पी = एनपी का मतलब पी = एपी (यानी पी = PSPACE) क्यों नहीं है?

Question

यह सर्वविदित है कि अगर तो बहुपद पदानुक्रम ढह जाता है और ।$\mathbf{P}=\mathbf{NP}$$\mathbf{P}=\mathbf{PH}$

यह आसानी से oracle मशीनों का उपयोग करके आसानी से समझा जा सकता है। प्रश्न है - हम वैकल्पिक प्रक्रिया को वैकल्पिक स्तर से आगे क्यों नहीं और उर्फ साबित कर सकते हैं। )?A P = P S P A C $\mathbf{P}=\mathbf{AltTime}(n^{O(1)})$$\mathbf{AP}=\mathbf{PSPACE}$

मैं एक सहज उत्तर की तलाश में हूं।

Comments

संबंधित प्रश्न भी देखें cstheory.stackexchange.com/questions/2032/… और cstheory.stackexchange.com/questions/5463/…

— András Salamon

यह ज्ञात है कि लेकिन यह संदेह है कि (यानी ) बराबर नहीं है । $\mathsf{NL} = \mathsf{coNL}$$\mathsf{AL}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NL}$

— sdcvvc

संबंधित: क्या गलत है इस प्रमाण के साथ कि NP = coNP का अर्थ है NP = PSPACE

— Kaveh

Answer 1

( ) के लिए प्रमाण एक प्रेरण है, जिसमें । प्रेरण से पता चलता है कि किसी भी प्राकृतिक संख्या , (और सिर्फ उनका मिलन है)।$\mathbf{P}=\mathbf{AltTime}(O(1))$$=\mathbf{PH}$$\mathbf{P}=\mathbf{NP}$ $k$$\mathbf{P}=\mathbf{AltTime}(k)$$\mathbf{AltTime}(O(1))$

इंडक्शन तब काम नहीं करता है जब प्रत्यायन की संख्या इनपुट आकार के साथ बदल सकती है (अर्थात जब मशीन के संभावित विकल्पों की संख्या एक संख्या नहीं है लेकिन इनपुट आकार का एक कार्य है, अर्थात हम यह नहीं दिखा रहे हैं कि मशीन का निष्पादन एक इनपुट पर बिना किसी विकल्प के कम किया जा सकता है, हम दिखा रहे हैं कि सभी इनपुटों पर मशीन का निष्पादन "बिना किसी विकल्प के" कम हो सकता है)।

आइए एक समान लेकिन सरल कथन को देखें। हम यह बताना चाहते हैं कि पहचान फ़ंक्शन अंततः सभी स्थिर कार्यों ( iff पर सभी के लिए हावी है, लेकिन बहुत सारे ) पर है। इसे प्रेरण द्वारा कहा गया सिद्ध किया जा सकता है। सभी , (यानी जहां ) है, लेकिन हमारे पास , जैसे निरंतर कार्यों के लिए यह नहीं है ।च « जी एन एफ ( एन ) ≤ जी ( एन ) कश्मीर कश्मीर « $id(n)=n$$f \ll g$$n$ $f(n) \leq g(n)$$k$$k \ll n$च कश्मीर ( एन ) = कश्मीर एन $f_k \ll id$$f_k(n)=k$$n^2$$n^2 \not \ll n$

Answer 2

इंटरैक्टिव साक्ष्यों के लिए बहुपद पदानुक्रम की पदानुक्रम के साथ तुलना करें। कुछ तय करने के लिए अगर कश्मीर , आप कश्मीर आईपी (- एक इंटरैक्टिव सबूत में alternations कश्मीर ) - अर्थात, आईपी (- जिसके परिणामस्वरूप जटिलता वर्ग क्या आप दो alternations के साथ मिल से अधिक नहीं की शक्ति है कश्मीर ) = आईपी (2 ) = एएम ( k )2 मानकर )। हालाँकि, यदि आप एक बहुपद संख्या विकल्पों की अनुमति देते हैं, तो आपको जटिलता वर्ग IP = PSPACE मिलता है, जो माना जाता है कि यह AM से बहुत बड़ा है, एक वर्ग , ₂ P में, बहुपद पदानुक्रम के दूसरे स्तर पर समाहित है । तो यह घटना वास्तव में होती है (हालांकि, अभी तक हमें पता नहीं है, बहुपद पदानुक्रम के साथ)।

ऐसा इसलिए होता है क्योंकि कमी जो IP ( k ) में आकार n की समस्या को लेती है और इसे IP में समस्या में बदल देती है (2) समस्या के आकार को बढ़ा देती है, ताकि किसी भी विशिष्ट IP ( k ) के लिए समस्या बहुपद-आकार की बनी रहे , यदि आप k को भिन्न करते हैं, तो परिणामी कमी उन समस्याओं को नहीं देती है जो k में बहुपद हैं ।

