मेडियन-सैट की जटिलता क्या है?

Question

Let वैरिएबल और क्लाज के साथ CNF फॉर्मूला हो । चलो एक चर असाइनमेंट और प्रतिनिधित्व के लिए एक चर काम से संतुष्ट खंड की संख्या की गिनती । फिर मेडियन-सैट को के माध्य मान की गणना करने में समस्या के रूप में सभी परिभाषित करें । उदाहरण के लिए, अगर एक तना हुआ है तो मेडियन-सैट का समाधान होगा क्योंकि असाइनमेंट की परवाह किए बिना हर क्लॉज संतुष्ट हो जाएगा। हालाँकि, के मामले मेंn मीटर टी ∈ { 0 , 1 } n च φ ( टी ) ∈ { 0 , ... , मीटर } φ च φ ( टी ) टी ∈ { 0 , 1 } n φ मीटर ¯ एस ए $\varphi$$n$$m$$t \in \{ 0,1 \}^n$$f_{\varphi}(t) \in \{ 0, \ldots , m \}$$\varphi$$f_{\varphi}(t)$$t \in \{ 0,1 \}^n$$\varphi$$m$$\overline{SAT}$मेडियन-सैट का समाधान और बीच कहीं भी हो सकता है ।मीटर - $0$$m-1$

यह सवाल तब खड़ा हुआ जब मैं SAT, MAX-SAT और #SAT के दो प्राकृतिक एक्सटेंशनों के बारे में बता रहा था और अगर उन्हें एक साथ रखा जाता तो परिणाम की समस्या क्या होती। MAX-SAT के लिए हमें एक विशेष वेरिएबल असाइनमेंट को खोजना होगा, जो वेरिएबल्स की संख्या को अधिकतम करने के लिए संतुष्ट हो । #SAT के लिए हम गिनती करने के लिए कितने कार्य सभी को संतुष्ट है की धाराएं । यह वैरिएंट मुख्य रूप से #SAT (और वास्तव में #WSAT ) के विस्तार के रूप में हवा देता है , लेकिन MAX-SAT के स्वाद को कुछ हद तक बनाए रखता है, जिसमें हम केवल संतुष्ट होने के बजाय संतुष्ट क्लॉस की संख्या की गणना करते हैं कि वे सभी संतुष्ट हैं या नहीं।एम $\varphi$$m$$\varphi$

यह समस्या #SAT या #WSAT से अधिक कठिन लगती है। प्रत्येक चर असाइनमेंट के लिए # एसएटी बुलियन समस्या का निर्णय करता है कि क्या असाइनमेंट संतुष्ट करता है या नहीं, जबकि मेडियन-सैट "यह निर्धारित करता है कि किस हद तक क्लॉज की संख्या के संदर्भ में संतुष्ट है जो एक असाइनमेंट संतुष्ट करता है।"$\varphi$$\varphi$

मुझे एहसास है कि यह समस्या कुछ हद तक मनमानी है; प्रत्येक चर असाइनमेंट से संतुष्ट क्लॉज़ की औसत या मोड संख्या की गणना करना समान गुणवत्ता पर कब्जा करने लगता है। शायद कई अन्य समस्याएं भी करती हैं।

क्या इस समस्या का अध्ययन किया गया है, शायद एक अलग आड़ में? #SAT की तुलना में यह कितना कठिन है? यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है कि मेडियन-सैट एफपीएसपीएसी में भी समाहित है, हालांकि यह एफएक्सपीटीईईएम में निहित है।

Comments

यह : प्रत्येक हम #P oracle का उपयोग करके कम से कम clauses को संतुष्ट करने वाले असाइनमेंट की संख्या की गणना कर सकते हैं । k ≤ मीटर $FP^{\#P}\subseteq FPSPACE$$k\leq m$$k$

— कॉलिन मैकक्लिअन

@ कोलिन इसे एक जवाब में बनाते हैं?

— सुरेश वेंकट

हां, यह एक अच्छा जवाब होगा। क्या आप इस बात की विस्तृत जाँच कर सकते हैं कि clauses संतुष्ट होने के लिए #P oracle की क्वेरी कैसे करें ? मैं समझ नहीं पा रहा था कि इसे कुशलता से कैसे किया जाए। $k \leq m$

— हक बेनेट

@ त्सुयोशी, सैट की आपकी परिभाषा क्या है? क्या हम खंडों की पुनरावृत्ति की अनुमति दे रहे हैं? या दिए गए खंडों में शाब्दिक और / या चर? क्योंकि यदि आप दिए गए खंडों में शाब्दिक और / या चर की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं देते हैं तो आपके पास सीएनएफ फॉर्मूला नहीं हो सकता है जो कि एक टॉटोलॉजी है ..

