क्या बहुपद अपेक्षित समय समाधान के साथ एनपी-पूर्ण समस्याएं हैं?

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क्या कोई एनपी-पूर्ण समस्याएं हैं जिनके लिए एक एल्गोरिथ्म ज्ञात है कि अपेक्षित चलने का समय बहुपद है (उदाहरणों पर कुछ समझदार वितरण के लिए)?

यदि नहीं, तो क्या ऐसी समस्याएं हैं जिनके लिए इस तरह के एक एल्गोरिथ्म का अस्तित्व स्थापित किया गया है?

या इस तरह के एक एल्गोरिथ्म का अस्तित्व एक नियतात्मक बहुपद समय एल्गोरिथ्म के अस्तित्व को दर्शाता है?

cc.complexity-theory np-hardness

— स्टीव क्रून
स्रोत

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मुझे यह समझ में नहीं आया कि प्रश्न क्या है। क्या आप एनपी-हार्ड समस्याओं के लिए औसत-केस परिणाम पूछ रहे हैं या क्या आप पूछ रहे हैं कि क्या हम बहुपद समय में सबसे खराब स्थिति में एनपी-हार्ड समस्याओं को हल कर सकते हैं?

— मॉरिट्ज

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"अपेक्षित रनिंग टाइम" से आपका क्या अभिप्राय है? क्या आप इनपुट्स के कुछ रैंडम डिस्ट्रीब्यूशन के बारे में उम्मीद कर रहे हैं (जैसा कि ज्यादातर जवाब लगता है), या एल्गोरिथ्म द्वारा उपयोग किए जाने वाले रैंडम बिट्स (रैंडमाइज्ड अल्गोरिदम के लिए सामान्य अर्थ) के वितरण पर, या दोनों?

— जेफ

@ मॉर्ट्ज़: मैं एनपी-हार्ड समस्याओं के लिए औसत-केस परिणामों के बारे में पूछ रहा हूं। बहुपद समय में सबसे खराब स्थिति में एनपी-कठिन समस्याओं को हल करना मेरे लिए एक और भी मजबूत परिणाम की तरह लगता है, इसलिए मुझे ऐसे परिणामों में भी दिलचस्पी होगी। @JeffE मैं उदाहरणों पर कुछ वितरण wrt अपेक्षित समय के बारे में बात कर रहा हूँ। यदि एल्गोरिथ्म यादृच्छिक है, तो एक यादृच्छिक बिट्स पर अपेक्षा भी ले जाएगा। लेकिन मेरा प्रश्न मुख्य रूप से यादृच्छिक एल्गोरिदम के बारे में नहीं है।

— स्टीव क्रोन

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एक सरल पैडिंग तकनीक आपको किसी भी समस्या से इनका निर्माण करने का एक तरीका देती है।

मान लीजिए कि एक -Complete भाषा है जिसे हल करने के लिए समय की आवश्यकता होती है । फिर को । यदि $L$ $NP$ $O(2^{n})$ $K$

K = {1^{n} x | ‖ x ‖ = n and x \in L}

$K=\{1^nx\ |\ \|x\|=n \text{ and }x\in L\}$ फिर

के रूप में इस हल किया जाता है: एक रेखीय समय एल्गोरिथ्म चेकों एक इनपुट स्ट्रिंग में सम संख्या है कि क्या पहले जिनमें से

हैं

। यदि नहीं, तो यह अस्वीकार करता है; अन्यथा यह

हल करता है

K

$K$

n

$n$

1^{n}

$1^n$

x \overset{?}{\in} L

$x\overset{?}{\in}L$

यादृच्छिक पर समान रूप से तैयार की है, उम्मीद समय हल करने के लिए

है

y \in_{R} {0, 1}^{2 n}

$y\in_R \{0,1\}^{2n}$

y \overset{?}{\in} K

$y\overset{?}{\in}K$

\frac{1}{2^{2 n}} (2^{n} \cdot 2^{n} + (2^{2 n} - 2^{n}) O (n)) = 1 + (1 - \frac{1}{2^{n}}) O (n) \in O (n) .

$\frac{1}{2^{2n}}\big(2^n\cdot 2^n+(2^{2n}-2^n)O(n)\big) = 1+(1-\frac{1}{2^n})O(n)\in O(n).$

, -Complete है। से एक कमीहै: $K$ $NP$ $L$

x \in {0, 1}^{n} \mapsto 1^{n} x

$x\in \{0,1\}^n \mapsto 1^nx$

— लिउवे विन्खुइजेन
स्रोत

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रैंडम रेखांकन पर हैमिल्टनियन चक्रों को खोजने के लिए एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म है, जो एक ही हैमिल्टन चक्र मौजूद होने की समान संभावना के साथ विषम रूप से सफल होता है। बेशक, यह समस्या सबसे खराब स्थिति में एनपी-हार्ड है।

$n$

संदर्भ: "रैंडम ग्राफ में हैमिल्टन चक्रों को खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म"

