वर्टेक्स कवर की संख्या की गणना: यह कठिन कब है?

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किसी दिए गए ग्राफ के शीर्ष कवर की संख्या की # P- पूर्ण समस्या पर विचार करें । $G = (V, E)$

मैं जानना चाहता हूं कि क्या कोई परिणाम है जो दिखा रहा है कि कुछ पैरामीटर के साथ ऐसी समस्या की कठोरता कैसे भिन्न होती है (उदाहरण के लिए, $G$ )। $d = \frac{|E|}{|V|}$

मेरी संवेदना यह है कि को विरल होने पर और के घने होने पर समस्या को आसान किया जाना चाहिए , जबकि "मध्य में" होने पर यह कठिन होना चाहिए । क्या वास्तव में यह मामला है? $G$ $G$ $G$

— जियोर्जियो कैमरानी
स्रोत

क्या आप सभी वर्टेक्स कवर या सभी न्यूनतम कार्डिनैलिटी वर्टेक्स कवर को गिनना चाहते हैं? ध्यान दें कि पहली समस्या कुछ मामलों में आसान हो सकती है, क्योंकि यह जरूरी नहीं है कि आप एनपी-पूर्ण समस्या को हल करने में मदद करें।

— रेयान विलियम्स

हाय रयान, हाँ मैं सभी शीर्ष कवर को गिनना चाहता हूं। आप क्यों कहते हैं "यह जरूरी नहीं कि आपको एनपी-पूर्ण समस्या को हल करने में मदद कर रहा है" ? यदि यह # P- पूर्ण है, तो यह मुझे NP- पूर्ण समस्याओं को हल करने में मदद क्यों नहीं करता है?

— जियोर्जियो कैमरानी

@Alter, किसी दिए गए 2SAT फॉर्मूले को पूरा करने वाले वेरिएबल असाइनमेंट की गिनती # P-complete है, लेकिन 2SAT P में है

— मोहम्मद अल-तुर्कतानी

@ टर्कीस्टनी: हां मुझे पहले से ही पता है कि ...

— जियोर्जियो कैमरानी

@turkistany: ... लेकिन फिर? जो भी एनपी-पूर्ण समस्या मेरे पास है, मैं उसे SAT में बदल सकता हूं, फिर SAT को #SAT में, फिर #SAT को # मोनोटोन -2 एसएटी (जो कि वास्तव में वर्टेक्स कवर की गिनती के समान है)। तो क्यों मैं एनपी-पूर्ण समस्याओं को हल करने में सक्षम नहीं होना चाहिए, वर्टेक्स कवर को गिनने की क्षमता?

— जियोर्जियो कैमरानी

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किसी दिए गए ग्राफ के वर्टेक्स कवर की संख्या की #VC समस्या बनी हुई है # 3-नियमित ग्राफ के लिए पी-हार्ड; उदाहरण के लिए देखें [ग्रीनहिल, 2000]।

कि #VC समस्या ज्यादा से ज्यादा के साथ रेखांकन के लिए # पी मुश्किल बनी हुई है दिखाने के लिए $c\cdot n$ किनारों, जहां $n$ कोने की संख्या और है $0<c<3/2$ , एक बड़ा पर्याप्त जोड़कर 3-नियमित मामले से कम हो स्वतंत्र सेट (रैखिक आकार का)। यदि आप एक स्वतंत्र सेट जोड़ते हैं तो शीर्ष कवर की संख्या समान रहती है।

इसी तरह, पता चलता है कि #VC समस्या के साथ कम से कम रेखांकन के लिए # पी मुश्किल बनी हुई है $c\cdot n^2$ किनारे, जहां $n$ कोने की संख्या और है $0<c<1/2$ , एक बड़ा पर्याप्त जोड़कर #VC से कम हो क्लिक घटक (रैखिक आकार का)। यदि आप किसी ग्राफ़ में आकार का कोई जोड़ जोड़ते हैं, तो शीर्ष कवर की संख्या $p+1$ से गुणा की जाती है । $p$

कैथरीन एस। ग्रीनहिल: विरल रेखांकन और हाइपरग्राफ में रंगाई और स्वतंत्र सेटों की गिनती की जटिलता । कम्प्यूटेशनल जटिलता 9 (1): 52-72 (2000)

— सर्ज गैसपर्स
स्रोत

तो कटौती यह है कि घन ग्राफ़ के लिए #VC # P- पूर्ण है क्योंकि #IS # P- पूर्ण है?

