Max-3SAT के बारे में किसी भी जानकारी की गणना करना

Question

3CNF सूत्र $C$ लिए $M(C)$ किसी भी असाइनमेंट में संतुष्ट क्लॉज की अधिकतम संख्या $C$ । यह ज्ञात है कि अधिकतम 3SAT (पी ≠ एनपी के अधीन), यानी कोई polytime एल्गोरिथ्म जिसका इनपुट एक 3CNF सूत्र है अनुमान लगाने के लिए मुश्किल है $C$ , और जिसका उत्पादन होता है संख्या $M'$ ऐसी है कि $M(C)$ एक के भीतर है गुणक कारक $1+c$ से $M'$ है, जहां $c>0$ एक पूर्ण सकारात्मक निरंतर है।

$M(C) \bmod p$C N लॉग 2 N - B M ( C ) B B M ( C $p$$C$$N$$\log_2 N-B$$M(C)$$B$$B$$M(C)$

यदि प्रश्न का एक सुविख्यात उत्तर है, तो मैं क्षमा चाहता हूँ, क्योंकि मैं पृष्ठभूमि के माध्यम से एक जटिलता सिद्धांतवादी नहीं हूँ।

Comments

आमतौर पर एक "सलाह" केवल इनपुट की लंबाई पर निर्भर कर सकती है। मुझे विश्वास है कि आपका आशय यह है कि यहां एक "सलाह" इनपुट पर ही निर्भर कर सकती है। मैं इस धारणा के लिए एक मानक शब्दावली नहीं जानता।

— त्सुयोशी इतो

यह एक बहुत ही दिलचस्प सवाल है। यह पुष्टि करने के लिए कि की गणना करना वास्तव में कठिन है, कोई यह नोट कर सकता है कि कुक के प्रमेय का प्रमाण एक -variable सूत्र पैदा करता है जो या तो संतोषजनक है या ऐसा । एम एफ एम ( एफ ) = एम - $M(C)\bmod p$$m$$F$$M(F) = m-1$

— लुका ट्रेविसन 20

प्रश्न को निम्नलिखित तरीके से बहाल किया जा सकता है: क्या एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म हो सकता है, जिसे चर के साथ 3CNF सूत्र दिया गया है , संख्याओं की सूची को आउटपुट करता है, जैसे कि उन संख्याओं में से एक ? एम एम / 2 बी एम ( एफ $F$$m$$m/2^B$$M(F)$

— लुका ट्रेविसन 20

हाँ, उपरोक्त टिप्पणी में खंड की संख्या होनी चाहिए थी। $m$

— लुका ट्रेविसन

यह समतुल्य है क्योंकि यदि आपके पास पोस्ट में वर्णित एल्गोरिथ्म है, तो आप एल्गोरिथ्म को सलाह सलाह में से प्रत्येक पर चला सकते हैं , जितने भी मिलें (या बहुत कम टकराव के) उत्तर हैं, और उनमें से एक सही है। यदि आपके पास मेरी टिप्पणी के अनुसार एक एल्गोरिथ्म है, तो सलाह बिट्स यह निर्दिष्ट करने के लिए पर्याप्त हैं कि सही उत्तर कुछ लिए एल्गोरिथ्म के आउटपुट का सबसे बड़ा -th है । लॉग 2 एम - बी आई $2^{\log_2 m - B} = m/2^B$$\log_2 m - B$$i$$i$

— लुका त्रेविसन 21

Answer 1

यहाँ एक तर्क दिया गया है कि यदि आप अधिकतम 3SAT को हल कर सकते हैं तो एक m-clause उदाहरण पर निरंतर बिट्स की सलाह दी जा सकती है, तो बहुपद पदानुक्रम ढह जाएगा।

एक एनपी-पूर्ण समस्या को ठीक करें। एल के कुक के प्रमेय से, हम जानते हैं कि एल के लिए एक्स (एक्स) के 3 एस फॉर्मूले में एक्स (एक्स) के ट्रांसफॉर्मेशन एफ () है, ताकि

