बाउंडेड क्रॉसिंग नंबर का रेखांकन

Question

फेरी की प्रमेय कहती है कि बिना क्रॉसिंग के एक साधारण प्लानर ग्राफ खींचा जा सकता है ताकि प्रत्येक किनारे एक सीधी रेखा खंड हो।

मेरा प्रश्न यह है कि क्या बाउंड क्रॉसिंग नंबर के ग्राफ के लिए एक अनुरूप प्रमेय है । विशेष रूप से, क्या हम कह सकते हैं कि क्रॉसिंग नंबर k के साथ एक सरल ग्राफ खींचा जा सकता है ताकि ड्राइंग में k क्रॉसिंग हो और ताकि प्रत्येक फंक्शन कुछ फ़ंक्शन f के लिए अधिकांश f (k) पर डिग्री का एक वक्र हो?

EDIT: डेविड एप्पस्टीन की टिप्पणी के अनुसार, यह आसानी से देखा जा सकता है कि फेरी की प्रमेय में क्रासिंग नंबर k के साथ एक ग्राफ का चित्रण है ताकि प्रत्येक किनारे बहुभुज श्रृंखला के साथ बहुभुज श्रृंखला हो। मैं अभी भी उत्सुक हूं कि क्या प्रत्येक किनारे को बाध्य डिग्री वाले घटता के साथ खींचा जा सकता है। Hsien-Chih चांग बताते हैं कि f (k) = 1 यदि k 0, 1, 2, 3, और f (k)> 1 है तो अन्यथा।

Answer 1

यदि एक ग्राफ ने क्रॉसिंग संख्या को पार कर लिया है, तो इसे पॉलीलाइन मॉडल में क्रॉसिंग की संख्या के साथ खींचा जा सकता है (अर्थात प्रत्येक किनारा एक बहुभुज श्रृंखला है, बाउंडेड डिग्री बीजीय वक्रों की तुलना में ग्राफ ड्राइंग साहित्य में बहुत अधिक सामान्य है)। प्रति किनारे। यह आम तौर पर अधिक सच है अगर प्रति छोर क्रॉसिंग की एक संख्या है। इसे देखने के लिए, बस ग्राफ को व्यवस्थित करें (प्रत्येक क्रॉस को एक शीर्ष द्वारा प्रतिस्थापित करें) और फिर फेरी को लागू करें।

अब, अपने वास्तविक प्रश्न का उत्तर देने के लिए इसका उपयोग करने के लिए, आपको एक बीजीय वक्र खोजने की आवश्यकता है जो मनमाने ढंग से किसी दिए गए पॉलीलाइन के करीब हो, पॉलीलाइन झुकता की संख्या के एक फंक्शन से बंधी डिग्री के साथ। यह भी किया जा सकता है, काफी आसानी से। उदाहरण के लिए: प्रत्येक खंड के लिए$s_i$ पालीलाइन की, चलो $e_i$ उच्च सनकी के साथ एक दीर्घवृत्त होना जो बहुत करीब है $s_i$, और जाने $p_i$ एक द्विघात बहुपद हो जो बाहर सकारात्मक हो $e_i$ और अंदर नकारात्मक $e_i$। अपने समग्र बहुपद को रूप लेने दें$p=\epsilon-\prod_i p_i$ कहाँ पे $\epsilon$एक छोटी सकारात्मक संख्या है। फिर वक्र का एक घटक$p=0$एलिप्स के संघ के बाहर थोड़ा झूठ होगा और पॉलीलाइन के विकल्प के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है; इसकी डिग्री दीर्घवृत्त की संख्या से दोगुनी होगी, जो कि क्रॉसिंग की संख्या प्रति छोर में रैखिक है।

Comments

धन्यवाद। क्या कोई ऐसा उदाहरण है जो दिखाता है कि सामान्य तौर पर, सीधी रेखा के सेगमेंट किनारों का उपयोग करते हुए न्यूनतम संख्या में क्रॉसिंग नहीं हो सकती है?

— अर्नब

@ जर्नाब: हसीन-चिह का उत्तर देखें।

— डेविड एपपस्टीन

Answer 2

इसे रेक्टिलिनियर क्रॉसिंग नंबर के रूप में जाना जाता है $\overline{\mathsf{cr}}(G)$, जो ग्राफ के सभी संभव सीधी रेखा रेखाचित्रों के बीच क्रॉसिंग की न्यूनतम संख्या है $G$। सामान्य क्रॉसिंग संख्या की तुलना करें$\mathsf{cr}(G)$, वह देख सकता है $\overline{\mathsf{cr}}(G) \geq \mathsf{cr}(G)$। और आपका सवाल अनिवार्य रूप से यह पूछने के रूप में ही है कि क्या$\overline{\mathsf{cr}}(G) = \mathsf{cr}(G)$ अगर $\mathsf{cr}(G) \leq k$ कुछ निरंतर के लिए $k$।

रेक्टिलिनियर क्रॉसिंग नंबरों के लिए पेपर बाउंड्स में , बिएनस्टॉक और डीन ने साबित किया

प्रमेय। अगर$k \leq 3$, हमारे पास है $\overline{\mathsf{cr}}(G) = \mathsf{cr}(G)$। और किसके लिए$k \geq 4$, ग्राफ हैं $G_n$ साथ में $\mathsf{cr}(G) = 4$ तथा $\overline{\mathsf{cr}}(G) \geq n$।

संदर्भ के लिए रिक्टर और सालज़ार द्वारा संख्याओं को पार करने पर एक सर्वेक्षण देखें । अतः यदि बाउंड क्रॉसिंग नंबरों के साथ ग्राफ पर फेरी प्रमेय का एक संस्करण है, तो इसके साथ विवश होना चाहिए$\mathsf{cr}(G) \leq 3$।

के साथ एक छोटे से उदाहरण के लिए $\overline{\mathsf{cr}}(G) \neq \mathsf{cr}(G)$, 8 रेखांकन पर पूरा ग्राफ पर विचार करें। यह है$\mathsf{cr}(K_8) = 18$ तथा $\overline{\mathsf{cr}}(K_8) = 19$।

Comments

धन्यवाद! यह तो डेविड के जवाब के लिए मेरी टिप्पणी में सवाल का जवाब देता है। मुझे यह जानने में अभी भी दिलचस्पी है कि क्या मेरे मूल प्रश्न का अध्ययन किया गया है।

— अर्नब