Answer 3

निरंतर और अबाधित विकल्पों के बीच के अंतर के बारे में यहां थोड़ा अंतर्ज्ञान है: एक बहुपद ऑपरेशन ने एक निरंतर संख्या को कई बार दोहराया है बहुपद है, लेकिन बार-बार एक बहुपद संख्या को दोहराया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गुणा को खुद पर दोहराएं:

v = 2
for(i=1 to n)
  v = v*v

पुनरावृत्तियों की संख्या रैखिक है, और आउटपुट घातीय है। लेकिन अगर आप n को ठीक करते हैं, तो यह प्रारंभिक मूल्य के आकार पर बहुपद है।

Answer 4

नीचे मैं पीटर के जवाब में बिंदु पर थोड़ा विस्तार करता हूं, यह देखने के लिए क्वांटिफायर को हटाने की कोशिश कर रहा है कि निरंतर संख्या से अधिक चरणों के लिए, जहां यह विफल हो जाता है और अगर इस तरह के प्रयास से कुछ भी बचाया जा सकता है।

आइए निरंतर संख्या बार से अधिक के लिए $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ को बढ़ाने का प्रयास करें ।

मान लें कि $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ । इसलिए बहुपद टाइम मशीन है जो एक्सट-सर्किट-सैट को हल करती है (क्या किसी दिए गए सर्किट के लिए संतोषजनक विस्तार और इसके इनपुट के लिए आंशिक असाइनमेंट है?)।

अधिक औपचारिक रूप से, हम एक polytime एल्गोरिथ्म है $A$ बहुपद प्रसारण समय के साथ $p(n)\in\rm{poly}(n)$ सेंट

एक बूलियन सर्किट को देखते हुए $\varphi$ , और एक आंशिक काम $\tau$ आदानों की,
$A$ रिटर्न "हाँ" अगर वहाँ का एक विस्तार है $\tau$ कि संतुष्ट $\varphi$ , और बदले "नहीं" अन्यथा।

निरंतर समय पर जाने के लिए, हमें क्वांटिफायर को प्रभावी ढंग से हटाने की आवश्यकता है। हम यह कर सकते हैं क्योंकि कुक-लेविन प्रमेय एक रचनात्मक प्रमेय है, वास्तव में यह एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म $Cook$ st देता है

एक DTM $M$ को दो इनपुट प्राप्त होते हैं, और तीन अनार्य संख्या $n$ , $m$ , और $t$ ,
$Cook(M, n, m, t)$ आकार $O(t^2)$ का एक बूलियन सर्किट लौटाता है जो लंबाई के इनपुट पर $M$ अनुकरण करता है। $(n,m)$ के लिए $t$ चरणों।

चलो के लिए तर्क का विस्तार करने के लिए इन का उपयोग करने की कोशिश $\mathsf{P}=\mathsf{PH}$ एक एल्गोरिथ्म को सुलझाने TQBF (वास्तव में TQBCircuit, यानी पूरी तरह से मात्रा निर्धारित बूलियन सर्किट समस्या) प्राप्त करने के लिए।

एल्गोरिथ्म का विचार इस प्रकार है: हम बार-बार $Cook$ पर दिए गए सर्किट से क्वांटिफायर निकालने के लिए $A$ पर C o o k का उपयोग करते हैं । इसलिए हम एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म पाने के लिए आशा है कि परिमाणक के रैखिक संख्या में हैं (हम बहुपद समय सबरूटीन का उपयोग कर polynomially कई कदम के साथ एक एल्गोरिथ्म है $Cook$ )। क्वांटिफायर एलिमिनेशन की इस प्रक्रिया के अंत में हमारे पास एक क्वांटिफायर-फ्री सर्किट होगा जिसका मूल्यांकन बहुपद समय में किया जा सकता है (सर्किट वैल्यू की समस्या $\mathsf{P}$ , $CV$ को किसी दिए गए सर्किट के सर्किट मान की गणना के लिए बहुपद समय एल्गोरिथ्म है) ।

हालाँकि हम देखेंगे कि यह विचार काम नहीं करता है (पीटर द्वारा बताए गए उसी कारण के लिए)।

• चलो $\varphi$ एक मात्रा निर्धारित सर्किट, (दी मात्रा निर्धारित सूत्र के प्रारंभ) हो।
• चलो $k$ में परिमाणकों की संख्या $\varphi$ ।

• के लिए $i$ से $k$ के लिए $1$ करते

  • चलो $\psi$ = $Qx_k \sigma(x_1,...,x_k)$ पिछले परिमाणक और परिमाणक से मुक्त हिस्सा हो।

  • यदि $Q = "\exists"$ ,

    1. कंप्यूट $C = Cook(A, |\sigma|, |x_1|+...+|x_k-1|, p)$ ,
    2. सर्किट C में $\sigma$ साथ इनपुट बिट्स को प्रतिस्थापित करें , $C$
    3. बदलें $\psi$ के साथ $C$ में $\varphi$ ।

  • यदि $Q = "\forall"$ ,

    1. पर विचार करें $\psi$ के रूप में $\lnot \exists x_k \lnot \sigma$ ,
    2. कंप्यूट $C = Cook(A, |\lnot \sigma|, |x_1|+...+|x_k-1|, p)$ ,
    3. साथ इनपुट बिट्स स्थानापन्न $\lnot \sigma$ सर्किट में $C$ ,
    4. बदलें $\psi$ साथ $\lnot C$ में $\varphi$ ।
• गणना करें और $CV(\varphi)$ लौटाएं ।

