केवल वर्णक्रमीय ग्राफ सिद्धांत के माध्यम से प्राप्त सबूत

Question

मुझे वर्णक्रमीय ग्राफ़ सिद्धांत में बढ़ती रुचि है, जो मुझे आकर्षक लगता है, और मैंने कुछ दस्तावेज़ों को इकट्ठा करना शुरू कर दिया है जो कि मेरे पास अभी तक की तुलना में अधिक अच्छी तरह से पढ़ना है।

हालाँकि, मैं एक ऐसे कथन के बारे में उत्सुक हूँ जो कई स्रोतों (उदाहरण के लिए वहाँ ) में पॉप अप हुआ है , जो संक्षेप में कहता है कि ग्राफ़ सिद्धांत में कुछ परिणाम केवल स्पेक्ट्रम-आधारित तकनीकों का उपयोग करके साबित हुए हैं, और अब तक, कोई सबूत नहीं है कि उन तकनीकों को दरकिनार किया जाता है।

जब तक मैंने उसे छोड़ नहीं दिया, मुझे अब तक पढ़े गए साहित्य में ऐसा उदाहरण याद नहीं है। क्या आप में से कोई भी ऐसे परिणामों के उदाहरणों के बारे में जानता है?

Comments

प्रश्न का शीर्षक बताता है कि आप ऐसे प्रमाण मांग रहे हैं जो केवल वर्णक्रमीय ग्राफ़ सिद्धांत का उपयोग कर प्राप्त करने योग्य हैं, लेकिन आप ऐसे प्रमाण पूछ रहे हैं जो अब तक केवल वर्णक्रमीय ग्राफ़ सिद्धांत द्वारा प्राप्त किए गए हैं। ये दो बिल्कुल अलग सवाल हैं। इसलिए जैसा कि यह खड़ा है, शीर्षक भ्रामक है, यही वजह है कि मैंने इसे बदल दिया।

— डेव क्लार्क

@ क्या मैंने रोलबैक किया

— सुरेश वेंकट

Cvetković, Doob, और सैक्स द्वारा ग्राफ़ के वर्णक्रम के अध्याय 7 में प्रमेयों के बहुत सारे उदाहरण दिए गए हैं, जिनके कथन स्पेक्ट्रा का कोई स्पष्ट उल्लेख नहीं करते हैं, लेकिन वे वर्णक्रमीय तकनीकों का उपयोग करने में सक्षम हैं। मेरा अनुमान है कि इनमें से कई का कोई गैर-वर्णक्रमीय प्रमाण नहीं है, हालाँकि आपको इसे केस-दर-मामला आधार पर सत्यापित करना होगा। निश्चित रूप से कई मामलों में सबसे सरल या सबसे प्राकृतिक सबूत स्पेक्ट्रा का उपयोग करता है।

— टिमोथी चाउ

@ टिमोथी चाउ: धन्यवाद, मैं इस पर अपना हाथ लाने की कोशिश करूंगा।

— एंथोनी लैबरा

@TimothyChow: आपको इसका जवाब देना चाहिए, मुझे लगता है।

— सुरेश वेंकट

Answer 1

हॉफमैन-सिंगलटन प्रमेय ।

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हॉफमैन-सिंगलटन मेरा पहला विचार था। लेकिन, मुझे नहीं पता कि क्या कोई गैर-वर्णक्रमीय प्रमाण मौजूद है और यदि वे ऐसा नहीं करते हैं क्योंकि वे बहुत कठिन हैं या क्योंकि किसी ने कोशिश नहीं की है। मानक प्रमाण काफी साफ-सुथरा और संक्षिप्त है, इसलिए मैं यह नहीं जानता कि गैर-वर्णक्रमीय प्रमाण प्राप्त करने के लिए प्रेरणा क्या होगी।

— mhum

Answer 2

क्वांटम कंप्यूटिंग पर इस परिणाम के बारे में कैसे।

मारियो सज़ीदी। मार्कोव चेन आधारित एल्गोरिदम की क्वांटम स्पीड-अप। FOCS'04 में।

वह मार्कोव श्रृंखलाओं को क्वांटम मार्कोव श्रृंखलाओं तक बढ़ाता है, और दिखाता है कि क्वांटम मारने का समय ऊपरी तौर पर शास्त्रीय मार समय के वर्गमूल से घिरा होता है। वह शास्त्रीय मार्कोव श्रृंखला के एकवचन वैक्टर को क्वांटम मार्कोव श्रृंखला के एकवचन वैक्टर से संबंधित करके करता है। इस पत्र से पहले, यादृच्छिक और क्वांटम के बीच कोई ज्ञात संबंध नहीं था। मैं कल्पना नहीं कर सकता कि गैर-वर्णक्रमीय तकनीकों का उपयोग कैसे किया जाए।

Answer 3

मुझे लगता है कि मैत्री प्रमेय ( हुनके पेपर भी देखें ) एक अच्छा उदाहरण है, हालांकि कड़ाई से बोलते हुए अब मैत्री प्रमेय के प्रमाण मौजूद हैं जो आइगेनवल से बचते हैं। सबूत जो पूरी तरह से eigenvalues ​​से बचते हैं, वे वर्णक्रमीय प्रमाण की तुलना में बहुत अधिक गड़बड़ हैं।

(मैत्री प्रमेय में कहा गया है कि यदि लोगों के एक कमरे में, हर जोड़े में एक समान मित्र है, तो कोई है जो सभी को जानता है।)

Answer 4

$L_G$$G = (V,E,w)$$G$$H$$x \in R^V$

$$x^T L_H x (1-\epsilon) \le x^T L_G x \le x^T L_H x (1+\epsilon).$$ $O(n/\epsilon^2)$

भले ही प्रमेय का बयान विवादित रूप से "स्वाभाविक रूप से वर्णक्रमीय नहीं है", मुझे नहीं लगता कि यह ज्ञात है कि कोई व्यक्ति इस परिणाम को प्राप्त कर सकता है या वर्णक्रमीय तकनीकों का उपयोग किए बिना इसके जैसा परिणाम प्राप्त कर सकता है।

Comments

यह थोड़ा विवादास्पद है कि क्या कथन स्वाभाविक रूप से वर्णक्रमीय नहीं है। शाब्दिक अर्थ में, आप सही हैं, लेकिन एकमात्र तर्क मैं सोच सकता हूं कि द्विघात रूप क्यों दिखाता है वर्णक्रमीय।

— सुरेश वेंकट

$F(A) = \{x^TAx: ||x||_2 = 1\}$$O(n/\epsilon^2)$

ज़रूर - लेकिन कोई इन स्पार्सफ़ायर को दूसरे तरीके से प्राप्त करने की कल्पना कर सकता है। लेकिन, हाँ, यह हो सकता है नहीं सबसे अच्छा उदाहरण हो ...

— लेव Reyzin