— डिलीट 1000

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यारोस्लाव के उत्तर के बाद, लुबी और विगोडा पहली बार एक घनत्व की स्थिति के तहत #IS के लिए एक FPRAS दिखाते थे (अधिकतम डिग्री 4, जो मुझे लगता है कि वेइट्ज़ के परिणाम से कमजोर है), जबकि डायर, फ्रेज़ और जेरुम ने दिखाया कि कोई FPRAS नहीं है # अगर ग्राफ की अधिकतम डिग्री 25 है जब तक कि आरपी = एनपी।

संदर्भ:

मार्टिन डायर, एलन फ्रेज़ और मार्क जेरुम। विरल रेखांकन में स्वतंत्र सेटों की गिनती करने पर। FOCS 1999।

माइकल लुबी और एरिक विगोडा। लगभग चार तक गिनती हुई। STOC 1997।

जेरुम के ETH लेक्चर नोट्स, "काउंटिंग, सैंपलिंग और इंटीग्रेटिंग: अल्गोरिद्म एंड कॉम्पलैक्सिटी" भी देखें।

— RJK
स्रोत

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BTW, एलन सेली ने अधिकतम डिग्री = 6 - arxiv.org/abs/1005.5584

— यारोस्लाव

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@ यारोस्लाव: संदर्भ के लिए धन्यवाद। पढ़ने में अच्छा लगता है!

— आरजेके

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$n$ $d$ $d$ $f(d,\epsilon)\cdot n$ $\exp(\epsilon n)$ $d$ $2$ -सैट (जो स्वतंत्र सेटों को गिनने और वर्टेक्स कवर को गिनने के बराबर है)।

$n$ $\exp(o(n))$

— होल्गर
स्रोत

आपकी अंतिम टिप्पणी के बारे में: ETH का अर्थ है कि SAT को उपसंचाई के समय में हल नहीं किया जा सकता है, जो मानक कटौती से तात्पर्य है कि INDEPENDENT SET को उपसंचालक समय में भी तय नहीं किया जा सकता है। तब यह तत्काल होता है कि ईटीएच का अर्थ है कि स्वतंत्र सेटों की गिनती भी उपसमुच्चय समय में नहीं की जा सकती है।

— आंद्र सलाम

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\exp (o (n / \log^{3} n))

$\exp(o(n/\log^3 n))$

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सेट एक शीर्ष आवरण है यदि इसके पूरक एक स्वतंत्र सेट है, इसलिए यह समस्या स्वतंत्र सेटों की गिनती के बराबर है।

स्वतंत्र सेटों की बीजगणितीय गणना, बंधी हुई बंधी-चौड़ाई के ग्राफ के लिए FPT है। उदाहरण के लिए, कौरसल की "ए मल्टीवेरिएट इंटरलेस बहुपद और बाउंडेड क्लिक्स-चौड़ाई के ग्राफ के लिए इसकी गणना" देखें, जहां वे स्वतंत्रता बहुपद के सामान्यीकरण की गणना करते हैं। स्वतंत्रता बहुपद के गुणांक को जोड़ने से स्वतंत्र सेट की संख्या मिलती है।

अधिकतम 3 डिग्री वाले रेखांकन में निर्बाध क्लिक्स-चौड़ाई हो सकती है।

$d$ $\lambda$

λ < \frac{(Δ - 1)^{Δ - 1}}{(Δ - 2)^{Δ}}

$\lambda<\frac{(\Delta-1)^{\Delta-1}}{(\Delta-2)^\Delta}$

_{(स्रोत: yaroslavvb.com )}

$\lambda=1$

$d$ $\lambda$ $d$

— यारोस्लाव बुलटोव
स्रोत

कुलपति के बजाय आईएस के साथ काम करने में समस्या यह है कि पूरक रेखांकन कुछ अच्छे गुणों को खो सकता है जो कोई चाहता है: उदाहरण के लिए, "कम से कम एनके के साथ डिग्री के लिए" अधिकतम सीमा "बाउंडेड डिग्री" है, जो अब उदाहरण के आकार पर निर्भर है। यह प्रासंगिक हो सकता है या नहीं भी हो सकता है।

— एंड्रस सलामन

@ एंड्रस यह शीर्ष सेट है जो जटिल हो रहा है, न कि किनारे सेट।

— टायसन विलियम्स