DTIME पदानुक्रम प्रमेय में लॉग एफ का औचित्य

यदि हम DTIME पदानुक्रम प्रमेय को देखते हैं, तो हमें एक सार्वभौमिक मशीन द्वारा नियतात्मक ट्यूरिंग मशीन के अनुकरण में ओवरहेड के कारण लॉग मिला है:

$DTIME(\frac{f}{\log f}) \subsetneq DTIME(f)$

हमने DSPACE के NTIME के लिए इस तरह का ओवरहेड नहीं बनाया है। एक मूल औचित्य सिमुलेटर के बीच के अंतर पर विचार करके प्रमाण के विवरण से आता है।

मेरा प्रश्न निम्नलिखित है: DTIME पदानुक्रम प्रमेय के प्रमाण के विस्तार पर विचार किए बिना, क्या इस लॉग का औचित्य है या यह केवल प्रमाण का परिणाम हो सकता है और यह कल्पना करना उचित होगा कि यदि फिर $f = o(g)$

$DTIME(f) \subsetneq DTIME(g)$

मेरी राय में, यह देखते हुए कि सिमुलेशन स्पष्टीकरण एक अच्छा औचित्य है यह साबित करके ही सही होना चाहिए कि यदि हमारे पास बेहतर परिणाम था, तो हम एक बेहतर सिमुलेशन बना सकते हैं।

cc.complexity-theory universal-computation time-hierarchy

— लुडोविक पाटी
स्रोत

मुझे लगता है कि आपने पिछले पैराग्राफ में जो लिखा है, उसके विपरीत होने की संभावना कम है। अर्थात्, मुझे नहीं लगता है कि हम वर्तमान में इस संभावना से इंकार कर सकते हैं कि अनुकरण के अलावा एक विधि द्वारा एक मजबूत कथन साबित किया जा सकता है। दूसरी ओर, हम इस संभावना को खारिज करने में सक्षम हो सकते हैं कि एक मजबूत बयान का अनुकरण करके एक सापेक्ष दुनिया का निर्माण किया जा सकता है जहां मजबूत बयान विफल हो जाता है।

— त्सुयोशी इतो

जहां तक मैं समझता हूं, नियतात्मक समय पदानुक्रम प्रमेय में सिमुलेशन उपरि को कम करना एक सफलता परिणाम होगा। एक बात के लिए, कई परिणामों को तुरंत मजबूत किया जा सकता है।

Ω (\log n)

$\Omega(\log n)$

— आंद्रे सलामन

यह कुछ हद तक पांडित्यपूर्ण है, लेकिन जब तक आपके पास f और g पर अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं हैं (मानक एक f और g समय-निर्माण योग्य होगा), वहाँ f और g मौजूद हैं जैसे कि f = o (g), और DTIME (f) = DTIME (छ)। इसे देखने के लिए, सभी कार्यों के बस सेट पर विचार करें x ^ i, i real के साथ, 0 <i <= 1. यदि समय पदानुक्रम प्रमेय ऐसे कार्यों के सभी जोड़े के लिए सही था, तो हमें एक बेशुमार सेट मिलेगा ट्यूरिंग मशीनों द्वारा सभी भाषाएं। यह इस तथ्य का खंडन करता है कि ट्यूरिंग मशीनों का सेट काउंटेबल है।

— हाबिल मोलिना

@ साब मुझे लगता है कि वर्तमान समय पदानुक्रम प्रमेय की तरह एफ और जी समय-निर्माण योग्य हैं।

— लुडोविक पाटी

हाँ, वर्तमान प्रमाण को देखने का एक औचित्य है, लेकिन इस समस्या / प्रश्न का पूर्ण उत्तर इसकी आवश्यक और पर्याप्त नहीं है। जैसा कि ऊपर टिप्पणी के रूप में, एक तंग बाध्य एक खुली समस्या है। हॉपरक्रॉफ्ट / ullman 1976 में वे बताते हैं कि लॉग (n) कारक एक मल्टी-टेप TM को 2-टेप TM में कम करने के कारण है और उस कमी के लिए प्रासंगिक प्रमाण भी है। (हालांकि इस सवाल के साथ, हमेशा सोचा है कि एक टेप टीएस पर आधारित एक जटिलता सिद्धांत के लिए पदानुक्रम थम्स कैसे अलग दिखेंगे जो मल्टीटैप टीएम की अनुमति देता है। इस प्रश्न से संबंधित लगता है)