1) यदि तोएम ( च ( एक्स ) ) = $x\in L$$M(f(x)) = m$

2) यदि तोएम ( च ( एक्स ) ) = मीटर - $x\in L$$M(f(x)) = m-1$

जहाँ , में खंडों की संख्या है ।एफ ( एक्स $m$$f(x)$

हम यह भी Kadin की एक प्रमेय का कहना है कि है कि, अगर दिया है आदानों एक एन पी-सम्पूर्ण समस्या का, आप एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म है कि बनाता है एक एनपी ओरेकल के लिए प्रश्नों और निर्धारित करता है NP समस्याओं का सही उत्तर , फिर बहुपद पदानुक्रम ढह जाता है।x 1 , ... , एक्स कश्मीर ≤ कश्मीर - 1 कश्मीर x मैं ∈ ? $k$$x_1,\ldots,x_k$$\leq k-1$$k$$x_i \in ? L$

मान लीजिए कि हमारे पास एक एल्गोरिथ्म है जो सलाह के k बिट्स को दिए गए m- क्लॉज इनपुट पर Max SAT को हल करता है। हम कथिन प्रमेय के आधार के रूप में एक एल्गोरिथ्म का निर्माण करने के लिए हस्तेद के परिणाम का उपयोग करेंगे।

समस्या के लिए इनपुट से करें । उनमें से प्रत्येक के लिए कुक की प्रमेय लागू करें। कुछ सामान्य (जो परिच्छेदों से वजन बताए, या उन्हें डुप्लिकेट अगर हम उपयोग वजन नहीं करना चाहती द्वारा किया जा सकता) के बाद, हम का निर्माण फार्मूले जहां, एक निश्चित के लिए :एक्स 1 , … , एक्स के एल के एफ 1 , … , एफ के$K=2^k+1$$x_1,\ldots,x_K$$L$$K$$F_1,\ldots,F_K$$m$

1) अगर और अन्यथाएक्स 1 ∈ एल एम ( एफ 1 ) = मीटर - $M(F_1)= m-1$$x_1 \in L$$M(F_1) = m-2$

2) यदि और अन्यथाx 2 ∈ एल एम ( एफ 2 ) = मीटर ⋅ ( मीटर - 2 $M(F_2) = m\cdot (m-1)$$x_2 \in L$$M(F_2) = m\cdot (m-2)$

...

k) यदि और अन्यथाएक्स कश्मीर ∈ $M(F_K) = m^{K-1} \cdot (m-1)$$x_K\in L$$M(F_K) = m^{K-1} \cdot (m-2)$

अब फार्मूले के संघ को लें, जिसका निर्माण असंतुष्ट चर सेट पर किया गया था, और इसे कहते हैं । तो हमारे पास , और हम समस्याओं का जवाब "read" कर सकते हैं , के आधार- प्रतिनिधित्व को देखकर । हम गणना कर सकते हैं को देखते हुए सलाह के टुकड़े, इसका मतलब है कि हम प्राप्त कर सकते हैं मूल्यों ऐसा है कि उनमें से एक है । फिर हम गैर-अनुकूल रूप से एक NP oracle पूछ सकते हैं कि क्या प्रत्येक उम्मीदवार के लिए मानोंएम ( एफ ) = एम ( एफ 1 ) + ⋯ + M ( एफ कश्मीर ) कश्मीर x मैं ∈ ? एल मीटर एम ( एफ ) एम ( एफ ) कश्मीर 2 कश्मीर एम ( एफ ) एम ( एफ ) ≥ n मैं n 1 , ... , एन 2 कश्मीर 2 कश्मीर + 1 $F$$M(F) = M(F_1) + \cdots + M(F_k)$$K$$x_i \in? L$$m$$M(F)$$M(F)$$k$$2^k$$M(F)$$M(F) \geq n_i$$n_1,\ldots,n_{2^k}$हमने उत्पन्न किया। इसलिए हम NP -अडाप्टिव क्वेश्चन को NP oracle के लिए इंस्टेंस को हल करने में सक्षम हुए हैं , जिसका मतलब है कि बहुपद पदानुक्रम ढह जाता है।$2^k+1$$2^k$