परिणामी एल्गोरिथ्म बहुपद समय लगता है : हमारे पास बहुपद कई चरण हैं, प्रत्येक चरण बहुपद समय कम्प्यूटेशनल है। हालाँकि यह सही नहीं है, एल्गोरिथ्म बहुपद समय नहीं है।

एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म में बहुपद समय उप-प्रकार का उपयोग करना बहुपद समय है। समस्या यह है कि सामान्य तौर पर यह सच होने की आवश्यकता नहीं है यदि मूल इनपुट में सबरूटीन्स द्वारा लौटाए गए मान बहुपदीय आकार के नहीं हैं और हम मानते हैं कि हम सबरूटीन्स से लौटने वाले मूल्यों के बारे में असाइनमेंट करते हैं। (टीएम मॉडल में हम थोड़ा करके किसी भी बहुपद समय सबरूटीन बिट के उत्पादन में पढ़ने के लिए।) कलन विधि से दिए गए मान के यहाँ आकार $Cook$ है बढ़ रही है (कर सकते हैं यह करने के लिए दिए गए इनपुट के आकार की एक शक्ति हो सटीक शक्ति का प्रदर्शन समय पर निर्भर करता है $A$ और चारों ओर है $p^2(|input|)$, इसलिए जब से हम जानते हैं कि $A$ रैखिक समय से कम नहीं हो सकता है, $|output|$कम से कम है $|input|^2$ )।

समस्या नीचे सरल कोड के समान है:

• दिया गया $x$ ,
• चलो $n = |x|$,
• चलो $y = x$ ,
• के लिए $i$ से $1$ करने के लिए $n$ करना
  • चलो $y = y^{|y|}$, (का यानी संयोजन $|y|$ की प्रतियां $y$ )
• वापसी y

हर बार जब हम पर अमल $y = y^{|y|}$हम $y$ का आकार वर्गाकार करते हैं । $n$ निष्पादन के बाद हमारे पास एक $y$ जो $x^{2^n}$ और इसका आकार $n2^n$ , जाहिर है इनपुट के आकार में बहुपद नहीं है।

मान लेते हैं कि हम केवल $k(n)$ क्वांटिफायर अल्टरनेशन्स (जहाँ $n$ परिमाणित सूत्र का कुल आकार है ) के साथ मात्रात्मक सूत्रों पर विचार करते हैं।

मान लें कि $A$ समय $p$ में चलता है (जैसे रैखिक समय जिसे अब तक खारिज नहीं किया गया है), और शायद टी 2 के स्थान पर आकार एल ( टी ) के एक छोटे सर्किट का उत्पादन करने वाला एक अधिक कुशल $Cook$ एल्गोरिथ्म है , फिर हम प्राप्त करते हैं ExtCircuitSat के लिए एक एल्गोरिथ्म उस समय में रन ( एल ∘ पी ) हे ( कश्मीर ) ( एन ) = एल ( पी ( एल ( पी ( ... ( एल ( पी ($l(t)$$t^2$$(l\circ p)^{O(k)}(n)=\underbrace{l(p(l(p(\dots(l(p(n)))))))}_{O(k)\mbox{ compositions}}$ । यहां तक कि मामला है कि दोनों में$l$और$p$रैखिक थे (लेकिन कुल गुणांक के साथ$a\geq 2$) हम एक एल्गोरिथ्म जो समय में चलाता मिलेगा$\Omega(n2^{k(n)})$और अगर$k(n) = \Theta(n)$यह होगा$\Omega(n2^n)$ ब्रूट-फोर्स एल्गोरिथ्म के समान (और यहां तक ​​कि यह मानने पर आधारित था कि कुक-लेविन एल्गोरिदम के एल्गोरिदम के परिणामस्वरूप सर्किट में चल रहे समय में रैखिक आकार का प्रदर्शन किया जा सकता है)।

Comments

मुझे वास्तव में यह उत्तर पसंद है !!

— तैफून पे

@kaveh क्या होगा अगर , जबकि एल ( टी ) = हे ( टी ) फिर हम क्या ज़रूरत है के लिए कम से कम डबल घातीय समय में एन पी एन पी एन पी ? आपका तर्क है कि संभावना सुझाव देने के लिए है, जबकि हम जानते हैं कि लगता है पी एस पी ए सी ई में है ई एक्स पी और इतने कैसे एक घातीय वापस पाने के लिए? $p(n)=2^{\Omega(n)}$$l(t)=O(t)$$NP^{NP^{NP}}$$PSPACE$$EXP$

— टी ....

Answer 5

मुझे लगता है कि यह इसलिए है क्योंकि PH के प्रत्येक स्तर पर, प्रत्यायनों की संख्या एक स्थिर (यानी इनपुट आकार से स्वतंत्र) है, जबकि AP में, प्रत्यायनों की संख्या अनबाउंड (इनपुट के आकार में अभी तक बहुपद) हो सकती है।