CNF सूत्रों की यादृच्छिकता को मापना

Question

यह व्यापक रूप से ज्ञात है कि CNF सूत्र को मोटे तौर पर 2 व्यापक वर्गों में विभाजित किया जा सकता है: यादृच्छिक बनाम संरचित। संरचित CNF फ़ार्मुलों, यादृच्छिक CNF फ़ार्मुलों के विरोध में, कुछ प्रकार के आदेश प्रदर्शित करते हैं, पैटर्न दिखाते हैं जो संयोग से होने की संभावना नहीं है। हालांकि, किसी को कुछ रैंडमनेस दिखाने के लिए संरचित सूत्र मिल सकते हैं (जैसे कि कुछ विशिष्ट समूहों के समूह दूसरों की तुलना में बहुत कम संरचित लगते हैं), साथ ही साथ कुछ कमजोर संरचना वाले कमजोर फार्मूले (यानी कुछ विशिष्ट समूहों के समूह दूसरों की तुलना में अधिक यादृच्छिक लगते हैं) )। इसलिए ऐसा लगता है कि एक सूत्र की यादृच्छिकता सिर्फ एक हाँ / कोई तथ्य नहीं है।

चलो एक समारोह है कि, एक CNF सूत्र दिया हो एफ ∈ एफ , के बीच कोई वास्तविक मान देता है 0 और 1 समावेशी: 0 साधन एक शुद्ध संरचित सूत्र, जबकि 1 साधन एक शुद्ध यादृच्छिक सूत्र।$r: \mathcal{F} \rightarrow [0,1]$$F \in \mathcal{F}$$0$$1$$0$$1$

मुझे आश्चर्य है कि अगर किसी ने कभी इस तरह के एक का आविष्कार करने की कोशिश की है । बेशक r द्वारा दिया गया मान होगा (कम से कम यह मेरा इरादा है) एक ठोस सैद्धांतिक सत्य के बजाय कुछ उचित मानदंडों के अनुसार सिर्फ एक व्यावहारिक माप।$r$$r$

मुझे यह जानने में भी दिलचस्पी है कि क्या किसी ने कभी किसी सांख्यिकीय संकेतक को परिभाषित किया और उसका अध्ययन किया है जिसका उपयोग की परिभाषा में किया जा सकता है , या किसी सूत्र के अन्य उपयोगी समग्र गुणों को निर्धारित करने में किया जा सकता है। सांख्यिकीय संकेतक से मेरा मतलब कुछ ऐसा है:$r$

1. एचसीवी (हिट गणना विचरण)
   
   चलो एक समारोह है कि, एक चर दिया हो वी जे ∈ एन , रिटर्न समय की संख्या v j में प्रकट होता है एफ । चलो वी में इस्तेमाल किया चर का सेट हो एफ । चलो ˉ ज एफ = $h_F: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$$v_j \in \mathbb{N}$$v_j$$F$$V$$F$AHC (औसत हिट गणना) हो। एचसीवी को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: एचवीसी=$\bar{h}_F = \frac{1}{|V|} \sum_{v_j \in V}{h_F(v_j)}$
   
   यादृच्छिक उदाहरणों में, एचसीवी, बहुत कम (सभी चर समय की लगभग एक ही नंबर का उल्लेख कर रहे हैं) है, जबकि संरचित मामलों में ऐसा नहीं है (कुछ चर बहुत बार उपयोग किया जाता है और कुछ अन्य नहीं हैं, ("उपयोग के क्लस्टर" हैं)।$HVC = \frac{1}{|V|} \sum_{v_j \in V}{(h_F(v_j) - \bar{h}_F)^2}$
   
   
   
   
2. चिकित्सा (औसत अशुद्धता डिग्री)
   
   चलो हो जाने की संख्या v जे सकारात्मक होता है, और जाने ज - एफ ( वी जे ) समय की संख्या में यह नकारात्मक होता है। चलो मैं : एन → [ 0 , 1 ] एक समारोह हो कि, एक चर दी वी जे ∈ वी , अपने आईडी (अशुद्धता डिग्री) देता है। फ़ंक्शन i ( v j ) को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: i $h_F^{+}(v_j)$$v_j$$h_F^{-}(v_j)$$i: \mathbb{N} \rightarrow [0,1]$$v_j \in V$$i(v_j)$ । उन चरों के जो पॉजिटिव होते हैं वे पॉजिटिव के आधे और नेगेटिव के आधे से ज्यादा होते हैं, जबकि उन वैरिएबल्स में हमेशा पॉजिटिव या हमेशा नेगेटिव (यानी शुद्ध लिटरल) होने वाले कम से कम इम्पेरिटी डिग्री होती है। AID को केवल इस प्रकार परिभाषित किया गया है: AID=$i(v_j) = 2 \cdot \frac{min(h_F^{+}(v_j), h_F^{-}(v_j))}{h_F(v_j)}$
   
   यादृच्छिक मामलों में (संभावना के साथ चर negating द्वारा उत्पन्न उन में कम से कम0.5), चिकित्सा लगभग है के बराबर1, जबकि संरचित मामलों में यह आम तौर पर दूर से है1।$AID = \frac{1}{|V|} \sum_{v_j \in V}{i(v_j)}$
   
   $0.5$$1$$1$
   
   
3. IDV (Impurity Degree Variance)
   
   IDV अकेले AID की तुलना में अधिक मजबूत संकेतक है, क्योंकि यह से अधिक संभावना वाले वेरिएबल की उपेक्षा करके उत्पन्न यादृच्छिक उदाहरणों के लिए है । इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है: I D V = $0.5$
   