— vzn

जवाबों:

समय पदानुक्रम प्रमेय मेरी डिप्लोमा परियोजना का विषय है, शायद आप मेरे प्रश्न पर टिप्पणियों को कम करके देखना चाहते हैं ।

इस प्रश्न पर पीछे मुड़कर देखें कि यह आपके द्वारा पूछे गए प्रश्नों से कैसे संबंधित है, मुझे एक विचार मिला जो दिखा सकता है कि प्रमेय के प्रमाण द्वारा आवश्यक एकल टेप टीएम सिमुलेशन ओवरहेड के लिए मल्टीटैप को बेहतर नहीं किया जा सकता है। इस प्रकार, एक और दृष्टिकोण की आवश्यकता है यदि हम इस परिणाम में सुधार करना चाहते हैं।

EDIT: यह प्रमाण गलत है, सटीक कारणों के लिए नीचे टिप्पणी देखें। मैं वर्तमान में उस उत्तर को प्रतिबिंबित करने के लिए संपादन कर रहा हूं।

को भाषा होने दें । $A$ $\{ 0^{k}1^{k}| k \geq 0 \}$

एकल टेप मशीन पर, एक एल्गोरिथ्म है (आप Sipser की पुस्तक के 7.1.2 अध्याय में इस एल्गोरिथ्म का विवरण पा सकते हैं "अभिकलन के सिद्धांत का परिचय)। उसी संदर्भ में, आप देख सकते हैं। यदि कोई भाषा ओ (n \ log n) में है, तो केवल और यदि यह नियमित है। Kaveh ऊपर दिए गए प्रश्न में इस दावे के लिए मूल कागजात भी प्रदान करता है। $O(n \log n)$

मेरे सवाल की टिप्पणियों में, रेयान विलियम्स 2-टेप टीएम का उपयोग करते हुए, इसी समस्या के लिए एक एल्गोरिदम दिखाता है । $O(n)$

अब मान लें कि एक एकल टेप टीएम में एक मल्टीटैप टीएम का अनुकरण करने के लिए एक तकनीक है जिसमें का रनिंग टाइम है , जहां टीएम सिम्युलेटेड का रनिंग टाइम है । इसे रयान मशीन में लगाने से हमें पता चलता है कि हमें एक ही टेप टीएम मिलेगा जो में चलेगा । इसलिए, नियमित है, जो एक विरोधाभास है। इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि एक टेप मशीन के साथ मल्टी टेप मशीनों का अनुकरण करते समय हम जो कर सकते हैं उसका ओवरहेड सबसे अच्छा है। $o( T(n) \log T(n) )$ $T(n)$ $o( n \log n)$ $A$ $\log T(n)$

मुझे लगता है कि यह एक मजबूत बयान है, इसलिए मैं अपनी व्याख्या में गलत हो सकता हूं।

यहां तक कि अगर कोई तकनीक मौजूद है जो इस परिणाम को बेहतर बनाने की अनुमति देती है, तो मेरा मानना है कि या लिए परिणाम का मिलान करना संभव नहीं है । मेरा अंतर्ज्ञान निम्नलिखित तथ्य से निकलता है: $NTIME$ $SPACE$

एक बहुत ही ज्ञात परिणाम है जो । इस धारणा के तहत कि मेरा मानना है कि यह परिणाम में सुधार हुआ है , किसी भी लिए , कोई बहुत छोटा गैर-निर्धारक वर्ग किसी भी निर्धारक के लिए बहुत अधिक शक्तिशाली है। । अतः, संसाधन निर्धारक समय कितना शक्तिशाली है, यह देखते हुए, मैं यह उम्मीद करूंगा कि गैर-नियतात्मकता की शक्ति की भरपाई के लिए TM को अधिक शक्तिशाली बनाने के लिए निर्धारक समय की अधिक मात्रा की आवश्यकता होगी। $DTIME(n) \neq NTIME(n)$ $P \neq NP$ $DTIME(n^{k}) \neq NTIME(n)$ $k$

— chazisop
स्रोत

एकल-टेप मशीन पर एक बहु-टेप ट्यूरिंग मशीन को अनुकरण करने के लिए द्विघात समय लगता है। Palindromes की भाषा से पता चलता है कि यह आवश्यक है: palindromes को दो-टेप मशीनों पर समय में पहचाना जा सकता है , लेकिन यह एकल-टेप मशीनों पर time लेता है

O (n)

