क्या वहाँ बहुपद आकार CFG मौजूद है जो इस परिमित भाषा का वर्णन करता है?

क्या वहाँ मौजूद है क्रमपरिवर्तन $\pi_1,\pi_2$ और बहुपद आकार (में) $|w|=n$ ) संदर्भ मुक्त व्याकरण जो परिमित भाषा का वर्णन करता है $\{w \pi_1(w) \pi_2(w)\}$ वर्णमाला के ऊपर $\{0,1\}$ ?

अद्यतन: एक क्रमचय के लिए $\pi$ यह संभव है। $\pi$ उत्क्रमण का उलटा या अपेक्षाकृत मामूली संशोधन है।

fl.formal-languages grammars context-free

— jerr18
स्रोत

Math.stackexchange पर भी पूछा। उसका क्या मतलब है: क्या क्रमपरिवर्तन है

π_{1}^{n}, π_{2}^{n} \in S_{n}

$\pi_1^n,\pi_2^n \in S_n$ ऐसी कि भाषाओं

L_{n} = {w π_{1} (w) π_{2} (w) : w \in {0, 1}^{n}}

$L_n = \{w \pi_1(w) \pi_2(w) : w\in \{0,1\}^n\}$ बहुपद आकार CFG है?

— युवल फिल्मस

math.stackexchange.com/questions/22361/…

— त्सुयोशी इतो

क्या हम जानते हैं कि क्या कोई सीएफजी है

L = ⋃_{n} L_{n}

$L = \bigcup_n L_n$ ?

— केवह

@Kaveh: उत्तर क्रम के किसी भी क्रम के लिए नहीं है। अगर आपकी भाषा

L

$L$ संदर्भ-मुक्त थे, तो इसकी एक पंपिंग लंबाई है

p

$p$ । L से संबंधित स्ट्रिंग में CFG के लिए पम्पिंग लेम्मा लागू करें

w = 0^{p} 1^{p}

$w = 0^p 1^p$ । CFG के लिए पम्पिंग लेम्मा यह भी बताते हैं कि, यदि OQ का सकारात्मक उत्तर है, तो CFG के लिए

L_{n}

$L_n$ कम से कम उपयोग करना चाहिए

Ω (n / \log n)

$\Omega(n / \log n)$ चर, जब से हम की जरूरत है

3 n

$3n$ पंपिंग लंबाई से कम होना, ताकि हमारे सीएफजी के लिए

L_{n}

$L_n$ लंबाई के किसी भी तार को स्वीकार नहीं करता है

> 3 n

$> 3n$ । मैं अभी तक यह नहीं देखता कि ओक्यू को सकारात्मक उत्तर देने के लिए इसका उपयोग कैसे किया जाए, लेकिन यह संभव हो सकता है।

— जोशुआ ग्रोको

@Kaveh: (इसके अलावा, यदि परमिट के अनुक्रम को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है, तो आपकी भाषा

L

$L$ जरूरत भी नहीं की जा सकती है ... OQ स्वाभाविक रूप से गैर-समान प्रतीत होती है।)

— जोशुआ ग्रूचो

चॉम्स्की सामान्य रूप

एक CFG CNF (चॉम्स्की सामान्य रूप) में है यदि केवल निर्माण प्रपत्र के हैं $A \rightarrow a$ तथा $A \rightarrow BC$ ; एक व्याकरण को केवल द्विघात झटका के साथ CNF में लाया जा सकता है।

एक व्याकरण के लिए $G$ CNF में, हमारे पास अच्छा सबमर्स लेम्मा है: इफ $G$ एक शब्द उत्पन्न करता है $w$ , फिर प्रत्येक के लिए $\ell \leq w$ , एक सबवेर्ड है $x$ का $w$ लंबाई की $\ell/2 \leq |x| < \ell$ जो कुछ गैर-टर्मिनल द्वारा उत्पन्न होता है $G$ । प्रमाण: (बाइनरी) सिंटैक्स ट्री का वर्णन करें, हमेशा उस बच्चे के पास जा रहा है जो अधिक लंबे समय तक सब-वर्ड बनाता है। यदि आपने कम से कम आकार के एक सबॉर्ड के साथ शुरुआत की है $\ell$ , आप नीचे नहीं जा सकते हैं $\ell/2$ ।