— तैफुन पे

@Tayfun - मैंने वास्तव में यह सवाल पूछा था, त्सुकोशी ने एक मामूली संपादन में मदद की। आप CNF फॉर्मूला में बार-बार शाब्दिक अर्थों की आवश्यकता के बारे में सही हैं। कोई भी सैट वैरिएंट दिलचस्प होगा, क्लॉस में सीएनएफ-सैट डब्ल्यू / ओ वर्जन रिपीटेशन (जिस स्थिति में टॉटोलॉजी असंभव है), या संभवतया CIRCUIT-SAT। मुझे नहीं लगता कि यह विकल्प प्रश्न के स्वाद को बदलता है।

— हेक बेनेट

Answer 1

सैट, एक पूर्णांक का एक उदाहरण को देखते हुए , और एक चर काम है, हम बहुपद समय है कि क्या वास्तव में में तय कर सकते हैं खंड संतुष्ट हैं, बस खंड है कि संतुष्ट हैं की संख्या की गणना और परीक्षण है कि संख्या के बराबर होती है कि क्या द्वारा । इसलिए हम # पी ऑरेकल का उपयोग करते हुए वास्तव में क्लॉज को संतुष्ट करने वाले वेरिएबल असैगमेंट की कुल संख्या की गणना कर सकते हैं ।k k $k$$k$$k$$k$

तो मैक्स-सैट की तरह, -सैट को बहुपद समय में एक ऑरेकल का उपयोग करके गणना की जा सकती है । इससे पता चलता है कि समस्या ।$\#P$$FP^{\#P} \subseteq FPSPACE$

Comments

आप बिल्कुल सही कह रहे है। यह एक बहुत साफ तर्क है, और मुझे # पी की परिभाषा से बहुत स्पष्ट लगता है। मैंने कुछ सीखा।

— हुक बेनेट

मुझे इस बारे में थोड़ा और विस्तार से बताएं: कॉलिन का यह कहना कि क्योंकि हम बहुपद समय में यह निर्धारित कर सकते हैं कि क्या एक विशेष चर असाइनमेंट क्लाज़ को संतुष्ट करता है कि हम एक चर असाइनमेंट का अनुमान लगा सकते हैं और फिर कई स्वीकार करने वाले पथों की गिनती कर सकते हैं (जैसे कि चर असाइनमेंट स्वीकार करना)। oracle ( की परिभाषा द्वारा ) का उपयोग कर रहा था । K = 1 से m तक पुनरावृति करके, हम में संतुष्ट खंडों की औसत संख्या की गणना कर सकते हैं । $k$$\#P$$\#P$$FP^{\#P}$

— हुक बेनेट

Answer 2

इस समस्या को MAJSAT के लिए oracle के इनवोकेशन का उपयोग करके हल किया जा सकता है ।$\lceil \lg m+1 \rceil$

चलो के लिए वांछित मंझला मान दर्शाने । निश्चित , सूत्र को परिभाषित करें ताकि यह असाइनमेंट लिए सही हो, अगर कम से कम के कम से कम संतुष्ट करता है । ध्यान दें कि CNF रूप में दिए गए और दिए गए हैं , आप बहुपद समय में CNF रूप में आसानी से निर्माण कर सकते हैं ।$M(\varphi)$$\varphi$$k$$\psi_k$$x$$x$$k$$\varphi$$\varphi$$k$$\psi_k$

अब मान लीजिए कि हमारे पास MAJSAT के लिए एक oracle था। सूत्र पर इसे हमें बताएंगे कि क्या अधिकांश असाइनमेंट सूत्र सत्य हैं, या समकक्ष रूप से, चाहे । तो, सीखने के लिए , बाइनरी सर्च लागू करें ( , फिर oracle से परिणाम के अनुसार बढ़ाएं या घटाएं )। बाद पुनरावृत्तियों, द्विआधारी खोज का महत्व का पता चलता है । प्रत्येक पुनरावृत्ति को MAJSAT के लिए हमारे ऑरेकल को एक क्वेरी की आवश्यकता होती है।ψ कश्मीर एम ( φ ) ≥ कश्मीर एम ( φ ) कश्मीर = मीटर / 2 कश्मीर एलजी मीटर + 1 एम ( φ $\psi_k$$\psi_k$$M(\varphi) \ge k$$M(\varphi)$$k=m/2$$k$$\lg m+1$$M(\varphi)$