Hastad के बजाय प्रमेय कुक की प्रमेय का उपयोग करना, यह के आकार पुश करने के लिए संभव है के लिए के बजाय , तो यह पुश करने के लिए संभव है को है, और करने के लिए सलाह बिट्स की संख्या । यह समझने से कि जब आपको सलाह दी जाती है, तो वास्तव में मुश्किल लगता है।ओ ( 1 ) कश्मीर ⋅ मीटर मीटर कश्मीर कश्मीर लॉग ऑन मी लॉग लॉग मीटर लॉग मीटर - हे ( 1 $F$$O(1)^k \cdot m$$m^k$$k$$\log m$$\log\log m$$\log m - O(1)$

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जोड़ने के लिए संपादित किया गया: क्रेंटेल ( अनुकूलन समस्याओं की जटिलता । जे । कम्प्यूट । सिस्ट । विज्ञान। 36 (3): 490-509 (1988) ) ने साबित किया कि लिए अधिकतम क्लिक समस्या के इष्टतम के मान को पूरा करना पूर्ण है। , एक एनपी ओरेकल के प्रश्नों के साथ बहुपद समय में गणना योग्य कार्यों का वर्ग । पूर्णता "एक क्वेरी रिडक्शन" के अंतर्गत है, जिसमें फ़ंक्शन f फ़ंक्शन जी के लिए reducible है यदि कोई बहुपद समय कम्प्यूटेशनल और लिए लिख सकता है । संभवतः समान रूप से सत्य है। मैक्स क्लिक के लिए। अब, अगर मैक्स क्लिक का बहुपद समय एल्गोरिथ्म था जो सूची तैयार करता है। हे ( एल ओ जी एन ) च ( एक्स ) = आर 1 ( जी ( आर 2 ( एक्स ) ) आर 1 आर 2 मीटर ओ ( 1 ) एफ पी एन पी [ o ( l o g n ) $FP^{NP[O(log n)]}$$O(log n)$$f(x) = r_1(g(r_2(x))$$r_1$$r_2$$m^{o(1)}$संभव मान, यह , क्योंकि आप बाइनरी खोज का उपयोग कई प्रश्नों के साथ इष्टतम को खोजने के लिए कर सकते हैं, जो सूची आकार में लॉग है।$FP^{NP[o(logn)]}$

अब, यदि हमारे पास तो हमारे पास निश्चित रूप से , जो निर्णय की समस्याओं के लिए विशेष मामला है, और वैगनर के परिणामों से पता चलता है (कादिन का एक परिणाम में सुधार जो लगातार प्रश्नों पर लागू होता है), बहुपद पदानुक्रम को खत्म करने के लिए। लेकिन मुझे लगता है कि यह ज्ञात हो सकता है कि वास्तव में P = NP होगा। लेकिन किसी भी मामले में क्रेंटेल और काडिन-वैगनर के परिणाम एंडी ड्रकर के परिणाम का एक और सबूत देने के लिए पर्याप्त होना चाहिए। अब मुझे आश्चर्य है कि अगर यह वास्तव में एक ही प्रमाण है, अर्थात, यदि फ़ॉर्तेन-वान मेलकेबीक परिणाम "स्पष्ट रूप से या अंतर्निहित रूप से," कम एनपी प्रश्नों के साथ एनपी प्रश्नों का अनुकरण करके "तर्क देता है। P N P [ O ( l o g n ) ] = P N P [ o ( l o g n) ) ] एफ पी एन पी [ ओ ( एल $FP^{NP[O(log n)]} = FP^{NP[o(log n)]}$$P^{NP[O(log n)]} = P^{NP[o(log n)]}$$FP^{NP[O(log n)]} = FP^{NP[o(log n)]}$

