हमने ज्ञात एल्गोरिदम के लिए बेहतर सीमाएं कब पाई हैं?

Question

क्या एल्गोरिदम के दिलचस्प उदाहरण हैं जो सिद्ध सीमाओं के साथ प्रकाशित किए गए हैं, और जहां सख्ती से बेहतर सीमाएं बाद में प्रकाशित हुई हैं? बेहतर सीमा के साथ बेहतर एल्गोरिदम नहीं - जाहिर है कि ऐसा हुआ है! लेकिन बेहतर विश्लेषण एक मौजूदा एल्गोरिथ्म पर एक बेहतर बाध्य करने के लिए अग्रणी है

मुझे लगा कि मैट्रिक्स गुणन इसका एक उदाहरण था, लेकिन मैंने खुद को इससे (शायद गलत तरीके से) बात की है क्योंकि कोपरस्मिथ-विनोग्राद और इसके दोस्तों को बेहतर समझने की कोशिश कर रहा हूं।

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एक आदर्श उदाहरण मैट्रिक्स गुणा है। हाल के सुधार सभी वास्तव में बेहतर विश्लेषण (ले गैल, विलियम्स आदि) हैं।

— लविंस

Lwins - मुझे संदेह था कि मामला हो सकता है, लेकिन कुछ कागजात को संक्षिप्त करने से मुझे लगता है कि वे एल्गोरिथ्म और विश्लेषण दोनों से थोड़ा भिन्न थे। मुझे गहराई से देखने की आवश्यकता हो सकती है।

— रोब सिमंस

यह एक आधा जवाब है, क्योंकि यह दूसरे हाथ से सुनाई देता है: जब Buechi automata ( dl.acm.org/citation.cfm?id=1398627 ) के निर्धारण पर काम करते हैं, तो सफरा ने मूल रूप से द्विघात घातांक होने के लिए अपने निर्माण का विश्लेषण किया था। फिर, निर्माण को नीचे लिखने के बाद, और कुछ गलतफहमी के कारण, वह बेहतर (इष्टतम) प्रतिपादक के साथ समाप्त हो गया । $n\log n$

— शाऊल

मैं सुझाव दे रहा हूँ कि गति नियोजन समस्याओं पर गौर किया जाए - मुझे लगता है कि वहाँ कई मामले हुए हैं। इसके अलावा, IIRC सिंप्लेक्स एल्गोरिथम (एस?) की सटीक जटिलता काफी समय के लिए अध्ययन का विषय था।

— स्टीवन स्टैडिकि

थोड़ा अलग है, लेकिन 3SAT उदाहरण में क्लॉस के को संतुष्ट करने वाले इनपुट का अस्तित्व प्रमाण अधिक सावधानीपूर्वक विश्लेषण द्वारा एक स्पष्ट एल्गोरिथ्म में सुधार किया गया था। $7m/8$

— स्टेला बिडरमैन

Answer 1

एल्गोरिथ्म संघ-पता लगाएं, जो Tarjan ¹ दिखाया जटिलता था $n \alpha(n)$ , जहां $\alpha(n)$ एकरमैन उलटा समारोह है, कई लोगों ने पहले से विश्लेषण किया गया था। विकिपीडिया के अनुसार, इसका आविष्कार गैलर और फिशर ² द्वारा किया गया था , लेकिन यह गलत प्रतीत होता है, क्योंकि उनके पास इसे जल्दी से चलाने के लिए आवश्यक एल्गोरिथ्म के सभी घटक नहीं थे।

कागजात के संक्षिप्त स्कैन के आधार पर, यह प्रतीत होता है कि एल्गोरिथ्म का आविष्कार हॉपक्रॉफ्ट और उलेमन ³ द्वारा किया गया था , जिन्होंने एक (गलत) $O(n)$ समय सीमा दी थी। फ़िशर ^{4 ने} तब प्रमाण में गलती पाई और $O(n \log\log n)$ समयबद्ध दिया। इसके बाद, Hopcroft और उलमान ⁵ एक दिया $O(n \log ^*n)$ समयबद्ध, जिसके बाद Tarjan ¹ पाया (इष्टतम) $O(n \alpha(n))$ समयबद्ध।

¹ आरई टार्जन, "एक अच्छा लेकिन रैखिक सेट यूनियन एल्गोरिथ्म की दक्षता" (1975)।
² बीएस गैलर और एमजे फिशर, "एक बेहतर तुल्यता एल्गोरिथ्म" (1964)।
³ जेई होपक्रॉफ्ट और जेडी उल्मैन, "एक रेखीय सूची विलय एल्गोरिथ्म" (1971)।
⁴ एमजे फिशर, "तुल्यता एल्गोरिदम की दक्षता" (1972)।
⁵ जेई होपक्रॉफ्ट और जेडी उल्मैन, "सेट-मर्जिंग एल्गोरिदम" (1973)।