$O(n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Luca Trevisan

लुका निश्चित रूप से सही है (मुझे कथन की ताकत के कारण गलती की उम्मीद थी)। मेरी गलती: मैंने जल्दबाजी में मानक सिंगल-टेप टीएम को सिंगल वर्क-टेप (विभिन्न गैर-लेखन इनपुट टेप और शायद एक अलग आउटपुट टेप के साथ) के साथ भ्रमित किया। जब मुझे गलती का एहसास हुआ, तो मैंने यह देखने की कोशिश की कि क्या नियमितता उस मॉडल को ले जाती है, लेकिन यह दिखाता है कि यह सच नहीं है। मैं इस तथ्य को प्रतिबिंबित करने के लिए उत्तर का संपादन कर रहा हूं, मुझे आशा है कि @Monoid ने इसे अंतर्ज्ञान भाग के लिए स्वीकार किया है।

o (n \log n)

$o(n \log n)$

P A L I N D R O M E S

$PALINDROMES$

— चाजिसोप

उदाहरण लुका का उल्लेख एक ऐसे मामले के लिए है जहां समय । इस तरह के छोटे वर्गों में एकल-टेप मशीनों के गैर-मजबूत व्यवहार के कारण यह विशेष मामला सामान्य रूप से परेशान कर रहा है। तो यह एक बाधा नहीं है अगर समय । दिलचस्प है कि के लिए पदानुक्रम प्रमेय के मजबूत संस्करण का प्रमाण सिमुलेशन का उपयोग नहीं करता है लेकिन एक सीधा तर्क (हार्टमैनिस 1968 देखें)।

o (n^{2})

$o(n^2)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

o (n^{2})

$o(n^2)$

— केवह

एन-टेप टीएम के लिए अंतरिक्ष पदानुक्रम प्रमेय के समान एक तंग समय पदानुक्रम परिणाम 1982 में Furer द्वारा सिद्ध किया गया है। फ़ैक्टर की आवश्यकता नहीं है। $\lg$

समय पदानुक्रम प्रमेय अपनी पोस्ट में कहा गया है के लिए कारक केवल सिंगल-टेप टीएमएस के लिए है। जब तक आप किसी कारण से सिंगल-टेप मॉडल के लिए बहुत प्रतिबद्ध हैं, पदानुक्रम प्रमेयों के बारे में स्थान और समय के बीच कोई अंतर नहीं है। $\lg$

समय जटिलता कक्षाओं को परिभाषित करने के लिए एकल-टेप टीएम का उपयोग करने के लिए कुछ कारण और तर्क हैं, लेकिन जटिलता वर्गों को परिभाषित करने के लिए एकल-टेप टीएम का उपयोग सार्वभौमिक नहीं है, उदाहरण के लिए लांस फोर्टेव और राहुल संथानम का [2007] देखें जहां वे कई-टेप का उपयोग करते हैं टीएमएस।

समय पदानुक्रम प्रमेय का मूल संदर्भ हेनी और स्टर्न्स [1966] है। वे दो-टेप मशीनों के लिए प्रमेय साबित करते हैं। ओडीफ्रेड्डी की क्लासिकल रिकर्सन थ्योरी उन्हें और हार्टमैनिस [1968] का हवाला देती है और एक प्रमाण का वर्णन करती है जो कि सिफर की किताब में एक जैसा दिखता है।

हालांकि हार्टमैनिस के पेपर में सिंगल टेप टीएम के लिए प्रमाण केवल सिमुलेशन का उपयोग नहीं करता है। इसने दो मामलों के बीच अंतर किया: 1. रनिंग-टाइम और 2. रनिंग-टाइम । $\Omega(n^2)$ $o(n^2)$

पहले मामले के लिए यह एक सिमुलेशन का उपयोग करता है, और ऐसा लगता है कि अगर कोई सिमुलेशन अधिक कुशलता से किया जा सकता है तो कारक से छुटकारा पा सकता है। $\lg$
दूसरे मामले के लिए, पेपर सीधे पृथक्करण के लिए एक भाषा देता है और सिमुलेशन का उपयोग बिल्कुल नहीं करता है। यह उप-द्विघात रनिंग-टाइम के साथ एकल-टेप टीएम के विशेष गुणों का उपयोग करता है।

एक ध्यान दें कि -टाइम साथ सिंगल-टेप टीएम उतने मजबूत नहीं हैं और सिंगल-टेप टीएम पर क्वाड्रैटिक लोअरबाउंड (जैसे पालिंड्रोम्स के लिए) हैं जबकि दो-टेप टीएम रैखिक समय में ऐसी समस्याओं को हल कर सकते हैं। $o(n^2)$

