कवर क्या है ? $Z_k$

Ntafos एट अल द्वारा "प्रोग्राम और परीक्षण के लिए आवेदन पत्र में पथ कवर की समस्याओं पर पढ़ना"। , हमने देखा है कि न्यूनतम पथ को कवर करने वाला सबसे बड़ा अतुलनीय शीर्ष सेट के कार्डिनल के बराबर होता है। हम निम्नलिखित सेट के बारे में सोच रहे थे: जिनमें से एक कार्डिनल है $S= \{ (i,j) : i \geq k/2 \land j < k/2 \}$ । $\frac{k^2}{4}-\frac{k}{2}$

निष्ठा से,

पियरे

graph-theory co.combinatorics application-of-theory

— पियरे
स्रोत

j^{'} \geq j

$j' \ge j$

j^{'} \geq i

$j' \ge i$

Z_{k}

$Z_k$

ऐसा लगता है कि आपका ग्राफ एक सकारत्मक रूप से बंद DAG है, है ना? यदि ऐसा है (और यह शायद Ntafos एट अल के आपके उद्धरण में कहे गए का एक प्रतिबंध है) DAG को कवर करने के लिए आवश्यक पथों की न्यूनतम संख्या जोड़ीदार अतुलनीय तत्वों की अधिकतम संख्या है; यह दिलवर्थ का प्रमेय है ।

आपका उदाहरण काफी सरल हो सकता है कि कोई व्यक्ति इस अधिकतम अतुलनीय सेट को सीधे पहचान सकता है, लेकिन सामान्य तौर पर ग्राफ मिलान के आधार पर एक एल्गोरिथ्म द्वारा बहुपद में इस सेट को खोजना संभव है। दिलवर्थ के प्रमेय पर विकिपीडिया लेख के "प्रूफ़ थ्रू कोनिग प्रमेय" खंड में बताया गया है कि कैसे।

— डेविड एप्पस्टीन
स्रोत