स्वतंत्र सेट के एलपी छूट

Question

मैंने अधिकतम स्वतंत्र सेट के निम्नलिखित एलपी छूट की कोशिश की है

$$\max \sum_i x_i$$

$$\text{s.t.}\ x_i+x_j\le 1\ \forall (i,j)\in E$$ $$x_i\ge 0$$

मुझे कोशिश की गई प्रत्येक क्यूबिक गैर-द्विपदी ग्राफ के लिए प्रत्येक चर के लिए $1/2$ मिलता है ।

1. क्या सभी कनेक्टेड क्यूबिक गैर-द्विपदीय आलेखों के लिए सही है?
2. क्या एलपी छूट है जो ऐसे ग्राफ़ के लिए बेहतर काम करता है?

अद्यतन 03/05 :

यहां नाथन द्वारा सुझाई गई क्लिच-आधारित एलपी छूट का परिणाम है

मैंने यहाँ प्रयोगों को संक्षेप में प्रस्तुत किया है , दिलचस्प बात यह है कि इसमें कुछ गैर-द्विपदीय रेखांकन प्रतीत होते हैं, जिसके लिए सरलतम एलपी छूट अभिन्न है।

Comments

समाधान निश्चित रूप से अद्वितीय नहीं है। एक क्यूबिक द्विदलीय ग्राफ में, आपके पास एक भाग में साथ एक इष्टतम समाधान और दूसरे भाग में है। $x_i = 1/2$$x_i = 1$$x_i = 0$

— जुल्का सुमेला

क्षमा करें, मैं महत्वपूर्ण भाग से चूक गया, मैं केवल गैर-द्विपदी क्यूबिक ग्राफ़ मानता हूं। मैंने कोशिश की हर द्विपदी क्यूब ग्राफ में एक अभिन्न समाधान था

— यारोस्लाव बुलटोव

यदि आप गैर-अनूठे समाधानों से बचना चाहते हैं, तो आपको "कनेक्टेड" भी जोड़ना होगा।

— जुल्का सुमेला

(१) आप ग़ैर-बराबरी की बाधाओं को लिखना भूल गए। (2) द्विदलीय रेखांकन के लिए, इस एलपी छूट का इष्टतम मूल्य हमेशा एक स्वतंत्र सेट के अधिकतम आकार के बराबर होता है। यह कोनिग की प्रमेय की एक तत्काल कोरोलरी है ।

— त्सुयोशी इतो

@ यारोस्लाव: एक पक्ष का सवाल: आप इन रेखांकन को कैसे बनाते हैं?

— टिम

Answer 1

गैर-द्विपद से जुड़े घन रेखांकन में अद्वितीय इष्टतम समाधान ; एक द्विदलीय घन ग्राफ में आपके पास एक अभिन्न इष्टतम समाधान है।$x_i = 1/2$

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प्रमाण: एक क्यूबिक ग्राफ में, यदि आप सभी से अधिक का योग करते हैं , तो आपके पास , और इसलिए इष्टतम अधिकतम ।$3n/2$$x_i + x_j \le 1$$\sum_i 3 x_i \le 3n/2$$n/2$

समाधान सभी के लिए तुच्छता से संभव है, और इसलिए भी इष्टतम है।$x_i = 1/2$$i$

एक द्विदलीय क्यूबिक ग्राफ में, प्रत्येक भाग में नोड्स के आधे भाग होते हैं, और एक भाग में समाधान इसलिए भी इष्टतम है।$x_i = 1$

कोई भी इष्टतम समाधान कड़ा होना चाहिए, अर्थात, हमारे पास प्रत्येक किनारे लिए और इसलिए होना चाहिए । इस प्रकार यदि आपके पास एक विषम चक्र है, तो आपको चक्र में प्रत्येक नोड के लिए चुनना होगा । और फिर अगर ग्राफ जुड़ा हुआ है, तो यह विकल्प हर जगह प्रचारित हो जाता है।$\sum_i 3 x_i = 3n/2$$x_i + x_j = 1$$\{i,j\}$$x_i = 1/2$

Comments

जैसा कि मैंने प्रश्न पर एक टिप्पणी में लिखा था, आपको केवल एक अभिन्न इष्टतम समाधान के अस्तित्व को साबित करने के लिए द्विदलीयता की आवश्यकता है (लेकिन इसके लिए आपके पास एक अलग प्रमाण की आवश्यकता है)।

— त्सुयोशी इतो

@ त्सुयोशी: हां, कोनिग की प्रमेय को ध्यान में रखना अच्छा है। उदाहरण के लिए, उपर्युक्त अवलोकन के साथ, यह दिखाएगा कि किसी भी द्विदलीय घन ग्राफ में 1-कारक है (अर्थात, इसे तीन परिपूर्ण मिलानों में विभाजित किया जा सकता है)। बेशक यह इस परिणाम को साबित करने का "गलत" तरीका है, लेकिन मुझे लगता है कि यह अच्छी तरह से कोनिग की प्रमेय की शक्ति को प्रदर्शित करता है - यदि आपको बस कोनिग की प्रमेय याद है, तो ग्राफ सिद्धांत में बहुत सारे शास्त्रीय परिणाम हैं जो आप आसानी से पुनः खोज सकते हैं। ।