बोलोबस, फेनर, फ्रेज़

http://portal.acm.org/citation.cfm?id=22145.22193

— हारून रोथ
स्रोत

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इस बारे में अपने अंतिम प्रश्न के बारे में कि क्या एक अच्छे औसत केस एल्गोरिथम का अस्तित्व एक अच्छे बुरे मामले के एल्गोरिथ्म का अस्तित्व होगा: यह एक प्रमुख खुला प्रश्न है जो विशेष रूप से क्रिप्टोग्राफर्स के लिए रुचि रखता है। क्रिप्टोग्राफी में उन समस्याओं की आवश्यकता होती है जो औसत रूप से कठिन होती हैं, लेकिन क्रिप्टोग्राफर अपने निर्माण को न्यूनतम मान्यताओं पर आधारित करना चाहेंगे, इसलिए उन समस्याओं को खोजना बहुत रुचि है जहां औसत-मामले की कठोरता सबसे खराब स्थिति कठोरता के बराबर है।

कई जाली समस्याओं को औसत केस में कटौती के लिए सबसे खराब स्थिति के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए, Ajtai द्वारा जाली समस्याओं के कठिन उदाहरण उत्पन्न करना , और Micciancio द्वारा एक सर्वेक्षण लेख ।

— इयान
स्रोत

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मूल रूप से, अधिकतम 2-CSP वैरिएबल और $n$ $n$ बेतरतीब ढंग से चुनी गई बाधाओं अपेक्षित रैखिक समय में हल किया जा सकता है (परिणाम के सटीक निरूपण के लिए नीचे संदर्भ देखें)। ध्यान दें कि अधिकतम 2-सीएसपी एनपी-हार्ड बना रहता है जब क्लॉज़ की संख्या चर की संख्या के बराबर होती है क्योंकि यह एनपी-हार्ड है यदि उदाहरण के बाधात्मक ग्राफ में अधिकतम 3 पर अधिकतम डिग्री है और आप औसत को कम करने के लिए कुछ डमी वैरिएबल जोड़ सकते हैं डिग्री 2 तक।

संदर्भ:

अलेक्जेंडर डी। स्कॉट और ग्रेगरी बी। सोरकिन। लीनियर अपेक्षित समय में मैक्स कट और मैक्स 2-सीएसपी के यादृच्छिक उदाहरणों को हल करना। कंघी। Probab। कंप्यूटर, 15 (1-2):। 281-315, 2006 प्रीप्रिंट

— सर्ज गैसपर्स
स्रोत

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Θ (n)

$\Theta(n)$

G (n, c / n)

$G(n,c/n)$

@ बर्ट: मुझे सवाल गलत लग सकता है। मेरा दावा है कि अधिकतम 2-CSP एक लीनियर संख्या के साथ NP-कठोर है, लेकिन यह कि एक एल्गोरिथ्म मौजूद है जिसमें अपेक्षित रैखिक समय यादृच्छिक उदाहरणों के लिए इस समस्या को हल करता है।

— सर्ज गैस्पर्स

मूल रूप से, यदि मैं आपके तर्क को सही ढंग से समझता हूं, तो आप कह रहे हैं कि अंतर्निहित ग्राफ़ पर वितरण G (n, c / n) से लैस Max 2-CSP अपेक्षित रैखिक समय में हल किया जा सकता है। मैं बार्ट से सहमत हूं कि वितरण मुझे पूरी तरह से "समझदार" या "स्वाभाविक" नहीं लगता है, लेकिन मुझे लगता है कि यह पर्याप्त रूप से मेरे जवाब देता है।

— स्टीव क्रून

@ समय: मैं सहमत हूँ।

— सर्ज गैसपर्स

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यह आपके प्रश्न का पूरी तरह से उत्तर नहीं देता है, लेकिन 3-SAT के यादृच्छिक उदाहरणों पर परिणामों के सर्वेक्षण के लिए आप इसे देख सकते हैं: www.math.cmu.edu/~adf/research/rand-sat-algs.pdf

आमतौर पर यह परिभाषित करना मुश्किल है कि वास्तव में "समझदार विकृति" क्या है। बोगदानोव और ट्रेविसन: http://arxiv.org/abs/cs/0606037 द्वारा सर्वेक्षण "औसत-समय की जटिलता" में इस बारे में अधिक पढ़ने के लिए आप इस लिंक का अनुसरण कर सकते हैं ।

— ग्रिगोरी यारोस्लावसेव
स्रोत

लिंक के लिए धन्यवाद। दुर्भाग्य से 3-सैट पेपर के "उच्च संभावना के साथ" परिणाम काफी मजबूत नहीं हैं (जहां तक मैं देख सकता हूं) मेरी क्वेरी की पुष्टि करने के लिए। मैं मानता हूं कि "समझदार वितरण" बालों वाला हो सकता है। इसमें, मैं इसे पसंद करूंगा यदि वितरण स्पष्ट रूप से नहीं चुना गया है ताकि "प्रभावी इंस्टेंस स्पेस" केवल पी में ज्ञात एक समस्या को कम न करे

— स्टीव क्रून

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"कलरिंग रैंडम ग्राफ्स इन एक्सपेक्टेड पोलीनोमियल टाइम" अमीन कोजा-ओगलन और एंशस तराज़ द्वारा

$G \in G(n, p)$ $p < 1.01/n$ $O(√np)$

http://www.springerlink.com/content/87c17d4dacbrc0ma/

— जोएल रयबिकी
स्रोत