एक अच्छा सर्वेक्षण पत्र जो बताता है कि अनुकूलन समस्याओं और बंधे हुए क्वेरी वर्गों के साथ क्या हो रहा है:

http://www.csee.umbc.edu/~chang/papers/bqabh/npfsat.pdf

Answer 2

मैं एक कारण बताना चाहूंगा कि इस समस्या की एनपी-कठोरता को साबित करना मुश्किल है।

सवाल पर एक टिप्पणी में, लुका ट्रेविसन ने समस्या को शांत करने का एक अच्छा तरीका दिया: क्या प्रत्येक निरंतर k के लिए बहुपद समय में निम्नलिखित समस्या हल है ? मीटर क्लॉस के साथ CNF फॉर्मूला C को देखते हुए , अधिकांश m / k पूर्णांकों में आउटपुट होता है ताकि उनमें से एक M ( C ) के बराबर हो । यहाँ k , B से k = 2 ^B से संबंधित है ।

हालाँकि, और अधिक की मांग करते हैं। अर्थात्, हम निम्नलिखित समस्या पर विचार करते हैं: एक CNF सूत्र C , दो पूर्णांकों को आउटपुट देते हैं, ताकि उनमें से एक M ( C ) के बराबर हो । हम इस समस्या को by से दर्शाते हैं। समस्या Π मूल समस्या की तरह कम से कम कठिन है, इसलिए यदि मूल समस्या एनपी-हार्ड है, तो। एनपी-हार्ड भी होना चाहिए।

ध्यान दें कि a एक संबंध समस्या है। कटौती के सबसे सरल प्रकारों में से एक का उपयोग कुछ समस्या को कम करने के लिए किया जा सकता है एल एक संबंध समस्या के लिए time एक बहुपद-समय लेविन कमी है, जो एक बहुपद-समय की एक विशेष मामला है ट्यूरिंग कटौती जहां कमी केवल or के लिए ओरेकल को बुलाती है। एक बार।

हम दावा करते हैं कि पी claim ^[1] = पी। इसका स्पष्ट अर्थ है कि NP_P ^{Π [1]} जब तक P = NP, यानी-बहुपद-काल Levin reducibility के तहत P = NP नहीं होता है।

सबूत । चलो एल ∈P ^{Π [1]} , या दूसरे शब्दों में, वहाँ से एक लेविन कमी मौजूद एल Π करने के लिए। इस का मतलब है एक जोड़ी (मौजूद है च , छ एक बहुपद समय गणनीय समारोह की) च : {0,1} ^* → {0,1} ^* जो प्रत्येक उदाहरण के नक्शे x समस्या के एल कुछ CNF सूत्र के च ( एक्स ) और एक बहुपद-काल गणना योग्य विधेय g : {0,1} ^* × ℕ ×, → {0,1} जैसे कि जी ( x , i , j ) = L( x ) यदि या तो i या j , M ( f ( x )) के बराबर है । (यहाँ L ( x ) = 1 यदि x , L और L का उदाहरण है ( x ) = 0 यदि x एक नहीं-उदाहरण है।)

हम इस प्रकार से एल के लिए एक बहुपद-समय एल्गोरिथ्म का निर्माण करते हैं। बता दें कि x एक इनपुट है।

1. चलो सी = च ( एक्स ), और मीटर में खंड की संख्या हो सी ।
2. एक i one {0,…, m } को ऐसे खोजें कि मान g ( x , i , j ) j , {0,…, m } से निरंतर स्वतंत्र हो ।
3. इस स्थिर g ( x , i , 0) को आउटपुट करें ।

चरण 2 में, मैं हमेशा मौजूद रहता हूं क्योंकि i = M ( f ( x )) स्थिति को संतुष्ट करता है। इसके अलावा, यह एल्गोरिथ्म गलत उत्तर नहीं दे सकता क्योंकि जी ( x , i , M ( f ( x ))) सही उत्तर होना चाहिए। इसलिए, यह एल्गोरिथ्म एल को सही ढंग से हल करता है। QED ।

यदि मैं गलत नहीं हूं, तो उसी विचार का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि P ^{( [ k ( n )]} nDTIME [ n ^{O ( k ( n ))} ]। इसका मतलब यह है कि NP implP ^{Π [ k ]} किसी भी निरंतर k के लिए जब तक P = NP और वह NP⊈P unless ^{[बहुवचन]} जब तक NPlogDTIME [2 ^{बहुवचन} ]। हालाँकि, यह विचार अकेले इस संभावना को खारिज नहीं करता है कि बहुपद-काल ट्यूरिंग रिड्यूसबिलिटी के तहत-एनपी-हार्ड है।

Comments

क्या आप दाना के जवाब के लिए एक लिंक प्रदान कर सकते हैं?