   $IDV = \frac{1}{|V|} \sum_{v_j \in V}{(i(v_j) - AID)^2}$
   
   $0$$0$

मंशा

1. यह समझने के लिए कि सीएनएफ सूत्र कैसे काम करते हैं, उनकी यादृच्छिकता / संरचना को कैसे मापा जा सकता है, यदि अन्य उपयोगी समग्र गुणों को उनके सांख्यिकीय संकेतकों को देखकर अनुमान लगाया जा सकता है, यदि और कैसे ऐसे संकेतकों का उपयोग खोज को गति देने के लिए किया जा सकता है।
2. आश्चर्य है कि CNF सूत्र की संतोषजनकता (या समाधानों की संख्या) को केवल अपने सांख्यिकीय संकेतकों में चालाकी से जोड़कर अनुमान लगाया जा सकता है।

प्रशन

1. क्या किसी ने कभी CNF फॉर्मूले की यादृच्छिकता को मापने का एक तरीका प्रस्तावित किया?
2. क्या किसी ने कभी भी किसी सांख्यिकीय संकेतक का प्रस्ताव किया था जिसका उपयोग अध्ययन या यहां तक ​​कि सीएनएफ फॉर्मूला के उपयोगी समग्र गुणों का यांत्रिक रूप से अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है?

Comments

इस उत्तर में पेपर देखें ( cstheory.stackexchange.com/questions/4321/… )। यह आपको इस तरह के आर को परिभाषित करने के बारे में एक टिप दे सकता है

— मार्कोस विलग्रा

संभवतः बिट-स्ट्रिंग्स mathoverflow.net/questions/37518/… के

— यारोस्लाव

मैं आपको यह बता सकता हूं क्योंकि मैं कुछ समय से इस पर काम कर रहा था। यदि आप SAT पर विचार करते हैं, तो 1 और 2 के सूत्र घातीय हैं। के-सैट के लिए दूसरी ओर 1 और 2 के सूत्र बहुपद हैं। यह मेरे रैंडम के-सैट क्वैश्चंस के मेरे सटीक संबंध से संबंधित है, जिसका कोई जवाब नहीं देना चाहता।

— तैफून पे

@Geekster: क्या आप यहाँ एक उत्तर देना चाहेंगे?

— Hsien-Chih चांग 張顯 '

@ गायक: आपका क्या मतलब है "... 1 और 2 के लिए सूत्र घातीय हैं" ?

— जियोर्जियो कैमरानी

Answer 1

मैं भौतिकी अंतर्ज्ञान को उधार लेने का सुझाव देता हूं कि "कम यादृच्छिक" संरचनाएं अधिक सममित हैं। CNF के लिए समरूपता चर का कोई भी परिवर्तन है, जो फ़ंक्शन को अपरिवर्तित रखता है। उस मानदंड के द्वारा, 3 चर जैसे कार्य

$\displaystyle x_{1} \vee x_{2} \vee x_{3} .$

या कहें,

$\displaystyle(x_{1} \vee x_{2} \vee \neg x_{3}) \wedge (x_{1} \vee \neg x_{2} \vee x_{3}) \wedge (\neg x_{1} \vee x_{2} \vee x_{3}) \wedge (\neg x_{1} \vee \neg x_{2} \vee \neg x_{3}).$

से कम यादृच्छिक हैं, कहते हैं

$\displaystyle(x_{1} \vee x_{2} \vee \neg x_{3}) \wedge (x_{1} \vee \neg x_{2} \vee x_{3}) \wedge (\neg x_{1} \vee \neg x_{2} \vee x_{3}) .$

सामान्य तौर पर, परिमित संरचनाओं पर "यादृच्छिक" की अवधारणा को परिभाषित करना चुनौतीपूर्ण है। ऐतिहासिक रूप से, यह द्विआधारी अनुक्रमों पर कोशिश की गई थी, जो यकीनन सबसे सरल परिमित संरचनाएं हैं। उदाहरण के लिए, सहज रूप से, एक क्रम 01010101, 01001110 की तुलना में "कम यादृच्छिक" है, हालांकि, यह जल्दी से एहसास हुआ कि परिमित यादृच्छिक अनुक्रम की कोई सुसंगत औपचारिक परिभाषा नहीं है ! इसलिए, किसी को किसी भी परिमित संरचना के लिए यादृच्छिकता के माप को परिभाषित करने के लिए किसी भी भोले प्रयास से संदेह करना होगा।

Comments

मैं पूरी तरह से अंतर्ज्ञान से सहमत हूं "संरचना का मतलब समरूपता की उपस्थिति है, जबकि यादृच्छिकता का अर्थ है समरूपता की अनुपस्थिति" । आप सिंटैक्टिक सिमिट्रीज़ को संदर्भित करते हैं (जबकि सिमेंटिक सिमिट्रीज़ उन फ़ंक्शन को बदलते हैं लेकिन समाधान स्थान को छोड़ दिया जाता है)। मुझे हमेशा से विश्वास हो गया है कि सिमिट्रीज ही प्रमुख हैं।

— जियोर्जियो कैमरानी

@Alter: समरूपता का विचार एल्गोरिदम के बजाय बीजगणित का लाभ उठाने का एक प्रयास है: एल्गोरिथम जटिलता एक उपाय है जो परिमित वस्तुओं के लिए निरंतर परिभाषा को परिभाषित करता है। लेकिन फिर हमें प्रत्येक तत्व को एक समूह (उदाहरण के लिए, परिवर्तन जो एक चर को नकारता है, जो दो को नकारता है, की तुलना में सरल है) जटिलता को असाइन करना है - ऐसा लगता है कि जैसे समस्या को चारों ओर

— धकेलना