— जुल्का सुमेला

Answer 2

यह एलपी सभी ग्राफ्स के लिए आधा-अभिन्न है, अर्थात, एक इष्टतम समाधान ऐसा मौजूद है कि प्रत्येक चर {0,1 / 2,1} में है। यह बस नेमहॉज़र और ट्रॉट्टर के एक प्रमेय से आता है। बेशक अनुपूरक समस्या (एलटीटी कवर) के एलपी के लिए आधा-अभिन्नता का एक ही निष्कर्ष इस प्रकार है। जब ग्राफ द्विदलीय होता है तो समाधान अभिन्न होता है। यह अधिकतम-प्रवाह मिन-कट प्रमेय या इस एलपी के चरम बिंदु समाधान के साथ काम करने के बाद से आता है। इसके अलावा, 1/2 किनारे एक विषम-चक्र बनाते हैं।

बेशक, यह एलपी आईएस की समस्या को हल करने के लिए अच्छा नहीं है। क्लिक बाधाओं या एसडीपी को जोड़ना एक बेहतर दृष्टिकोण है।

वर्टेक्स पैक्सिंग: संरचनात्मक गुण और एल्गोरिदम जीएल नेमहॉसर और ट्रॉटर-मैथ। कार्यक्रम।, 1975

Comments

ठीक है, एक बहुत ही सरल एल्गोरिथ्म के लिए इस पत्र के प्रमेय 5.6 को भी देखें जो कुशलता से एक आधा-अभिन्न समाधान ढूंढता है।

— जुका सूमोला

एलपी के साथ क्लिच बाधाओं ने ऊपर के सेट से लगभग 50% अधिक ग्राफ़ हल किए .... मुझे एसडीपी फॉर्मूलेशन कहां मिल सकता है?

— यारोस्लाव बुलटोव

Answer 3

2003 से सेर्गी बुटेंको की पीएचडी थीसिस एमआईएस के कुछ अन्य एलपी आराम, साथ ही साथ कुछ द्विघात विश्राम की समीक्षा करती है।

Answer 4

एक और तरीका है "अधिकतम स्वतंत्र सेट का आराम से संस्करण" प्राप्त करने के लिए। बाधाओं के रूप में "प्रत्येक किनारे के लिए, योग सबसे अधिक 1" पर है, बाधाएं "प्रत्येक पूर्ण उपसमूह के लिए हैं, किनारे अधिकतम 1 पर हैं"। जिसका अर्थ है: प्रत्येक किनारे के लिए, प्रत्येक त्रिकोण के लिए, प्रत्येक और इसी तरह।$K_4$

इसे भिन्नात्मक स्वतंत्र सेट संख्या कहा जाता है। आपको वहां कुछ जानकारी मिलेगी: http://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_coloring या डैनियल उल्मैन और एडवर्ड शेइमैनमैन ( http: //www.ams.jhu.edu-~ers) की पुस्तक "आंशिक ग्राफ सिद्धांत" में / एफजीटी / )।

व्यावहारिक रूप से, यह सूत्रण एनपी-हार्ड की गणना करने के लिए है, भले ही सभी चर निरंतर हों -> क्लोनों की संख्या घातीय है, और गणना करने के लिए कठिन है .... लेकिन आप केवल कुछ विशेष क्लोनों की गणना करने के लिए स्वतंत्र हैं, उदाहरण के लिए किनारों (जो आपने अभी किया था), या किनारों + त्रिकोण, या तक के सभी । आखिरकार, मूल्य केवल वास्तविक पूर्णांक मान (*) :-) का "अधिक प्रतिनिधि" बन सकता है$K_k$

Nathann

(*) यह कहा जा रहा है, आप सैद्धांतिक रूप से एलपी में इष्टतम परिणाम के बीच एक मनमाने ढंग से बड़े अंतर को मानते हैं जहां सभी समूहों का प्रतिनिधित्व किया जाता है और इष्टतम स्वतंत्र सेट

Comments

इस दृष्टिकोण के साथ समस्याओं में से एक यह है कि यदि आपके पास एक गैर-द्विपदी क्यूबिक त्रिकोण-मुक्त ग्राफ है (और उनमें से बहुत सारे हैं ...), सूत्रीकरण प्रश्न में बिल्कुल समान है, और हमारे पास बिल्कुल समान है बुरी खबर। आम तौर पर, मुझे लगता है कि हम हमेशा ऐसे ग्राफ़ का निर्माण कर सकते हैं जिसमें सभी नोड्स एक -clique में हों और कोई -clique न हो, और यह दर्शाएं कि सभी के लिए का अद्वितीय इष्टतम समाधान है एल.पी.। $k$$(k+1)$$x_i = 1/k$$i$

— जुका सुकोमेला

दिलचस्प है, यह कॉर्डल ग्राफ़ में इंडिपेंडेंटसेट की सहजता से संबंधित है

— यारोस्लाव बुलटोव

मैंने कुछ प्रयोग किए, और इस एलपी छूट का समाधान हमेशा कॉर्डल ग्राफ़ में अभिन्न था

— यारोस्लाव बुलटोव

@YaroslavBulatov आपके अवलोकन का एक कारण है। गुच्छी असमानताएं और गैर-बराबरी सीमाएं स्वतंत्र सेटों के उत्तल पतवार प्रदान करती हैं यदि और केवल तभी जब ग्राफ परिपूर्ण हो। कोरडल ग्राफ परिपूर्ण हैं।

— ऑस्टिन बुकानन