जैसा कि मैंने ऊपर कहा, जब तक आप किसी कारण से सिंगल-टेप टीएम मॉडल के लिए प्रतिबद्ध नहीं हैं, तब भी जब समय उप-द्विघात है, भरने के लिए कोई अंतराल नहीं है, समय पदानुक्रम प्रमेय जितना तंग है।

पुनश्च: यदि हम कई-टेप टीएम का उपयोग कर रहे हैं, अर्थात कक्षा में एक ट्यूरिंग मशीन तय की जा सकती है, लेकिन टेपर्स की मनमानी संख्या फुलर के परिणाम पर लागू नहीं होती है।

मार्टिन फ़्यूरर, " द टाइट डिटरिनिस्टिस्टिक टाइम हियरार्की ", 1982
पिएर्जियोर्जियो ओडीफ्रेड्डी, "क्लासिकल रिकर्सियन थ्योरी", वॉल्यूम। II, 1999 (पृष्ठ 84)
ज्यूरिस हार्टमैनिस, " एक-टेप ट्यूरिंग मशीन कंप्यूटेशन की कम्प्यूटेशनल जटिलता ", 1968
एफसी हेनी और आरई स्टर्न्स, " मल्टीटाप ट्यूरिंग मशीन के दो-टेप सिमुलेशन ", 1966
लांस फोर्टन और राहुल संथानम का पेपर " टाइम हायरार्कीज़: ए सर्वे ", 2007

— कावेह
स्रोत

Fürer के परिणाम केवल मामले पर लागू नहीं होता जब विचाराधीन ट्यूरिंग मशीन की टेप की संख्या, तय हो गई है यानी, कक्षाओं के बारे में वार्ता

टेप की संख्या है।

D T I M E_{k} (f)

$DTIME_k(f)$

k

$k$

— मार्कस ब्लैसर

@ मर्कस, हां, यह सही है, यह एकल-टेप मामले के समान है। अंतर केवल इतना है कि टेपों की संख्या एक से अधिक है, लेकिन यह अभी भी तय है, जैसे 2 टेप।

— केवह

क्रिज़िस्तोफ़ लोरी को भी देखें, "नियतात्मक TMs के लिए नया समय पदानुक्रम परिणाम ", 1992। एक और संदर्भ काज़ुओ इवामा, चुजो इवामोतो, " एक टेप ऑफ लाइन टीएम का बेहतर समय और अंतरिक्ष पदानुक्रम ", 1998 है, जो लॉग फ़ैक्टर को बेहतर बनाता है। एकल-टेप TMs के लिए लॉग लॉग।

— केवह

$\mathrm{Time}(o(f)) ⊊ \mathrm{Time}(O(f)$ $f$

$\mathrm{DTime}(g) ⊊ \mathrm{DTime}(f)$ $k$ $k+1$ $k$

$\mathrm{DTime}(o(f)) ⊊ \mathrm{DTime}(O(f))$

वास्तव में, हमारे पास पहले से ही निम्नलिखित हैं।

$ε>0$ $f$ $n^a (\log n)^b$ $a$ $b$ $a>1$ $a=1∧b≥0$ $\mathrm{DTime}(O(f /(\log f)^ε) ⊊ \mathrm{DTime}(O(f))$

$O(f)$ $O(f / (\log f)^ε)$ $O(f(n) (\log f(n))^{kε})$ $O(f(n) \, (\log f(n))^{(k-1)ε})$ $k≥0$ $c≥0$ $\mathrm{DTime}(O(f(n) (\log f(n))^c)) = \mathrm{DTime}(O(f(n)))$

$f$
$\mathrm{DTime}(O(f))$ $\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$ $k$ $k$ $\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$ $ε=1$ $f(n)=n^2$ $k$
$\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$ एल्गोरिथ्म कुछ इनपुट के लिए विफल हो जाएगा, लेकिन हमने यह साबित नहीं किया है कि यह सभी के लिए कुछ इनपुट के लिए विफल रहता है, लेकिन बहुत सारे इनपुट आकार (हालांकि यह बहुत आश्चर्यजनक होगा अगर ऐसा नहीं हुआ)।

— द्मित्रो तरानोव्स्की
स्रोत

बहुत बढ़िया जवाब !! :)

— माइकल वीहर