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

@turkistany: मैंने इस उत्तर का पहला संशोधन पोस्ट करने के बाद उसका उत्तर हटा दिया था। मैंने अभी इस उत्तर से इसका संदर्भ हटा दिया है।

— त्सुयोशी इटो

Answer 3

मुझे विश्वास है कि हम दिखा सकते हैं:

दावा। एक मान ऐसा है जो निम्न सत्य है। मान लीजिए कि एक निर्धारक पॉली-टाइम एल्गोरिथ्म है, जो एक -clause 3-SAT उदाहरण , एक सूची का सबसे मान, जैसे कि में आउटपुट करता है ; तब बहुपद पदानुक्रम ढह जाता है।मीटर φ एस एम सी एम ( φ ) ∈ $0 < c < 1$$m$$\phi$$S$$m^c$$M(\phi) \in S$

सबूत Fortnow और संथानम के परिणामों का उपयोग उनके कागज से उदाहरण संपीड़न की घुसपैठ पर करता है ।

विशेष रूप से, Thm 3.1 के उनके प्रमाण को देखकर, मेरा मानना ​​है कि कोई भी निम्नलिखित को निकाल सकता है (मैं जल्द ही इसकी पुनः जाँच करूँगा):

"प्रमेय" [एफएस]। पूर्णांक जैसे कि निम्नलिखित सत्य है। नियतात्मक पॉली-टाइम में मान लें, तो कोई व्यक्ति फ़ार्मुलों (फिर से परिवर्तनीय-डिसऑइंट और ) में एक बूलियन फ़ार्मुलों (प्रत्येक की लंबाई , और असम्पीडित चर-सेटों में) को रूपांतरित कर सकता है। लंबाई ), या की संतुष्टि / असंतोष को संरक्षित करना। तब और बहुपद पदानुक्रम ढह जाता है।एन डी ≤ n n घ ' ≤ n एन पी ⊆ सी ओ एन पी / पी ओ एल $0 < d' < d$$n^d$$\leq n$$n^{d'}$$\leq n$$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{coNP/poly}$

हमारे दावे का प्रमाण सूची-कंप्यूटिंग की समस्या के लिए उपर्युक्त प्रमेय [एफएस] में उल्लिखित OR- संपीड़न कार्य से कमी होगी । मान लीजिए कि उन सूत्रों की एक सूची है हम संक्षिप्त करना चाहते हैं।$M(\phi)$$\psi_1, \ldots, \psi_{n^d}$

पहला चरण: इनपुट स्ट्रिंग्स पर एक बहुपद आकार के सर्किट को परिभाषित करें । यहाँ स्ट्रिंग को असाइनमेंट एन्कोड करता है , और एक नंबर को और बीच एनकोड करता है ।$\Gamma$$(v, y_1, \ldots, y_{n^d})$$y_i$$\psi_i$$v \in \{0, 1\}^{d \log n + 1}$$0$$n^d$

हमारे पास स्वीकार है अगर या तो , या ।$\Gamma$$v = 0$$\psi_v(y_v) = 1$

अब को अधिकतम मान , जैसे कि प्रतिबंधित सर्किट संतोषजनक है। (यह मात्रा हमेशा कम से कम 0 होती है)।$M^*(\Gamma)$$v$$\Gamma(v, \cdot, \ldots, \cdot)$

मान लीजिए कि हमें कुशलतापूर्वक एक सूची का उत्पादन कर सकते के लिए संभावित मानों की । फिर दावा यह है कि हमारी सूची में , हम सभी को फेंक सकते हैं , जिसके लिए ; परिणामी सूची में एक संतोषजनक फॉर्मूला होता है यदि मूल एक ने किया हो। मुझे उम्मीद है कि यह निरीक्षण से स्पष्ट है।$S$$M^*(\Gamma)$$\psi_1, \ldots, \psi_{n^d}$$\psi_i$$i \notin S$