समाधान

व्यापकता के नुकसान के बिना, हम मान सकते हैं कि एक व्याकरण $L_n$ (विशिष्ट के साथ ऐसी भाषा $\pi_1,\pi_2 \in S_n$ ) चोमस्की नॉर्मल फॉर्म में है। भाषा $L_n$ शब्दों के होते हैं $w(x) = x\pi_1(x)\pi_2(x)$ सबके लिए $x \in \{0,1\}^n$ ।

सबमर्स लेम्मा का उपयोग करना, प्रत्येक के लिए $w(x)$ हम एक विकल्प पा सकते हैं $s(x)$ लंबाई की

\frac{n}{2} \leq | s (x) | < n

$\frac{n}{2} \leq |s(x)| < n$ कुछ प्रतीक द्वारा उत्पन्न

A (x)

$A(x)$ और स्थिति में होने वाली

p (x)

$p(x)$ ।

मान लो कि $p(x) = p(y)$ तथा $A(x) = A(y)$ । जबसे $|s(x)|<n$ अधीनस्थ $s(x)$ दोनों को प्रतिच्छेद नहीं कर सकता $x$ भाग और द $\pi_2(x)$ का हिस्सा $w(x)$ ; हम यह मान सकते हैं कि यह इससे असहमति है $x$ अंश। इस प्रकार $w(x)$ रूप का है $x \alpha s(x) \beta$ । यह बताता है कि $A(x)$ बिल्कुल एक स्ट्रिंग उत्पन्न करता है, अर्थात् $s(x)$ । इसलिये $s(x) = s(y)$ ।

अभी $s(y)$ या तो intersects $\pi_1(y)$ या $\pi_2(y)$ कम से कम $n/4$ स्थानों, और इस प्रकार कम से कम निर्धारित करता है $n/4$ टुकड़े $y$ । इसलिए सबसे ज्यादा $2^{3n/4}$ तार $y \in \{0,1\}^n$ हो सकता है $p(x) = p(y)$ तथा $A(x) = A(y)$ । चूंकि ज्यादातर हैं $3n$ के लिए संभावनाएं $p(y)$ , हम पाते हैं कि कम से कम हैं

\frac{2^{n / 4}}{3 n}

$\frac{2^{n/4}}{3n}$ व्याकरण में अलग-अलग गैर-टर्मिनलों।

टिप्पणी: वही प्रमाण काम करता है यदि $\pi_1,\pi_2 \in S_{\{0,1\}^n}$ , यानी सभी के सेट पर मनमानी क्रमपरिवर्तन $n$ -शब्द। दिया हुआ $n/4$ टुकड़े $\pi_i(y)$ , बिल्कुल हैं $2^{3n/4}$ preimages $y$ ।

और ज्यादा उदाहरण

उसी पद्धति का उपयोग करके, कोई यह साबित कर सकता है कि भाषा जहां प्रत्येक वर्ण बिल्कुल दो बार दिखाई देता है, वर्णमाला के आकार में घातीय-आकार के सीएफजी की आवश्यकता होती है। हम किसी भी सबसेट के साथ "दो बार" बदल सकते हैं $\mathbb{N}$ चार से अधिक तुच्छ लोगों (अनदेखी) $0$ , जिनमें से कोई भी नहीं है $\mathbb{N}_{\geq 1}$ या यह सब)।

मैं इस सबूत विधि के लिए एक संदर्भ की सराहना करता हूं।

— युवल फिल्मस
स्रोत

युवल, क्या आप कृपया यहां भी समाधान की प्रतिलिपि बना सकते हैं।

— केवह

धन्यवाद युवल। यदि आपकी विधि सही है और उपन्यास है, तो मुझे परिमित या अनंत भाषाओं के लिए पॉलीसिज़ CFGs पर सकारात्मक या नकारात्मक परिणामों के साथ अधिक सामान्य मामलों की जांच करने वाला एक लेख पढ़ने में खुशी होगी।

— jerr18

यह राइटअप है : cs.toronto.edu/~yuvalf/cfg.pdf ।

— युवल फिल्मस

मुझे लगता है कि अपवाद से

N_{\geq 1}

$N_{\geq 1}$ आपका मतलब है "टर्मिनल की कम से कम एक घटना"। इसका मतलब यह होगा कि आप के साथ प्रतिच्छेद करके सभी क्रमपरिवर्तन उत्पन्न कर सकते हैं

Σ^{| Σ |}

$\Sigma^{|\Sigma|}$ ?

— 14:18 बजे jerr18

संबंधित प्रश्न देखें cstheory.stackexchange.com/q/5014 जहां युवल ने एक प्रकाशित संदर्भ के साथ एक उत्तर पोस्ट किया।

— आंद्र सलाम जूल