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इस डेटा संरचना का इतिहास मेरे लिए थोड़ा अस्पष्ट है और इसकी जांच करना अच्छा होगा। मैंने गैलर और फिशर लेख को स्किम किया, और यह डिस्जॉइंट सेट फॉरेस्ट (डीएसएफ) डेटा संरचना का वर्णन करने के लिए लगता है, लेकिन महत्वपूर्ण पथ संपीड़न (पीसी) और भारित संघ (डब्ल्यूयू) के आंकड़ों के बिना। हॉपक्रॉफ्ट और उलमैन ने डीएसएफ को पीसी के साथ और डब्ल्यूयू से ट्रिटर के बिना, नथ को उद्धृत किया। अगर पीसी और डब्ल्यूयू दोनों के साथ डीएसएफ को हॉपक्रॉफ्ट और उल्मैन के पेपर से पहले प्रकाशित पेपर में प्रस्तावित किया गया था, तो मुझे यकीन नहीं है, हालांकि मुझे आश्चर्य होगा कि अगर यह होता।

— साशो निकोलोव

$O(n \log\log n)$$\Theta(n)$$O(n \log^* n)$

— पीटर शोर

Answer 2

$k\text{-} \mathrm{SAT}$$O(1.364^n)$$3\text{-}\mathrm{SAT}$$O(1.308^n)$$3\text{-}\mathrm{SAT}$ उस समय जाना जाता है।

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यह वास्तव में संतोषजनक जवाब है! मुझे लगता है कि यह और संघ खोजें उदाहरण मेरे लिए क्या उम्मीद कर रहे थे का सबसे अच्छा उदाहरण हैं।

— रोब सिमंस

Answer 3

$\mathbb{F}_p$$\mathbb{F}_p$

$L_p(1/3, 3^{2/3})$$L_p(1/3, 1.232)$

$$L_p(v, c) = \exp((c+o(1))(\log p)^v (\log \log p)^{1-v})$$

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भावना में बहुत-बहुत धन्यवाद!

— रोब सिमंस

Answer 4

$k$$O(n^{k+o(1)})$$O(n^{2k-2})$$O(n^{1.98k+O(1)})$

$\Omega(n^k)$

नोट: जेसन ली (और इसी स्लाइड) द्वारा एक बात TCS + वेबसाइट पर पाई जा सकती है ।

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$k$

Answer 5

$k$$(2k-1)$$k$

Answer 6

$3$ अधिक पुनरावर्ती विश्लेषण (उपपरिवर्तनों / उपग्रहों को गिनते हुए) को बेहतर पुनरावृत्ति और इतने बेहतर रनटाइम की ओर ले जाएं। मुझे लगता है कि मानकीकृत जटिलता साहित्य में ऐसे कई उदाहरण हैं, जहां विश्लेषण में एक और चर जोड़ने से सुधार रनटाइम हो सकता है, लेकिन मैं कई वर्षों से उस खेल से बाहर हूं और मैं विशिष्ट लोगों के बारे में नहीं सोच सकता क्षण। एफपीटी और पीटीएएस क्षेत्रों में बहुत सारे पेपर हैं जो पेपर टाइटल्स में "बेहतर विश्लेषण" की तलाश में आते हैं।

यदि विकल्प निर्दिष्ट करना समान एल्गोरिथ्म के रूप में गिना जाता है (जैसे कि यूनियन-पोज़ की डेप्थ-रैंक हेयुरिस्टिक), तो एडमंड्स-कार्प एल्गोरिथ्म फोर्ड-फुलकर्सन का एक 'बेहतर विश्लेषण' है, और मुझे लगता है कि एल्गोरिदम की अन्य समस्याएं भी बहुत हैं। नए विकल्प नियमों से सुधार में सुधार देखा गया है।

फिर मौजूदा एल्गोरिदम के परिशोधित विश्लेषण का एक पूरा समूह है (मुझे लगता है कि इस विवरण के तहत संघ-खोज फिट बैठता है, यहां एक और एक https://link.springer.com/article/10.1007/s00453-004-1145-7 है )

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नए विकल्प बनाना यह महसूस करता है कि मैं क्या देख रहा था, लेकिन यह बिल्कुल नहीं है - एक अर्थ में, अधिक निर्दिष्ट एल्गोरिथ्म एक "अलग एल्गोरिथ्म" है - लेकिन ये अभी भी बहुत दिलचस्प उदाहरण हैं!

— रोब सिमंस