निष्कर्ष: हम मज़बूती से एक सूची का उत्पादन नहीं कर सकते हैं की के लिए संभावित मान , जब तक पाली पदानुक्रम गिर।$S$$\leq n^{d'}$$M^*(\Gamma)$

दूसरा चरण: हम 3-SAT इंस्टेंस लिए सूची-कंप्यूटिंग की सूची-कंप्यूटिंग की समस्या से कम करते हैं ।$M^*(\Gamma)$$M(\phi)$$\phi$

ऐसा करने के लिए, हम सबसे पहले कुक की कमी को चलाने के लिए पर एक 3-SAT उदाहरण का आकार । पास कुछ सहायक चर के साथ एक ही चर-सेट । हमारे उद्देश्यों के लिए सबसे महत्वपूर्ण, संतोषजनक iff संतोषजनक है।$\Gamma$$\phi_1$$m = poly(n^d)$$\phi_1$$\Gamma$$\phi_1(v, \cdot)$$\Gamma(v, \cdot)$

हम को 'मजबूत अवरोध' कहते हैं। हम इन बाधाओं में से प्रत्येक का वजन (डुप्लिकेट बाधाओं को जोड़कर) देते हैं।$\phi_1$$2m$

फिर हम `कमजोर बाधाओं 'का एक सेट जोड़ते हैं जो सूचकांक (चरण 1 में परिभाषित) के लिए एक वरीयता जोड़ते हैं जितना संभव हो सके। प्रत्येक बिट के लिए एक बाधा है , अर्थात् । हम के -th को सबसे महत्वपूर्ण बिट वेट कमी । चूंकि लंबाई की है , इन वजन अभिन्न बनाया जा सकता है (हम सिर्फ यह बताने के लिए पैड की जरूरत 2 के एक शक्ति हो)।$\phi_2$$v$$v_t$$v$$[v_t = 1]$$t$$v$$m/2^{t-1}$$v$$d \log n + 1$$m$

अंत में, हमारी कमी का आउटपुट ।$\phi = \phi_1 \wedge \phi_2$

का विश्लेषण करने के लिए , पहले की तरह साथ का परिवर्तनशील-समुच्चय होना चाहिए । पहला ध्यान दें कि को कोई भी असाइनमेंट दिया गया है, कोई की मात्रा से के मान को घटा सकता है ( द्वारा संतुष्ट -constraints का कुल वजन )। यह बाधा-भार के श्रेणीबद्ध डिजाइन (लुका के जवाब से एक तकनीक के समान) से निम्नानुसार है। इसी तरह, अधिकतम प्राप्त मूल्य एक सेटिंग द्वारा प्राप्त किया जाता है जो सभी मजबूत बाधाओं को संतुष्ट करता है, और जहां (इस के अधीन)$\phi$$(v,z)$$\phi$$v$$(v, z)$$v$$N(v, z) =$$\phi$$v, z$
$M(\phi)$$(v, z)$$v$जितना संभव हो उतना बड़ा है। यह सबसे बड़ा सूचकांक है जिसके लिए संतोषजनक है, अर्थात् । (ध्यान दें, सभी मजबूत बाधाओं को पूरा करने के लिए, all-0 सेट करके, यह हमेशा संभव है, क्योंकि उस स्थिति में संतोषजनक है।)$v$$\Gamma(v, \cdot)$$M^*(\Gamma)$$v =$$\Gamma(v, \cdot)$

ऐसा नहीं है कि इस प्रकार है, अगर हम एक सूची दी जाती है के संभावित मानों की , हम की एक सूची प्राप्त कर सकते हैं संभावित मान । इस प्रकार हम नहीं कर सकते हैंजब तक पाली पदानुक्रम ढह नहीं जाता तब तक । यह क्लेम देता है, चूंकि ।एम ( ϕ ) | एस | एम * ( Γ ) | एस | ≤ n घ ' एन डी ' = मीटर Ω ( 1 $S$$M(\phi)$$|S|$$M^*(\Gamma)$$|S| \leq n^{d'}$$n^{d'} = m^{\Omega(1)}$